時間序列分析(張能福)第三章

1、第一節(jié)線性差分方程一、后移算子B定義為三、齊次方程解的計算1、AR(n)過程自相關(guān)函數(shù)ACF1階自回歸模型AR(1)Xt=Xt1at的k階滯后自協(xié)方差為：Xt=1Xt12Xt2at該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差12分別為一般地，n階自回歸模型AR(n)Xt=1Xt12Xt2…nXtnat其中：zi是AR(n)特征方程(z)=0的特征根，由AR(n)平穩(wěn)的條件知，|zi|1因此，當(dāng)zi均為實(shí)數(shù)根時，k呈幾何型衰減（單調(diào)或振蕩）

2、；當(dāng)存在虛數(shù)根時，則一對共扼復(fù)根構(gòu)成通解中的一個阻尼正弦波項(xiàng)，k呈正弦波衰減。對MA(1)過程其自協(xié)方差系數(shù)為二、偏自相關(guān)函數(shù)從Xt中去掉Xt1的影響，則只剩下隨機(jī)擾動項(xiàng)at，顯然它與Xt2無關(guān)，因此我們說Xt與Xt2的偏自相關(guān)系數(shù)為零，記為MA(1)過程可以等價地寫成at關(guān)于無窮序列Xt，Xt1，…的線性組合的形式：與MA(1)相仿，可以驗(yàn)證MA(m)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但趨于零的。ARMA(nm)的自相關(guān)函數(shù)，可以看作MA(m

3、)的自相關(guān)函數(shù)和AR(n)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。當(dāng)n=0時，它具有截尾性質(zhì)；當(dāng)m=0時，它具有拖尾性質(zhì)；當(dāng)n、m都不為0時，它具有拖尾性質(zhì)從識別上看，通常：ARMA(n，m)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）可能在n階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱（spikes），但從n階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零；而它的自相關(guān)函數(shù)（ACF）則是在m階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱，從m階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零。對k=1，2，3，…依次求解方程，得上述……序列為AR模型的偏自

4、相關(guān)函數(shù)。偏自相關(guān)性是條件相關(guān)，是在給定的條件下，和為對一般情形，因此，齊次方程解是由衰減指數(shù)項(xiàng)、多項(xiàng)式、衰減正弦項(xiàng)，以及這些函數(shù)的組合混合生成的。齊次方程解便是請看例題定義：設(shè)零均值平穩(wěn)序列第二節(jié)格林函數(shù)(Green’sfunction)和平穩(wěn)性(Stationarity)一、格林函數(shù)(Green’sfunction)能夠表示為則稱上式為平穩(wěn)序列的傳遞形式，式中的加權(quán)系數(shù)稱為格林（Green）函數(shù)，其中格林函數(shù)的含義：格林函數(shù)是描述系

5、統(tǒng)記憶擾動程度的函數(shù)。（1）式可以記為其中式（1）表明具有傳遞形式的平穩(wěn)序列可以由現(xiàn)在時刻以前的白噪聲通過系統(tǒng)“”的作用而生成，是j個單位時間以前加入系統(tǒng)的干擾項(xiàng)對現(xiàn)實(shí)響應(yīng)的權(quán)，亦即系統(tǒng)對的“記憶”。二、AR（1）系統(tǒng)的格林函數(shù)由AR（1）模型即：則AR(1)模型的格林函數(shù)例：下面是參數(shù)分別為0.9、0.1和0.9的AR（1）系統(tǒng)對擾動的記憶情況。（演示試驗(yàn)）比較前后三個不同參數(shù)的圖，可以看出：取正值時，響應(yīng)波動較平坦。取負(fù)值時，響應(yīng)波

6、動較大。越大，系統(tǒng)響應(yīng)回到均衡位置的速度越慢，時間越長。三、格林函數(shù)與AR（n）系統(tǒng)的平穩(wěn)性平穩(wěn)性的涵義就是干擾項(xiàng)對系統(tǒng)的影響逐漸減弱，直到消失，對于一個AR（n）系統(tǒng)，將其寫成格林函數(shù)的表示形式，如果系統(tǒng)是平穩(wěn)的，則預(yù)示隨著j→∞，擾動的權(quán)數(shù)對于AR(1)系統(tǒng)即這要求上述條件等價于AR(1)系統(tǒng)的特征方程的根在單位圓內(nèi)(或方程的根在單位圓外).AR（n）模型，即其中：的平穩(wěn)性條件為：的根在單位圓外（或的根在單位圓內(nèi)）。AR（n）系統(tǒng)的