第十章(第一部分)曲線積分

1、—1—第十章第十章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（第一部分）（第一部分）曲線積分曲線積分Ⅰ、對(duì)弧長的曲線積分（第一型曲線積分）、對(duì)弧長的曲線積分（第一型曲線積分）一、對(duì)弧長的曲線積分的概念一、對(duì)弧長的曲線積分的概念1定義定義.?????????niiiiLsfdsyxf10)(lim)(???????????niiiiisfdszyxf10)(lim)(2物理意義物理意義表示線密度為表示線密度為的弧段的弧段的質(zhì)量的質(zhì)量.???Ld

2、syxM)()(yx?ABL?二、對(duì)弧長的曲線積分的性質(zhì)二、對(duì)弧長的曲線積分的性質(zhì)1線性性質(zhì)：線性性質(zhì)：.????Ldsyxgyxf)]()([??????LLdsyxgdsyxf)()(2可加性：若可加性：若，則，則.21LLL???Ldsyxf)(????21)()(LLdsyxfdsyxf3的弧長：的弧長：.L??Ldss4單調(diào)性：設(shè)在單調(diào)性：設(shè)在上，上，.則.L)()(yxgyxf????LLdsyxgdsyxf)()(5與積分

3、曲線的方向無關(guān)性：與積分曲線的方向無關(guān)性：???BAABdsyxfdsyxf)()(三、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算方法三、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算方法方法：化為定積分計(jì)算（方法：化為定積分計(jì)算（注：下限：下限上限）上限）（1）若）若；則；則)()(:tytxL????)(????t.?Ldsyxf)(???????????22)()()]()([dtttttf（2）若）若；則；則)(:xyL??)(0Xxx??.?Ldsyxf)(????Xx

4、dxxxxf20)(1)]([??（3）若）若；則；則):?r(rL?)(21?????—3—數(shù)中又含有中又含有，故可將，故可將代入，從而簡化被積函代入，從而簡化被積函22432yxxy??2243yx?124322??yx數(shù)，然后再計(jì)算；對(duì)于積分?jǐn)?shù)，然后再計(jì)算；對(duì)于積分，由于，由于關(guān)于關(guān)于軸（軸（軸）對(duì)稱，函數(shù)軸）對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于關(guān)于?Lxyds2Lyxxy2（或關(guān)于（或關(guān)于）為奇函數(shù)，故有）為奇函數(shù)，故有.xy02??Lxyds解由奇

5、偶對(duì)稱性可知由奇偶對(duì)稱性可知，所以，所以02??Lxyds???Ldsyxxy)432(22???Ldsxy)122(.????LLdsxyds122aa12120???例3求，其中，其中.???????????LdsyxI22)12()21(1:22??yxL分析分析此題若用選取參數(shù)方程計(jì)算，將會(huì)很麻煩。注意到積分曲線是此題若用選取參數(shù)方程計(jì)算，將會(huì)很麻煩。注意到積分曲線是，122??yx而由輪換對(duì)稱性可知：而由輪換對(duì)稱性可知：，由奇

6、偶對(duì)稱性知：，由奇偶對(duì)稱性知：.故本題故本題???LLdsydsx220)(???Ldsyx有如下簡單的解法。有如下簡單的解法。解????????????LdsyxyxI)()454(22????????????Ldsyxyx)()454(22????Ldsyx)454(22???????LLdsdsyxyx222245)82(.??????245)8121(Lds??????4152545例4設(shè)曲線設(shè)曲線是球面是球面與平面與平面的交線