rainfallqc–krigingmethod

1、Rainfall QC – Kriging Method,田 璦 菁中央大學(xué)土木工程研究所報(bào)告者 陳薏蘋,Kriging method起源,克利金法起源於地質(zhì)學(xué)家研究南非礦冶工程，用以討論地下水分布問 題。主要以區(qū)域化變數(shù)理論探討自 然資源在空間上分佈之相關(guān)性，並 應(yīng)用於勘查及推估自然資源上。,Kriging Method基礎(chǔ)概念,Kriging其基本假設(shè)為期望值與變異數(shù)只和隨機(jī)變數(shù)的距離有關(guān)，而與其所在

2、空間無關(guān)。應(yīng)用區(qū)域化變數(shù)所具有之特點(diǎn)，分別發(fā)展出不同點(diǎn)或區(qū)塊等推估系統(tǒng)方程式。,區(qū)域化變數(shù)理論,定義:自然現(xiàn)象在空間與時(shí)間中之隨機(jī) 變異的分佈，表現(xiàn)出空間及時(shí)間 結(jié)構(gòu)，稱之為區(qū)域化。統(tǒng)計(jì)學(xué)上 常用一種空間隨機(jī)函數(shù)(Random Function) Z(x)，表示為任何有關(guān) 之參數(shù)，稱之為區(qū)域化變數(shù) (Regionalized Va

3、riable)。,基本假設(shè) 1. 定常性假設(shè)(Statiionary Hypothesis) (a) 在不同位置之隨機(jī)變數(shù)的期望值為一定值 E[Z(x)] = μ = const μ:平均值 (b) 不同位置的隨機(jī)變數(shù)之變異數(shù)為一定值 Var[Z(x)] =

4、σ2 = const,(c) 空間中任意兩個(gè)位置之隨機(jī)變數(shù)Z(x)與 Z(x+h)之共變異函數(shù)(Covarance)只與其兩 點(diǎn)之相對(duì)距離有關(guān)，與其個(gè)別所位置無關(guān) Cov[Z(x), Z(x+h)] = E{[Z(x)-μ][Z(x+h)-μ]} = Co

5、v(h),2. 內(nèi)在假設(shè) (Intrinsic Hypothesis),定常性假設(shè)變異函數(shù)必須存在，且變異函 數(shù)應(yīng)為有限值，但實(shí)際上許多物理現(xiàn)象並不滿足其假設(shè)。故提出內(nèi)在假設(shè)，即不同 位置的隨機(jī)變數(shù)之差為一隨機(jī)變數(shù)，且期 望值與變異數(shù)只和隨機(jī)變數(shù)間之距離有關(guān) ，與位置無關(guān)。當(dāng)符合以下條件即滿足內(nèi) 在假設(shè)。,(a) 空間中任意兩個(gè)位置之隨機(jī)變數(shù)，其差值期望為兩個(gè)點(diǎn)間的函數(shù) E

6、[Z(x+h)-Z(x)]=m(h)(b) 空間中任意兩個(gè)位置之隨機(jī)變數(shù)Z(x)與Z(x+h)的變異函數(shù)，和所在位置無關(guān)， 等於兩倍的半變異元函數(shù) Var[Z(x+h)-Z(x)]=2γ(h) γ(h):半變異元函數(shù)(Semi-Variogram),半變異元分析,半變異元的區(qū)域化變數(shù)可依特定方向但不同位置的隨機(jī)函數(shù)之差來表之，其定義為

7、 γ(h) = ½ E[Z(x)-Z(x+h)] 2 由觀測(cè)值所以計(jì)算得知的半變異元，稱為試驗(yàn)半變異元γ*(h) ，可用算數(shù)平均值之方法來計(jì)算 Z(xi):位於x點(diǎn)的觀測(cè)值 Z(xi+):位於x+h之觀測(cè)值 h:平均距離 N(h):配對(duì)數(shù),,半變異圖,由半變異圖可知: (a) 臨界變異值 (b) 影響範(fàn)圍 (c) 碎塊效應(yīng),半變異圖模式

8、,半變異圖模式須滿足半變異的結(jié)構(gòu)及維度條件，為決定γ(h)需選用已滿足正定條件的模式。γ(h)決定後，即可提供Kriging變差函數(shù)進(jìn)行最佳推估。,拉格蘭茲乘數(shù) (Lagrange Multipliers),Langrange Multipliers主要應(yīng)用於多變數(shù)計(jì)算，用以簡化方程式。欲求一個(gè)函數(shù)的極限，很難用一個(gè)封閉的方程組求之，因此必須應(yīng)用一些限制條件來使函數(shù)的差異降至最低。由於變數(shù)眾多，使方程組變的複雜，

9、故為了解決這些問題而發(fā)展出Langrange Multipliers，其可以不用考慮太多的限制條件，對(duì)於額外的變數(shù)可以忽略，只考慮有興趣的部份。,f(P) = μg(P) F(P, μ)=f(P) - μg(P),Kriging推估法,特性: 針對(duì)區(qū)域化變數(shù)所具有之特性， 發(fā)，如定常性假設(shè)及單一或多個(gè) 變數(shù)等性質(zhì)，分別發(fā)展出不同點(diǎn)

10、 或區(qū)域的推估系統(tǒng)方程式，具有 最佳線性不偏推估的特性。,最佳線性不偏推估,線性(Linear): 估計(jì)值為觀測(cè)值之線性組合 (1-1) zi :隨機(jī)變數(shù) z(x)在xi點(diǎn)上之觀測(cè)值，即z(xi)

11、 :為z(x0)之推估值，即z*(x0) :為對(duì)應(yīng)zi之權(quán)重,,不偏估(Unbiased): 估計(jì)值之期望值等於隨機(jī)變數(shù) 之期望值 E[ ] = E[Z0] (1-2) E[ - Z0]= 0最佳化(Optimal): 估計(jì)值與觀測(cè)值差之變異數(shù)為

12、 最小值 min{Var ( - Z0)= E( - Z0)2]} (1-3),由(1-1)式可知 為求最佳化之推估結(jié)果，將(1-1)代入(1-3)，並 且為同時(shí)滿足最佳化和不偏估等兩個(gè)特性，故 用拉格蘭茲法引入拉格蘭茲參數(shù)μ Var[z*(x0) – z(x0)]=Var[z*(x0)] –Var[z(x0)]

13、 Var [z*(x0)]= μ –Var[z(x0)]= μ,上式可改寫為 L= Var[z*(x0) – z(x0)]-2μ = E{[z*(x0) – z(x0)]2}-2μ =將上式對(duì)λ0i及μ偏微分，並令微分式等於0，即可求得克利金系統(tǒng)方程式及克利金變異數(shù),克利金系統(tǒng)方程式 令 可得克利金

14、系統(tǒng)方程式,其中 矩陣 表非觀測(cè)值之間相關(guān)特性 表示觀測(cè)點(diǎn)與推估點(diǎn)間之相關(guān)特性 為權(quán)重係數(shù)，可直接由相對(duì)距離所 控制之克利金系統(tǒng)方程式?jīng)Q定，而 不需要觀測(cè)點(diǎn)之觀測(cè)資料,克利金變異數(shù) 克利金系統(tǒng)方程可求得最