簡介:考點1天體的運動開普勒行星運動規(guī)律,學案4萬有引力與航天,1開普勒第一定律說明了不同行星繞太陽運動時的橢圓軌道是不同的。2開普勒第二定律說明行星在近日點的速率大于在遠日點的速率,從近日點向遠日點運動時速度變小,從遠日點向近日點運動時速率變大。3開普勒第三定律1表達式A3/T2K,其中A是橢圓軌道的半長軸,T為公轉周期,K是與太陽質量有關而與行星無關的常量。2由于行星的橢圓軌道都跟圓近似,在近似的計算中,可以認為行星都以太陽為圓心做勻速圓周運動,在這種情況下,若用R代表軌道半徑,T代表周期,開普勒第三定律可以寫成R3/T2K。3開普勒定律不僅適用于行星,也適用于衛(wèi)星,只不過此時A3/T2K′,比值K′是由行星的質量所決定的另一常量,與衛(wèi)星無關。例如地球繞太陽運轉時的常數(shù)K1與月亮繞地球運轉時的常數(shù)K2是不同的。,4/3/2024,典例一,開普勒定律的應用,【例1】理論證明開普勒第三定律不僅適用于行星繞太陽的運動,而且也適用于衛(wèi)星繞行星的運動,只不過此時A3/T2K′中的常量K′與行星繞太陽運動中的常量K不一樣。已知月球繞地球運轉的半徑為地球半徑的60倍,運行周期為27天,應用開普勒第三定律計算,在地球赤道上空多高處的衛(wèi)星可以隨地球一起轉動,就像是留在天空中不動一樣。已知地球半徑為64103KM,本題所述的衛(wèi)星是地球同步衛(wèi)星,利用萬有引力定律和衛(wèi)星運動知識,同樣可以求出。同學們可以一試。,【解析】設月球和人造地球衛(wèi)星繞地球公轉的周期分別為T1、T2,軌道半徑分別為R1、R2,由開普勒第三定律可得R13/R23T12/T22,所以R2T2/T12/3R1,R21/272/360R地≈427104KM,衛(wèi)星在地球軌道上方的高度HR2R地363104KM。,【答案】363104KM,4/3/2024,1,地球的公轉軌道接近圓,但彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓。天文學家哈雷曾經(jīng)在1682年跟蹤過一顆彗星,他算出這顆彗星軌道的半長軸約等于地球公轉半徑的18倍如圖所示,并預言這顆彗星將每隔一定時間就會出現(xiàn),哈雷的預言得到證實,該彗星被命名為哈雷彗星,哈雷彗星最近出現(xiàn)的時間是1986年,請你估算,它下次飛近地球是哪一年,【答案】2062年,1當物體在赤道上時,F(xiàn),MG,F(xiàn)向三力同向,此時F向達到最大值F向MAXMR?2,重力加速度達到最小值GMINFF向/MGM/R2R?2。2當物體在兩極的極點時,F(xiàn)向0,F(xiàn)MG,此時重力等于萬有引力,重力加速度達到最大值,此最大值為GMAXGM/R2因地球自轉角速度很小,GMM/R2MR?2,所以在一般情況下進行計算時認為MGGMM/R2。,考點2萬有引力定律,一、重力和萬有引力的關系在地球表面上的物體所受的萬有引力F可以分解成物體所受的重力MG和隨地球自轉而做圓周運動的向心力F向,如圖所示。其中FGMM/R2,而F向MR?2。,二、求星球表面和某高度處的重力加速度1求星球表面的重力加速度在星球表面處萬有引力等于或近似等于重力,則GMM/R2MG,所以GGM/R2R為星球半徑,M為星球質量。由此推得兩個不同天體表面重力加速度的關系為G1/G2R22/R12M1/M2。2求某高度處的重力加速度若設離星球表面高H處的重力加速度為GH,則GMM/RH2MGH,所以GHGM/RH2,可見隨高度的增加重力加速度逐漸減小。由以上推得星球表面和某高度處的重力加速度關系為GH/GR2/RH2。,萬有引力的特點1普遍性任何客觀存在的物體間都存在著相互作用的吸引力,即“萬有引力”。2相互性兩物體間的萬有引力是一對作用力和反作用力,它們的大小相等、方向相反,分別作用在兩個物體上。3宏觀性在通常情況下,萬有引力非常小,只有在質量巨大的天體間或天體與天體附近的物體間,它的存在才有實際的物理意義,故在分析地球表面的物體受力時,不考慮地面物體間的萬有引力,只考慮地球對地面物體的萬有引力。,4/3/2024,典例二,萬有引力定律的應用,【例2】在討論地球潮汐成因時,地球繞太陽運行軌道與月球繞地球運行軌道可視為圓軌道。已知太陽質量約為月球質量的27107倍,地球繞太陽運行的軌道半徑約為月球繞地球運行的軌道半徑的400倍。關于太陽和月球對地球上相同質量海水的引力,以下說法正確的是A太陽引力遠大于月球引力B太陽引力與月球引力相差不大C月球對不同區(qū)域海水的吸引力大小相等D月球對不同區(qū)域海水的吸引力大小有差異,本題考查萬有引力定律在實際中的作用,正確理解定律內容并能應用公式計算,了解潮汐成因是解答本題的思路。,【解析】由萬有引力定律FGMM/R2可知,F(xiàn)∝M/R2,太陽與月球對相同質量海水的引力之比F太陽/F月球16875102,故A對;月球與不同區(qū)域海水的距離不同,故吸引力大小有差異,D對。,AD,4/3/2024,2,一探月衛(wèi)星在地月轉移軌道上運行,某一時刻正好處于地心和月心的連線上,衛(wèi)星在此處所受地球引力與月球引力之比為41。已知地球與月球的質量之比約為811,則該處到地心與到月心的距離之比約為_______。,92,4/3/2024,F萬F向GMM/R2RR地H,一、人造衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期、向心加速度與半徑的關系,GMGR2稱為“黃金代換”,純粹是四個常數(shù)G、M、G、R間的數(shù)值關系,因此在任何時候都能進行等量代換,不過一定要注意G和R的對應性,即G是離天體M球心R處的重力加速度值。,應用,越高越慢,MGGMM/R2地近地時→GMGR2地黃金代換→推廣GM行G行表R2行GMGHRH2,,,,,考點3人造地球衛(wèi)星宇宙速度,二、與衛(wèi)星相關的幾個問題1衛(wèi)星的超重與失重衛(wèi)星發(fā)射過程中,衛(wèi)星上的物體處于超重狀態(tài),衛(wèi)星進入軌道后正常運轉時,衛(wèi)星具有的加速度等于軌道處的重力加速度G軌,衛(wèi)星上的物體完全失重,返回時,衛(wèi)星減速運動,衛(wèi)星上的物體處于超重狀態(tài)。2衛(wèi)星的能量軌道半徑越大,速度越小,動能越小,但重力勢能越大,且總機械能也越大,也就是軌道半徑越大的衛(wèi)星,運行速度雖小,但發(fā)射速度越大。3衛(wèi)星變軌問題人造衛(wèi)星在軌道變換時,總是主動或由于其他原因使速度發(fā)生變化,導致萬有引力與向心力相等的關系被破壞,繼而發(fā)生近心運動或者離心運動,發(fā)生變軌。在變軌過程中,由于動能和勢能的相互轉化,可能出現(xiàn)萬有引力與向心力再次相等,衛(wèi)星即定位于新的軌道。4同步衛(wèi)星同步衛(wèi)星就是與地球同步運轉,相對地球靜止的衛(wèi)星,因此可用來作為通訊衛(wèi)星,同步衛(wèi)星有以下幾個特點1周期一定同步衛(wèi)星在赤道正上方相對地球靜止,它繞地球的運動與地球自轉同步,它的運動周期就等于地球自轉的周期,T24H。2角速度一定同步衛(wèi)星繞地球運動的角速度等于地球自轉的角速度。,3軌道一定①因提供向心力的萬有引力指向圓心,所有同步衛(wèi)星的軌道必在赤道平面內。②由于所有同步衛(wèi)星的周期相同,由知,所有同步衛(wèi)星的軌道半徑都相同,即在同一軌道上運動,其確定的高度約為36104KM。,三、應用萬有引力定律分析天體問題1基本方法把天體的運動看成是勻速圓周運動,其所需向心力完全由萬有引力提供。GMM/R2MV2/RM?2RM2?/T2RM2?F2R應用時可根據(jù)實際情況選用適當?shù)墓竭M行分析計算。2天體質量和密度的估算方法一利用萬有引力定律計算被圍繞天體中心天體的質量和密度。,5幾種衛(wèi)星的軌道1赤道軌道衛(wèi)星的軌道在赤道平面內。同步衛(wèi)星就是其中的一種。2極地軌道衛(wèi)星的軌道過南北兩極,即在垂直于赤道的平面內,如定位衛(wèi)星系統(tǒng)中的衛(wèi)星軌道。3其他軌道除以上兩種軌道外的衛(wèi)星軌道。一切衛(wèi)星的軌道的圓心,與地心重合。,4環(huán)繞速度大小一定所有同步衛(wèi)星繞地球運動的線速度的大小是一定的,都是308KM/S,環(huán)繞方向與地球自轉相同。,如圖所示,某一行星M繞太陽M運轉,其向心力是由太陽對行星的萬有引力提供的,則有GMM/R2M4?2/T2R故M4?2R3/GT2,而?M/4/3?R033?R3/GT2R30,其中R0為太陽的半徑,R為行星的軌道半徑,兩者不可混淆。特別地,當RR0即貼近被測天體表面飛行時,有?3?/GT2這給我們提供了測量未知天體密度的一種簡便方法。值得注意的是,用環(huán)繞天體或衛(wèi)星的周期、軌道半徑測質量的方法,只適用于測定其中心天體即處于軌道中心處天體的質量,不能測定在圓軌道上運行著的天體的質量。方法二利用重力與萬有引力近似相等,估算天體的質量和密度。對在天體表面上的物體有MGGMM/R2式中G為天體表面的重力加速度,R為天體的半徑,則MGR2/G相應地?M/4/3?R33G/4?GR卡文迪許就是利用這種方法第一次估算出地球的質量和平均密度的。,1解決萬有引力定律的應用問題,盡管題目很多,但其基本方法是不變的,即把天體的運動看成圓周運動,萬有引力提供向心力。選擇合適的表達式求解。2高考考查該類問題常結合一些自然現(xiàn)象、航天技術、地理知識、數(shù)學幾何關系、雙星模型等,著重考查學生的理解、推理、分析綜合能力。,4/3/2024,【例3】中子星是恒星演化過程的一種可能結果,它的密度很大,現(xiàn)有一中子星,觀測到它的自轉周期為T1/30S。問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星的穩(wěn)定,不致因自轉而瓦解。計算時星體可視為均勻球體。引力常量G6671011NM2/KG2,天體的質量和密度,求天體的質量或密度的問題有兩種情況。1已知天體表面的重力加速度G和半徑R,利用GGM/R2,得出MGR2/G。2圍繞天體做圓周運動的衛(wèi)星或行星,利用GMM/R2M4?2/T2R,可得中心天體的質量M4?2R3/GT2。,【解析】設中子星的密度為?,質量為M,半徑為R,自轉角速度為?,位于赤道處的小物塊質量為M,則有GMM/R2M?2R,?2?/T,M4/3?R3?由以上各式得?3?/GT2,代入數(shù)據(jù)解得?1271014KG/M3。,【答案】1271014KG/M3,典例三,4/3/2024,歐洲科學家宣布在太陽系之外發(fā)現(xiàn)了一顆可能適合人類居住的類地行星GLIESE581C。這顆圍繞紅矮星GLIESE581運行的星球有類似地球的溫度,表面可能有液態(tài)水存在,距離地球約為2光年,直徑約為地球的15倍,質量約為地球的5倍,繞紅矮星GLIESE581運行的周期約為13天。假設有一艘宇宙飛船飛臨該星球表面附近軌道,下列說法正確的是A飛船在GLIESE581C表面附近運行的周期約為13天B飛船在GLIESE581C表面附近運行時的速度大于79KM/SC人在GLIESE581C上所受重力比在地球上所受重力大DGLIESE581C的平均密度比地球平均密度小,BC,3,4/3/2024,典例四,人造衛(wèi)星、宇宙速度,【例4】已知地球同步衛(wèi)星離地面的高度約為地球半徑的6倍。若某行星的平均密度為地球平均密度的一半,它的同步衛(wèi)星距其表面的高度是其半徑的25倍,則該行星的自轉周期約為A6小時B12小時C24小時D36小時,解決衛(wèi)星運動問題最基本的公式是萬有引力充當向心力,即GMM/R2MV2/RMR?2MR4?2/T2G重,在解題時根據(jù)題目中的條件合理選擇公式,能使求解簡單。,【解析】設地球半徑為R,密度為?1,自轉周期為T1,設行星半徑為R,密度為?2,自轉周期為T2,根據(jù)萬有引力定律得G?14/3?R3M/7R2M4?27R/T12①G?24/3?R3M/35R2M4?235R/T22②?12?2,T124小時③由①②③得T212小時,故選項B正確。,B,4/3/2024,4,土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒,其繞土星的運動可視為圓周運動。其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心的距離分別為RA80104KM和RB=12105KM。忽略所有巖石顆粒間的相互作用。結果可用根式表示1求巖石顆粒A和B的線速度之比;2求巖石顆粒A和B的周期之比;3土星探測器上有一物體,在地球上重為10N,推算出它在距土星中心32105KM處受到土星的引力為038N。已知地球的半徑為64103KM,請估算土星質量是地球質量的多少倍,【答案】12395,4/3/2024,【例5】天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動,周期均為T,兩顆恒星之間的距離為R,試推算這個雙星系統(tǒng)的總質量。引力常量為G,根據(jù)“雙星”有共同角速度的隱含條件,及其圓周運動的半徑間的關系,建立方程求解即可。,【解析】設兩顆恒星的質量分別為M1、M2,做圓周運動的半徑分別為R1、R2,角速度分別為?1、?2。根據(jù)題意有Ω1Ω2①R1R2R②根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律,有GM1M2/R2M1?12R1③GM1M2/R2M2?22R2④聯(lián)立以上各式解得M1M2?12R1R2R2/G⑤根據(jù)角速度與周期的關系知?1?22?/T⑥聯(lián)立②⑤⑥式解得M1M24?2R3/T2G。,【答案】4?2R3/T2G,典例五,雙星問題,4/3/2024,【答案】1M′M23/M1M222M23/M1M22V3T/2?G3暗星B有可能是黑洞,神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時,發(fā)現(xiàn)了LMCX3雙星系統(tǒng),它由可見星A和不可見的暗星B構成。將兩星視為質點,不考慮其他天體的影響,A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動,它們之間的距離保持不變,如圖6所示。引力常量為G,由觀測能夠得到可見星A的速率V和運行周期T。1可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為M′的星體視為質點對它的引力,設A和B的質量分別為M1、M2,試求M′用M1、M2表示;2求暗星B的質量M2與可見星A的速率V、運行周期T和質量M1之間的關系式;3恒星演化到末期,如果其質量大于太陽質量MS的2倍,它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率V27105M/S,運行周期T47?104S,質量M16MS,試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎G6671011NM2/KG2,MS201030KG,5,4/3/2024,【例6】天文學家們通過觀測的數(shù)據(jù)確認了銀河系中央的黑洞“人馬座A”的質量與太陽質量的倍數(shù)關系。研究發(fā)現(xiàn),有一星體S2繞人馬座A做橢圓運動,其軌道半長軸為950102天文單位地球公轉軌道的半徑為一個天文單位,人馬座A就處在該橢圓的一個焦點上。觀測得到S2星的運行周期為152年。1若將S2星的運行軌道視為半徑R950102天文單位的圓軌道,試估算人馬座A的質量MA是太陽質量MS的多少倍結果保留一位有效數(shù)字;2黑洞的第二宇宙速度極大,處于黑洞表面的粒子即使以光速運動,其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛。由于引力的作用,黑洞表面處質量為M的粒子具有的勢能為EPGMM/R設粒子在離黑洞無限遠處的勢能為零,式中M、R分別表示黑洞的質量和半徑。已知引力常量G671011NM2/KG2,光速C30108M/S,太陽質量MS201030KG,太陽半徑RS70108M,不考慮相對論效應,利用上問結果,在經(jīng)典力學范圍內求人馬座A的半徑RA與太陽半徑RS之比應小于多少結果按四舍五入保留整數(shù)。,萬有引力與天體運動的綜合應用,典例六,4/3/2024,【解析】本題考查萬有引力定律與航天科技相結合的知識,是現(xiàn)代科技與物理知識相結合的問題,要求學生能夠將所學知識應用到解決實際問題中去,從實際中抽象出物理模型,從而加以解決,本題考查學生綜合分析能力和應用所學知識解決實際問題的能力,難度較大。1S2星繞人馬座A做圓周運動的向心力由人馬座A對S2星的萬有引力提供,設S2星的質量為MS2,角速度為?,周期為T,則GMAMS2/R2MS2?2R①其中?2?/T②設地球質量為ME,公轉軌道半徑為RE,周期為TE,則GMSME/RE2ME2?/TE2RE③綜合上述三式得MA/MSR/RE3TE/T2式中TE1年④RE1天文單位⑤代入數(shù)據(jù)可得MA/MS4106⑥2引力對粒子作用不到的地方即為無限遠,此時粒子的勢能為零,“處于黑洞表面的粒子即使以光速運動,其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛”,說明了黑洞表面處以光速運動的粒子在遠離黑洞的過程中克服引力做功,粒子在到達無限遠之前,其動能便減小為零,此時勢能仍為負值,則其能量總和小于零。根據(jù)能量守恒定律,粒子在黑洞表面處的能量也小于零,則有1/2MC2GMM/R0依題意可知RRA,MMA可得RA2GMA/C2代入數(shù)據(jù)得RA121010MRA/RS17。,本題考查萬有引力定律知識的應用,是現(xiàn)代科技與物理知識相結合的問題,要求學生能夠將所學知識應用到解決實際問題中去,從實際中抽象出物理模型,從而加以解決。,【答案】14106217,4/3/2024,6,【答案】,我國發(fā)射的“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿近似于圓形軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息,讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球。設地球和月球的質量分別為M和M,地球和月球的半徑分別為R和R1,月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為R和R1,月球繞地球轉動的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月運行的一個周期內衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面,求在該周期內衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間用M、M、R、R1、R、R1和T表示,忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影響。,
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