三角形五心定律

1、三角形五心定律三角形五心定律重心定理重心定理三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡單。(重心原是一個物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名)重心的性質(zhì):1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2︰1。2、重心和三角形任意兩個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。3、重心到三角形3個頂點(diǎn)距離的平方

2、和最小。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標(biāo)為((X1X2X3)3，(Y1Y2Y3)3)。5.以重心為起點(diǎn)，以三角形三頂點(diǎn)為終點(diǎn)的三條向量之和等于零向量。外心定理外心定理三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心的性質(zhì):1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形外心。2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A(∠A為銳角或直角)或∠BOC=3602∠A(∠A為鈍角)。3、當(dāng)三角形為銳角三

3、角形時，外心在三角形內(nèi)部當(dāng)三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部當(dāng)三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。4、計算外心的坐標(biāo)應(yīng)先計算下列臨時變量:d1，d2，d3分別是三角形三個頂點(diǎn)連向另外兩個頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2c=c1c2c3。外心坐標(biāo):((c2c3)2c，(c1c3)2c，(c1c2)2c)。5、外心到三頂點(diǎn)的距離相等4、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個頂點(diǎn)，延

4、長AO交BC邊于N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(ABAC):BC5、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI^2=R^22Rr.6、(內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系)△ABC中，0為內(nèi)心，∠A、∠B、∠C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，則BQQC=cbCPPA=acBRRA=ab.7、內(nèi)心到三角形三邊距離相等。旁心定理旁心定理三角形的旁切圓(與三角形的一邊和其他

5、兩邊的延長線相切的圓)的圓心，叫做三角形的旁心。旁心的性質(zhì):1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。2、每個三角形都有三個旁心。3、旁心到三邊的距離相等。如圖，點(diǎn)M就是△ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。附:三角形的中心:只有正三角形才有中心，這時重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。有關(guān)詩歌有關(guān)詩歌三角形五心歌(重外垂