簡介:義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)基本思想理解與把握,東北師范大學(xué)史寧中20154,報(bào)告目錄,一、數(shù)學(xué)的基本思想二、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的抽象三、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的推理四、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的模型,一、數(shù)學(xué)的基本思想,1課程目標(biāo)由雙基到四基(實(shí)現(xiàn)教育理念的轉(zhuǎn)變)過去的教育理念以知識為本教學(xué)大綱關(guān)心問題是應(yīng)當(dāng)教那些內(nèi)容;應(yīng)當(dāng)教到什么程度考核內(nèi)容是規(guī)定的內(nèi)容是否教了;學(xué)生的掌握是否達(dá)到要求教學(xué)目標(biāo)是基礎(chǔ)知識(概念記憶與命題理解)扎實(shí)(記憶)基本技能(證明技能與運(yùn)算技能)熟練(訓(xùn)練)教學(xué)形式是課堂、教材、教師(凱洛夫的三中心論),現(xiàn)代教育理念以人為本工作目標(biāo)育人為本(綱要)、立德樹人(十八大)以人為本以學(xué)生的發(fā)展為本,站在學(xué)生立場思考問題。人的成功依賴知識技能、把握機(jī)遇、思維方法數(shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生記住一些數(shù)學(xué)的知識、掌握一些數(shù)學(xué)的技能,還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。一堂好課把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,讓學(xué)生在掌握知識技能的同時(shí),理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),感悟數(shù)學(xué)的基本思想,積累思維的經(jīng)驗(yàn)。終極目標(biāo)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼睛觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。如何實(shí)現(xiàn),,,義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)四基基礎(chǔ)知識、基本技能基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)四能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題分析問題、解決問題科學(xué)敢于質(zhì)疑、善于思考、實(shí)事求是、一絲不茍基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)思維的經(jīng)驗(yàn),實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)(過程性目標(biāo)的目標(biāo))會(huì)思考問題、會(huì)做事情能力的培養(yǎng),依賴的不是說教和理解,依賴的是學(xué)生參與其中的活動(dòng),依賴的是學(xué)生在這個(gè)過程中自己的思考和感悟,這種能力是經(jīng)驗(yàn)的積累。,,2數(shù)學(xué)基本核心素養(yǎng)(核心詞、核心概念)如何理解數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)的研究源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象,通過基于抽象結(jié)構(gòu)的符號運(yùn)算、形式推理、一般結(jié)論,理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律。數(shù)學(xué)不僅是計(jì)算和推理的工具,數(shù)學(xué)還是表達(dá)與交流的語言,數(shù)學(xué)承載著思想和文化。教學(xué)內(nèi)容–核心素養(yǎng)–數(shù)學(xué)思想質(zhì)量監(jiān)測四個(gè)原則義務(wù)教育階段(8個(gè)){核心詞、核心概念}數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想高中教育階段(6個(gè))數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析,3什么是數(shù)學(xué)的基本思想圖形結(jié)合、遞歸、換元、等量替換確定數(shù)學(xué)的基本思想的原則數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展必須依賴的思想學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)與沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維差異抽象、推理、模型義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的責(zé)任感悟抽象、懂得推理,,通過抽象現(xiàn)實(shí)→數(shù)學(xué)把研究對象、以及對象之間的關(guān)系形成概念從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部,數(shù)學(xué)具有一般性通過推理數(shù)學(xué)→數(shù)學(xué)從假設(shè)前提出發(fā),通過推理得到數(shù)學(xué)的結(jié)果數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展,數(shù)學(xué)具有邏輯性通過模型數(shù)學(xué)→現(xiàn)實(shí)解決現(xiàn)實(shí)世界中的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題從數(shù)學(xué)內(nèi)部到現(xiàn)實(shí)世界,數(shù)學(xué)具有應(yīng)用性得到數(shù)學(xué)的基本特征一般性(抽象)、嚴(yán)謹(jǐn)性(邏輯)、應(yīng)用的廣泛性(模型),,,數(shù)學(xué)思想不是知識,不是靠講解讓學(xué)生理解是創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生感悟教學(xué)要點(diǎn)感悟什么(教師對數(shù)學(xué)內(nèi)容的把握)如何感悟(情境創(chuàng)設(shè)、教師引導(dǎo))參見著作基本概念與運(yùn)算法則小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題,高教社,2013年通過抽象得到概念定義有兩種方法對應(yīng)的方法、內(nèi)涵的方法。建議開始用對應(yīng)的方法(感悟),以后用內(nèi)涵方法(理解)數(shù)是什么數(shù)的本質(zhì)是什么表示數(shù)的關(guān)鍵是什么數(shù)是對數(shù)量的抽象,本質(zhì)是大小關(guān)系從數(shù)量的多少到數(shù)的大小。,二、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的抽象,,開始用對應(yīng)的方法三個(gè)蘋果、三只雞→□□□←→3(去掉物理屬性)對應(yīng)方法負(fù)數(shù)與自然數(shù)數(shù)量相等、意義相反。以后用內(nèi)涵的方法自然數(shù)是一個(gè)一個(gè)多起來的(算數(shù)公理體系、后繼數(shù))101,211,321,431,如何認(rèn)識1000010個(gè)100010個(gè)千比9999多1(讀法可以不同,表達(dá)必須一致),,數(shù)的符號表達(dá)把握本質(zhì)、表達(dá)簡潔、具有一般性讀數(shù)的關(guān)鍵十個(gè)符號數(shù)位如何讀2002符號0很重要1~10→1~90、10數(shù)位與數(shù)不同數(shù)位從左到右、從小到大個(gè)ONES、十TENS,“十”是十個(gè)“個(gè)”“萬”是十個(gè)“千”需要知道十進(jìn)制、不需要知道計(jì)數(shù)單位數(shù)1091,10000999910對于加法很重要相反數(shù);減法自然數(shù)集合→整數(shù)集合1對于乘法很重要倒數(shù);除法整數(shù)集合→有理數(shù)集合,,數(shù)的運(yùn)算與數(shù)的抽象一樣,有兩種方法定義加法對應(yīng)、內(nèi)涵。內(nèi)涵□□□←□314431→314對應(yīng)□□□□□□□哪邊多□□□←□□□□□哪邊多→314理解等號的意義等號兩邊講兩個(gè)故事,兩個(gè)故事量相等。方程的定義方程與函數(shù)的關(guān)系,,如何定義乘法為什么負(fù)負(fù)得正乘法是加法的簡便運(yùn)算222236232226236在自然數(shù)集合上,乘法是加法的簡便運(yùn)算。在整數(shù)集合上乘法的本質(zhì)。兩個(gè)性質(zhì)0A0;1AA兩個(gè)法則ABBAABCACBC連同性質(zhì)和法則,把乘法由自然數(shù)集合擴(kuò)張到整數(shù)集合。111,111111,111,,點(diǎn)、線、面的抽象0維是點(diǎn)、1維是線、2維是面、3維是體。日常生活看到的幾何圖形都是三維的,點(diǎn)線面是抽象的結(jié)果。,,角的抽象角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形?!Q下面的圖形為角。角由兩條線段所夾部分組成,這兩條線段的一個(gè)端點(diǎn)重合。稱這兩條線段為角的邊,角的大小與邊長無關(guān)。(小學(xué)畫同樣大小的角)(初中如何判斷直角)幾何作圖(畫角平分線)的教育價(jià)值培養(yǎng)想象力。,,抽象小結(jié)抽象出數(shù)學(xué)研究對象、以及研究對象的關(guān)系和運(yùn)算法則把外部世界數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部。概念自然數(shù)、負(fù)數(shù);點(diǎn)、線、面、體、角關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系;兩點(diǎn)決定一條直線、三點(diǎn)決定一個(gè)平面運(yùn)算加法、減法、乘法、除法;距離、面積、體積小學(xué)數(shù)學(xué)主要研究三個(gè)關(guān)系數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系、隨機(jī)關(guān)系抽象的東西不存在現(xiàn)實(shí)中沒有2,只有具體的兩匹馬、兩頭牛抽象的東西是理念的存在鄭板橋我畫的不是我眼中之竹,而是我心中之竹。,,三、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的推理,推理數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展依賴的是邏輯推理數(shù)學(xué)的結(jié)論都是命題數(shù)學(xué)命題可供正確或者錯(cuò)誤判斷的陳述可以判斷。下面陳述不是數(shù)學(xué)命題這個(gè)三角形是美的僅供判斷。下面兩個(gè)陳述都是數(shù)學(xué)命題三角形內(nèi)角和180度三角形內(nèi)角和120度直接推理對命題直接判斷一般推理一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題判斷的思維過程,,數(shù)學(xué)命題主要有兩種形式性質(zhì)命題A是B。充分條件A→B必要條件B→A充分不必要兩個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)。必要不充分?jǐn)?shù)可以比較大小。充分且必要直角三角形是一條邊長的平方等于其他兩條邊長平方之和的三角形。數(shù)學(xué)定義必須充分必要稱含有未知數(shù)的等式為方程。什么是數(shù)學(xué)的推理什么是有邏輯的推理蘋果是酸的,酸的是一種味道,所以蘋果是一種味道。三角形內(nèi)角和是180度,180度是平角,所以三角形是平角。,,邏輯推理具有傳遞性的推理。在數(shù)學(xué)上有兩種形式演繹推理從大范圍內(nèi)成立的命題推斷小范圍內(nèi)命題也成立。凡人都有死,蘇格拉底是人,所以蘇格拉底有死。結(jié)果是必然成立的,用于驗(yàn)證知識。是數(shù)學(xué)教學(xué)中推理的重點(diǎn)。歸納類比從小范圍內(nèi)成立的命題推斷更大范圍類似命題成立。蘇格拉底是人、蘇格拉底有死,柏拉圖是人、柏拉圖有死,所以凡人都有死。結(jié)果是或然成立的,用于發(fā)現(xiàn)知識。是數(shù)學(xué)教學(xué)中推理的弱點(diǎn)。蘇格拉底不到80歲死去,柏拉圖不到80歲死去,所以凡人不到80歲死去。,演繹推理,演繹推理需要前提公理或者假設(shè)?;厩疤嵬宦葾A,(A屬于A或者A不屬于A)。矛盾律A→P和A→PC不能同時(shí)成立。排中律A→P和A→PC必有一個(gè)成立。命題素?cái)?shù)有無數(shù)多個(gè)。(反證法)證明假設(shè)素?cái)?shù)有限個(gè)(歸謬假設(shè))。比如只有N個(gè)素?cái)?shù),表示為P1,,PN。令PP1PN1。因?yàn)镻不能被P1,,PN中任何一個(gè)素?cái)?shù)整除,所以P是與上述N個(gè)素?cái)?shù)不同的素?cái)?shù),與只有N個(gè)素?cái)?shù)不符(矛盾律)。假設(shè)錯(cuò)誤。因此,有無數(shù)多個(gè)素?cái)?shù)(排中律)。,,“數(shù)與代數(shù)”演繹推理的前提(基本事實(shí))命題1等式(不等式)關(guān)系具有傳遞性。ABA﹥B),BCB﹥C)→ACA﹥C)命題2等式(不等式)兩邊加減相同量,等式(不等式)不變。ABA﹥B)→ACBCAC﹥BC)ACBCAC﹥BC),演繹推理,有理數(shù)加法的定義加上一個(gè)正數(shù)比原來的數(shù)大。符號表示對于任意的數(shù)A和正數(shù)B,有AB>A。因?yàn)锽為正數(shù),所以B>0在上面不等式兩邊分別加上A,由命題2得到AB>A結(jié)論成立。類似方法可以證明對稱命題加上一個(gè)負(fù)數(shù)比原來的數(shù)小。,演繹推理,減去一個(gè)正數(shù)等于加上這個(gè)正數(shù)的相反數(shù)減去一個(gè)正數(shù)比原來的數(shù)小用數(shù)學(xué)符號表示這個(gè)命題B>0,則ABAB證明因?yàn)椤皽p法是加法逆運(yùn)算”ABX←→ABX由命題2,等式的兩邊分別加上(B)等式不變ABBBX。根據(jù)相反數(shù)的定義ABX。由命題1ABXAB,演繹推理,減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上這個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上一個(gè)正數(shù)減去一個(gè)負(fù)數(shù)比原來的數(shù)大用數(shù)學(xué)符號表示這個(gè)命題ABAB證明令XAB。等式兩邊加B的相反數(shù)(B),由命題2XBABBA上面等式的兩邊同時(shí)減去B,再由命題2XB–BA–B因?yàn)橥瑪?shù)相減為0XA–B。由命題1ABAB,,圖形的運(yùn)動(dòng)(變換)參照物平移參照物是一條射線旋轉(zhuǎn)參照物是一條射線軸對稱參照物是一條直線不變量是本質(zhì)兩點(diǎn)間距離,演繹推理,演繹推理只能用來驗(yàn)證知識,不能用來發(fā)現(xiàn)知識。論證問題的形式是已知A求證B其中A和B都是確定性命題,沒有新的知識。發(fā)現(xiàn)知識需要下面兩種推理從條件預(yù)測結(jié)果的推理,從結(jié)果探究成因的推理需要?dú)w納推理從經(jīng)驗(yàn)過的東西推斷未曾經(jīng)驗(yàn)的東西從小范圍成立的命題推斷更大的范圍類似命題,歸納推理,歸納推理需要的前提經(jīng)驗(yàn)或者想象經(jīng)驗(yàn)從個(gè)別到一般,從具體到符號加法交換律358,538→35536915,9615→6996321,231→3223→ABBA結(jié)論的正確與否需要演繹推理的證明,歸納推理,探究成因混合運(yùn)算先括號、先乘除后加減。為什么326563032631218舉例說明上一隊(duì)同學(xué),每排3名女生2名男生,共6排,問有多少同學(xué)。下操場上有3名同學(xué),又來了一隊(duì)同學(xué),2人一排共6排,問現(xiàn)在操場上有多少同學(xué)。現(xiàn)在同學(xué)數(shù)原來同學(xué)數(shù)后來同學(xué)數(shù)326混合運(yùn)算講兩個(gè)以上的故事。除分?jǐn)?shù)等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù),,如何得到和差化積的公式A2–B2ABAB用歸納的方法問題化簡B1,A2–B2A2–1逐步嘗試A2,4–13A3,9–18A4,16–115A5,25124A6,36–135發(fā)現(xiàn)具體規(guī)律3557616124465151猜想一般規(guī)律A2–1A1A1證明一般規(guī)律還原一般問題A2B2ABAB,歸納推理,類比的方法幾何一個(gè)點(diǎn)把直線分為兩個(gè)部分。如何表達(dá)兩個(gè)點(diǎn)呢一條直線把平面分兩個(gè)部分。如何表達(dá)兩條直線呢一個(gè)平面把空間分兩個(gè)部分。如何表達(dá)兩個(gè)平面呢?cái)?shù)學(xué)推理通過歸納推理發(fā)現(xiàn)、提出命題通過演繹推理證明、得到命題歸納推理和演繹推理都是邏輯推理,因此數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性。,,四、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的模型,模型使數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實(shí)世界。模型是用數(shù)學(xué)的語言講述的是現(xiàn)實(shí)世界的故事。模型是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。課標(biāo)中主要要求兩個(gè)模型總量模型(加法模型)總量部分部分部分總量–部分→序列模型現(xiàn)在過去變化路程模型(乘法模型)路程速度時(shí)間速度路程/時(shí)間工程模型、植樹模型,,考察學(xué)生思維能力五年一班和五年二班舉行跳繩比賽,每班派10人參加比賽?,F(xiàn)在已經(jīng)賽完9人,將派最后1名上場。五年一班可以在A、B兩名同學(xué)中選出。這兩名同學(xué)最近成績?nèi)缦翧21,35,39,23,40,25B27,29,31,33,28,32你建議讓哪位同學(xué)上場比賽建議的理由是什么,,如果在我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中一方面保持“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”合理的內(nèi)核,一方面又添加了“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”,必將會(huì)出現(xiàn)既有“演繹能力”又有“歸納能力”的培養(yǎng)模式。就必將會(huì)出現(xiàn)“外國沒有的我們有,外國有的我們也有”的局面,到了那一天,我們就能自豪地說,中國的基礎(chǔ)教育領(lǐng)先于世界。,,謝謝,,改造于九章算術(shù)方程篇第八題。在漢朝的時(shí)候,有一個(gè)人做了三次牲畜買賣,收支情況如下第一次賣牛收入24錢,賣羊收入25錢,買豬支出39錢,合計(jì)收入10錢;第二次賣牛收入36錢,買羊支出45錢,賣豬收入90錢,合計(jì)收支相當(dāng);第三次買牛支出60錢,賣羊收入30錢,賣豬收入24錢,合計(jì)支出6錢。如何用數(shù)學(xué)的方法表達(dá),,文字形式牛羊豬合計(jì)第一次收入24收入25支出39收入10第二次收入36支出45收入900第三次支出60收入30收入24支出6數(shù)字形式牛羊豬合計(jì)第一次24253910第二次3645900第三次6030246負(fù)數(shù)與自然數(shù)數(shù)量相等(絕對值)、意義相反。,,,除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。為什么有鵝4只,是鴨子的三分之一,問有幾只鴨子教學(xué)目的4÷1/34312為什么用除法有鵝4只,是鴨子的2倍,問有幾只鴨子為什么乘倒數(shù)破題,解釋什么是1/31只鵝對應(yīng)3只鴨子,2只鵝對應(yīng)6只鴨子,3只鵝對應(yīng)9只鴨子,所以4只鵝對應(yīng)12只鴨子。,,,質(zhì)量監(jiān)測四個(gè)原則1不要求計(jì)算速度(速度的訓(xùn)練是課業(yè)負(fù)擔(dān)重的重要原因)2監(jiān)測出內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)(概念、推理、計(jì)算、想象)3有一道答案不唯一的開放題(初中如何判斷直角)4說學(xué)生能懂的話,按人們正常的思維(可能性),,
下載積分: 4 賞幣
上傳時(shí)間:2024-01-06
頁數(shù): 38
大小: 0.4(MB)
子文件數(shù):