機械設(shè)計制造及其自動化外文翻譯譯文-- 應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法應(yīng)用于靈活的曲柄滑塊機構(gòu)

1、<p><b>　　中文4143字</b></p><p>　　畢 業(yè) 設(shè) 計（論 文）</p><p>　　外 文 文 獻 譯 文 </p><p>　　學(xué) 生： </p><p>　　學(xué) 號：

2、 </p><p>　　院 （系）： 機電工程學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè)： 機械設(shè)計制造及其自動化 </p><p>　　指導(dǎo)教師： </p><p>　　2010 年 06月 10

3、 日</p><p>　　出處：12th IFToMM Congress, Besancon, France. 2007</p><p><b>　　英文翻譯</b></p><p>　　應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法應(yīng)用于靈活的曲柄滑塊機構(gòu)</p><p>　　（多倫多大學(xué)：Y.L. Kuo .L. Cleghorn加拿大）

4、</p><p>　　摘要:本文在歐拉一伯努利梁基礎(chǔ)上提出了一種新的適用于以應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法的程序。先選擇一個近似彎曲應(yīng)力的分布，然后通過一體化確定近似橫位移。該方法適用于解決靈活滑塊曲柄機構(gòu)問題，制定的依據(jù)是歐拉-拉格朗日方程，而拉格朗日包括與動能，應(yīng)變能有關(guān)的組件，并通過彈性橫向撓度構(gòu)成的軸向負荷的鏈接來工作。梁元模型以翻轉(zhuǎn)運動為基礎(chǔ)，結(jié)果表明以應(yīng)力和位移為基礎(chǔ)的有限元方法。</p>&l

5、t;p>　　關(guān)鍵詞：應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法，曲柄滑塊機構(gòu)，拉格-朗日方程</p><p><b>　　1.前言</b></p><p>　　以位移為基礎(chǔ)的有限元方法通過實行假定位移補充能量。這種方法可能由內(nèi)部因素產(chǎn)生不連續(xù)應(yīng)力場，同時由于采用了低階元素，邊界條件與壓力不能得到滿足。因此，另一種被成為以應(yīng)力為基礎(chǔ)采用假定應(yīng)力的有限元方法得到了應(yīng)用和發(fā)展。Veube

6、ke和Zienkiewicz[1-2]首先對應(yīng)力有限元素進行了研究。之后，這種方法被廣泛用于解決應(yīng)用程序中的問題[3-5]。此外，還有各種書籍提供更加詳細的方法[6，7]。</p><p>　　這一高速運作機制采用振動，聲輻射，協(xié)同聯(lián)結(jié)，和撓度彈性鏈接的準(zhǔn)確定位。因此，有必要分析靈活的彈塑性動力學(xué)這一類的問題，而不是分析剛體動力學(xué)。 靈活的機制是一個由無限多個自由度組成的連續(xù)動力學(xué)系統(tǒng)，其運動方程是由非線性偏微分

7、方程建立的模型，但得不到分析解決方案。Cleghorn et al[8-10] 闡述了橫向振動上的軸向荷載對靈活四桿機構(gòu)的影響。并且通過能有效預(yù)測橫向振動和彎曲應(yīng)力的五次多項式建立了一個翻轉(zhuǎn)梁單元。</p><p>　　本文提出了一種新的方法來執(zhí)行建立在歐拉一伯努利基礎(chǔ)上的以應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法。改進后的方法首先選定了假定應(yīng)力函數(shù)。然后通過整合假定應(yīng)力函數(shù)得到橫向位移函數(shù)。當(dāng)然，這種方法能解決沒有強制制約因素的

8、應(yīng)力集中問題。我們可以通過這種方法解決靈活曲柄滑塊機構(gòu)體系中存在的問題。目的是通過這種方法提高準(zhǔn)確性，該系統(tǒng)存在的問題也可以通過取代基有限元方法來解決。結(jié)果可以證明偏差比較。</p><p>　　2.以應(yīng)力為基礎(chǔ)的歐拉一伯努利梁</p><p>　　歐拉一伯努利梁的彎曲應(yīng)力與橫向位移的二階導(dǎo)數(shù)相關(guān)，也就是曲率，可以近似的看做是形函數(shù)和交點變量：</p><p>　　

9、這里[(i)N(c)]是連續(xù)載體的形函數(shù)；{(i)Øe} 是列向量的交點函數(shù)，y是關(guān)于中性線的橫向定位，E是楊氏模量，（i）v是橫向位移，x軸向定位函數(shù)。</p><p>　　由方程（1）可以推導(dǎo)出橫向位移轉(zhuǎn)換方程：</p><p><b>　　橫向位移：</b></p><p>　　這里 (i)C1和(i)C2是兩個一體化常數(shù)，可以

10、通過滿足兼容性來確定。</p><p>　　將方程（2）和（3）代入（1），可以得到有限元位移和回轉(zhuǎn)曲率，如下所示：</p><p>　　這里下標(biāo)（C），（R）和（D）分別代表曲率，自轉(zhuǎn)和位移。運用變分原理，可以得到這些方程[11-13]。</p><p>　　表1 分別比較以位移和應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法的歐拉-伯努利梁元素</p><p>

11、　　3.以位移和應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法的比較</p><p>　　主要區(qū)別在于以位移為基礎(chǔ)的有限元方法的應(yīng)力場存在不連續(xù)的內(nèi)部因素，同時具有低階形函數(shù)。主要是因為不連續(xù)量的產(chǎn)生以及間離散分布。再者，它可能由于使用過多交點變量而產(chǎn)生剛度矩陣。</p><p>　　以應(yīng)力為基礎(chǔ)的方法與以位移為基礎(chǔ)的方法比較具有很多優(yōu)點。首先，以應(yīng)力為基礎(chǔ)的方法產(chǎn)生的交點變量較少（如表1）。第二，使用以應(yīng)力為基

12、礎(chǔ)的方法時，彎曲應(yīng)力的邊界條件可以得到滿足。最后，應(yīng)力由體系方程直接計算得到。</p><p><b>　　4.方程推導(dǎo)</b></p><p>　　曲柄滑塊機構(gòu)如圖1所示，由做剛體運動的曲柄來運作，該方程由有限元公式推導(dǎo)而得。有限元方程的推導(dǎo)過程如下：（1）建立剛體運動學(xué)曲柄滑塊機構(gòu)；（2）構(gòu)建基于剛體運動學(xué)機構(gòu)的翻轉(zhuǎn)梁單元；（3）確定一套變量用來描述靈活曲柄滑塊機

13、構(gòu)的運動；（4）裝配所有梁單元。最后，就可以得到有限元方程，同時該靈活曲柄滑塊機構(gòu)的時間響應(yīng)可以通過時間一體化確定。</p><p>　　圖1 靈活曲柄滑塊機構(gòu)</p><p><b>　　A．翻轉(zhuǎn)梁的元方程</b></p><p>　　考慮靈活的梁單元受到剛體翻轉(zhuǎn)和回轉(zhuǎn)運動。疊加在剛體運動軌跡時，縱向和橫向方向上允許一些撓度變量。通過拉格-朗

14、日方程可以得到任意靈活翻轉(zhuǎn)的組件的微分方程。由于彈性變形認為是很小的，而且自由度是有限的，這個方程是線性的并且很容易畫出來。推導(dǎo)公式的元素也被很明確的列出來[8-10]，并且做了簡要的介紹。</p><p>　　鑒于在軸向有很強的剛度，因此很有必要在縱向方向上合理考慮為剛性梁。所以，縱向方向如一下所示：</p><p>　?。?）這里u1是交點變量，是關(guān)于x軸方向的常數(shù)，如圖2所示。橫向

15、可以表示為：</p><p>　　翻轉(zhuǎn)梁單元上任意點的速度可以表示如下：</p><p>　　這里（（i）Vax（i）Vay）是梁單元在O點的絕對速度，如圖2所示； 是梁單元的角速度；（（i）u（i）v）分別是梁單元上任意點縱向和橫向的位移，x是梁單元縱向的定位，如圖2所示。</p><p><b>　　圖2 旋轉(zhuǎn)梁</b></p>

16、<p>　　如果我們把 當(dāng)作組件材料的單位體積；A是組件的橫截面積，L是組件的長度，組件的動能可以表示如下：</p><p>　　均勻剛性組件的軸向彎曲應(yīng)變能量與楊氏模量E有關(guān)，得到二階矩陣I，如下所示：</p><p>　　由縱向拉伸負荷工作，（i）P,組件的橫向撓度表示如下：</p><p>　　運功機制的縱向負荷不是一成不變的，與位置和時間有關(guān)。

17、在忽略縱向彈性形變的前提下，縱向負荷可能來自于剛性慣性力，可以表示如下：</p><p>　　這里PR是元件右側(cè)的外部縱向負載， 是x軸方向上O點的絕對加速度。如圖2所示。 拉格-朗日形式表示如下：</p><p>　　將公式（5-100）代入（12），并且運用歐拉-拉格朗日方程，旋轉(zhuǎn)梁的運動方程可以表示為一下形式： </p><p>　　這里[Me]、[Ce]

18、和[Ke]分別是元件的質(zhì)量、等效阻尼和等效剛度矩陣；{Fe}是元件的載荷向量。當(dāng)建立質(zhì)量耦合矩陣時，應(yīng)主要考慮滑塊機構(gòu)。</p><p>　　B.曲柄滑塊機構(gòu)方程</p><p>　　提出解決曲柄滑塊機構(gòu)問題的方法，變量是曲率的節(jié)點。裝配所有元件時，考慮機構(gòu)的邊界條件是很有必要的。因為該動力適用于基礎(chǔ)曲柄結(jié)構(gòu)，在O點存在彎矩，如圖1所示，在O點也存在曲率。如圖1所示的A點和B點，我們假定它

19、們是很小的點。然而，實際上，彎矩和曲率在這兩個點上都為零。</p><p>　　因為公式（13）是變量的矩陣表示方式{Ø} ，這個公式可以通過總結(jié)所有的方程來得到，可以表示如下：</p><p>　　這里[M]、[C]、[K]分別是質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，{F}是負載向量。</p><p>　　5.穩(wěn)定狀態(tài)基礎(chǔ)上的數(shù)值模擬</p><p&

20、gt;　　曲柄的轉(zhuǎn)速是150rad/s (1432rpm),該靈活曲柄滑塊機構(gòu)的各項數(shù)值表示如下：R2=0.15(m)，R3=0.30(m), =0.225(kg/m), EI=12.72(N-m2), mB=0.03375(kg)。</p><p>　　這里R2 和R3分別是曲柄和耦合器的長度，mB是滑塊的質(zhì)量。</p><p>　　通過曲柄和耦合器的一個運動周期，可以看出穩(wěn)態(tài)橫向位移和

21、中點彎曲應(yīng)力的變化情況，以及分析本課題的結(jié)果?？梢酝ㄟ^增加物理阻尼矩陣提高穩(wěn)定性，被稱作瑞利阻尼：</p><p>　　這里α和β是兩個常數(shù)，可以從[15]中對應(yīng)于兩個不同頻率的振動的阻尼比得到。本文中α和β的值取決于自然頻率。</p><p>　　通過在運動方程中增加物理阻尼，也可以通過Newmark時間步驟觀測超過20個周期的運動，從而得到分析結(jié)果。當(dāng)采用數(shù)值時間積分是出示條件從零開始

22、。</p><p><b>　　誤差可以表示為：</b></p><p>　　這里QFEQRef 和分別表示以有限元方法和參考方法為基礎(chǔ)的兩個值，總的來說，可以建立時間方程，而且很容易被接受，比如能量、位移、彎矩等等。t1 和t2指的是時間積分的間隔，通常指的是穩(wěn)態(tài)條件下的以個周期。因為沒有一個合適的準(zhǔn)確的方法，在本文中可以通過一個五次多項式表示20個元件鏈接為基礎(chǔ)的

23、位移有限元方法得到參考值。</p><p>　　Fig. 3. Time responses of the total energy, dimensionless midpoint deflection of the coupler, and the midpoint strain of the coupler at the steady state</p><p><b>　　

24、condition</b></p><p>　　圖3 總能量的時間響應(yīng)，耦合器的量綱中點撓度，耦合器在穩(wěn)態(tài)條件下的中點應(yīng)變。</p><p><b>　　6.數(shù)值模擬</b></p><p>　　在這一節(jié)中，我們討論剛性曲柄機構(gòu)。耦合器是唯一的一個靈活的連桿。在第六節(jié)中以以梁單元為基礎(chǔ)，該梁單元可以做剛性軸運動，但是存在橫向撓度。&

25、lt;/p><p>　　在第三節(jié)中討論以有限元為基礎(chǔ)的方法時，很有必要考慮模型的邊界條件和形函數(shù)的相近程度，我們粗略的建立了耦合器應(yīng)變線性分布方程，而且在彎矩不為零的條件下考慮耦合器的邊界條件。</p><p>　　在下面這個例子中，我們認為耦合器是由兩個、三個、四個或者五個元件組成的，同時它的曲率分布可以表示為線性方程：</p><p>　　于是，時間響應(yīng)和總能量誤差

26、，耦合器的中點撓度和應(yīng)變都可以通過以應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法得到。同時，也評估了第一自然頻率。</p><p>　　曲柄的轉(zhuǎn)速為150rad/s (1432rpm) ，該靈活的曲柄滑塊機構(gòu)中各個部件的值可以表示如下[16]：</p><p>　　R2=0.15(m)，R3=0.30(m), =0.225(kg/m), EI=12.72(N-m2), mB=0.03375(kg)。</p

27、><p>　　這里R2 和R3分別是曲柄和耦合器的長度，mB是滑塊的質(zhì)量。</p><p>　　為了通過以位移為基礎(chǔ)的有限元方法比較誤差，我們同樣要用它建立一個機構(gòu)，結(jié)果可以參考文獻[17]。</p><p>　　表2 兩種有限元方法的第一自然頻率誤差</p><p><b>　　DOF：自由度數(shù)目</b></p>

28、;<p>　　表3 兩種有限元方法的總能量誤差</p><p><b>　　DOF：自由度數(shù)目</b></p><p>　　圖3顯示了總能量的時間響應(yīng)，耦合器的量綱中點撓度，耦合器在穩(wěn)態(tài)條件下的中點應(yīng)變。表2-5分別比較了以位移為基礎(chǔ)和以應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法的第一自然頻率誤差、總能量、耦合器的中點撓度量綱、以及耦合器的中點應(yīng)變。誤差可以由公式（16）得

29、到。結(jié)果表明，當(dāng)兩種方法中的元件數(shù)目相同時，以應(yīng)力為基礎(chǔ)的方法誤差較以位移為基礎(chǔ)的誤差大。但是，當(dāng)自由度的數(shù)目相同時，以應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法的誤差比以位移為基礎(chǔ)的有限元方法的誤差小很多。同時，我們注意到當(dāng)元件相同，除去第一自然頻率誤差時，以應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法的誤差也比以位移為基礎(chǔ)的有限元方法的小很多。這說明以應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法可以提供大量精確的解決動態(tài)彈塑性問題的方法。</p><p>　　表4 兩種有

30、限元方法的耦合器中點撓度誤差</p><p><b>　　DOF：自由度數(shù)目</b></p><p>　　表5 兩種有限元方法的耦合器中點應(yīng)變誤差</p><p><b>　　DOF：自由度數(shù)目</b></p><p><b>　　7.結(jié)論</b></p><

31、;p>　　本文提出了一種新的以應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法來解決歐拉-拉格朗日梁問題。該方法尤其適用于解決動態(tài)彈塑性問題。并且提出了梁的近似曲率。然后我們可以通過整合近似曲率得到橫向撓度和應(yīng)力分布。在整合過程中，有必要使梁單元的邊界條件得到滿足，從而可以得到整合常數(shù)。本文中，我們提出了在高速運作下解決靈活曲柄滑塊機構(gòu)問題。結(jié)果表明，在同樣的自由度下，以應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法的誤差小于常規(guī)方法的誤差，常規(guī)方法也就是以位移為基礎(chǔ)的有限元方法

32、。同樣，在元件數(shù)目相同的條件下，以應(yīng)力為基礎(chǔ)的有限元方法可以提供更多準(zhǔn)確的解決方法。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]B. Fraeijs de Veubeke, “Displacement an equilibrium models in the finite element method”, stress Analysis,

33、 edited by O.C. Zienkiewicz, Wiley, New York, 1965.</p><p>　　[2]B. Fraeijs de Veubekd and O.C. Zienkiewicz, “Strai-energy bounds in finite-element analysis by slab analogy” J. Strain Analysis, Vol. 2, pp. 26

34、5-271, 1967.</p><p>　　[3]Z. Wieckowski, S.K. Youn, and B.S. Moon, “Stressedbased finite element analysis of plane plasticity problems”, Int. J Numer. Meth. Engng., Vol. 44, pp. 1505-1525, 1999.</p>&l

35、t;p>　　[4]H. Chanda and K.K. Tamma, “Developments encompassig stress based finite element formulations for materially nonlinear static dynamic problems”, Comp. Struct.,Vol. 59, No. 3, pp. 583-592, 1996.</p><

36、p>　　[5]M. Kaminski, “Stochastic second-order perturbation approach to the stress-based finite element method”, Int. J. Solids and Struct., Vol. 38, No. 21, pp. 3831-3852, 2001. </p><p>　　[6]O.C. Zienkiew

37、icz and R.L. Taylor, The Finite Element Method, McGraw-Hill, London, 2000. </p><p>　　[7]R.H. Gallagher, Finite Element Fundamentals, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1975. </p><p>　　[8]W.L. Cle

38、ghorn, 1980, Analysis and design of high-speed flexible mechanism, Ph. D. Thesis, University of Toronto. </p><p>　　[9]W.L. Cleghorn, R. G. Fenton, and B. Tabarrok, 1981, “Finite element analysis of high-spee

39、d flexible mechanisms”, Mechanism and Machine Theory, 16(4), 407-424. </p><p>　　[10]W.L. Cleghorn, R.G. Fenton, and B. Tabarrok, 1984, “Steady-state vibrational response of high-speed fexible mechanisms”, Me

40、chanism and Machine Theory, 19(4/5)417-423. </p><p>　　[11]Y.L. Kuo, W.L. Cleghorn and K. Behdinan, “Stress-bsed Finite Element Method for Euler-Bernoulli Beams”,Transactions of the Canadian Society for Mecha

41、nical Engineering, Vol. 30(1), pp. 1-6, 2006. </p><p>　　[12]Y.L. Kuo, W.L. Cleghorn, and K. Behdinan “Applicatons of Stress-based Finite Element Method on Euler-Bernoulli Beams ”, Proceedings of the 20th Can

42、adian Congress of Applied Mechanics, Montreal, Quebec, Canada, May 30-Jun 2, 2005. </p><p>　　[13]Y.L. Kuo, Applications of the h-, p-, and r-refinements of the Finite Element Method on Elasto-dynamic Problem

43、s, Ph.D. Thesis, University of Toronto, 2005. </p><p>　　[14]L. Meirovitch, 1967, Analytical Methods in Vibrations, Macmillan, New York, 436-463. </p><p>　　[15]K.J. Bathe, 1996, Finite Element Pr

44、ocedures, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, USA. </p><p>　　[16]A.L. Schwab and J.P. Meijaard, 2002, “Small vibratons superimposed on prescribed rigid body motion”, Mulibody System Dynamics, 8, 29-49. <