化工設(shè)備設(shè)計(jì)基礎(chǔ)4

1、,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,彎曲概念與梁的分類1）彎曲的概念及實(shí)例圖1 實(shí)例：兩臺設(shè)備安裝在兩根橫梁上的簡圖，簡化為力學(xué)模型,,,受力特點(diǎn)：a. 作用在桿件上的載荷和支座反力均垂直于桿件的軸線。軸線在桿件變形前為直線，變形后成為曲線。（區(qū)別于拉伸

2、，外力作用于軸線上）b. 外力彼此相距較遠(yuǎn)，某些橫截面上雖有剪力或扭矩，但就整個(gè)梁來說，彎曲是主要的。凡是具備上述受力特點(diǎn)，并產(chǎn)生彎曲變形的桿件――梁（廣義），如臥式容器，塔設(shè)備等。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,平面彎曲實(shí)例1,,CHAP. 4

3、 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,平面彎曲實(shí)例2,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2) 梁的幾

4、何形狀和名稱 討論一具有等矩形截面的梁，梁l，h，b，l>>h，l>>b。,梁的軸線：通過所有橫截面型心的直線，坐標(biāo)軸x軸即梁的軸線方向梁的對稱平面:連接所有橫截面垂直對稱軸的平面mnmini（y軸即對稱軸方向）z軸方向是垂直xy平臺，且通過橫截面形心，這樣就確定了坐標(biāo)軸的三個(gè)方向。上述的梁，就為具有對稱平面的等直梁。其截面可以是矩形，還可以是圓、圓環(huán)、工字形、丁字形等。,,CHAP

5、. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,平面彎曲―當(dāng)作用在梁上的所有橫向力均作用在梁的對稱平面內(nèi)時(shí)，則在梁發(fā)生彎曲變形以后，梁的軸線便在對稱平面內(nèi)彎成一條曲線，這種彎曲成為平面彎曲。平面彎曲是彎曲問題中最基本且最常見的情況，這章主要討論梁的平面彎曲的強(qiáng)度和剛度問題。,

6、3) 梁上的外力、梁的支座及分類,,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,工程上梁的支承情況很復(fù)雜，可以簡化歸納為以下三種典型形式：,a. 固定鉸鏈支座（阻止梁在支座處沿水平和垂直方向移動，但不能阻止梁繞鉸鏈中心轉(zhuǎn)動）。因此其受力情況

7、 用位移表示,b. 活動鉸鏈支座（阻止梁沿支座面的法線方向移動）。因此其受力情況 用位移表示,,c. 固定端（使梁即不能沿水平方向和豎直方向移動，也不能繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動） 因此其受力情況 用位移表示,,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

8、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,實(shí)際上工程結(jié)構(gòu)的受力情況，可以視具體情況簡化為上述三種形式之一，根據(jù)梁的支承情況，可將梁簡化為三種。力學(xué)模型如下（考慮關(guān)于梁本身的簡化，梁通常用某軸線表示）,簡支梁 ―梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動鉸鏈支座;外伸梁 ―支座情況同上，梁的一端或兩端伸出在支座之外;懸臂梁 ―梁的一端固定，另一端自由外伸,,CHAP. 4

9、直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例4-1 一塔器，高h(yuǎn)，自重w，受到集度為q（N/m）的水平方向風(fēng)載荷作用，試求支座反力。,解：可將塔器視為一端固定的懸臂梁。固定端處約束反力有三個(gè)，H,V,m，取整體塔器為分離體，由靜力平衡方程,,,,簡化算法，qh的力作用在軸長度中央,,CH

10、AP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2. 梁的內(nèi)力分析作用在梁上外載荷在傳遞載荷過程中，力所經(jīng)過的各個(gè)橫截面都將產(chǎn)生相應(yīng)的內(nèi)力，如何進(jìn)行梁的內(nèi)力分析,可通過靜力平衡和變形兩方面分析。,,,,1）靜力平衡 仍以前圖

11、所示橫梁為例，由靜力平衡及RA=RB=P,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,AC段：分析1－1截面，切開1－1截面，取其左邊一段，該段梁上另作用有一向上的外力RA，根據(jù)靜力平衡，得到在1－1截面的左側(cè)作用著Q1,M1，Q1－梁在該截面上的剪力，M1－梁在該

12、截面上的彎矩，Q1，M1是1-1截面右側(cè)作用于左側(cè)的，截面左側(cè)同時(shí)作用給右側(cè)同樣大小的力。應(yīng)當(dāng)把作用在同一截面左右二側(cè)的剪力和彎矩看成一個(gè)。剪力、彎矩是成對出現(xiàn)的。,,,,b. CD段 CD段任一截面2－2，Q=0，M2=Px－P(x－a)＝Pa（設(shè)AC=DB=a）,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

13、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,由此可見，彎曲梁的各個(gè)截面上作用著不同的Q,M，AC段，即有Q，又有M—橫力彎曲（剪切彎曲）,CD段—純彎曲。,,,,2） 變形分析（定性）梁未受外載荷,在CD段任取二個(gè)相鄰橫截面a1b1c1d1~a2b2c2d2,畫上三條縱向線m1m2，o1o2, n1n2（梁的1/2高度處），當(dāng)梁上施加外載荷及支座反力RA,RB后，我們發(fā)現(xiàn)：,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,

14、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a. 縱向纖維由直變彎。o1o2以上部分，m1m2縮短，o1o2以下部分，m1m2伸長，而o1o2不變。這說明梁的上半部分受到縱向壓縮，梁的下半部分受到縱向拉伸，而且離開o1o2線越遠(yuǎn)的縱向線，它們被拉長或縮短的數(shù)量越大。b. 各條橫向線a1b1，c1d1，a2b2仍為直

15、線。由此假設(shè)，梁的橫截面的變形后仍是一個(gè)平面，且仍與已經(jīng)成為弧線的m1m2,n1n2相重合。并且仍垂直于變形后梁的軸線。（平面假設(shè)）－>試驗(yàn)理論得到證明。c. 橫向線a1b1與a2b2由相互平行變?yōu)椴辉倨叫?。這說明相鄰兩平面a1b1c1d1，a2b2c2d2,發(fā)生了相對移動，轉(zhuǎn)動軸位置通過平面O點(diǎn)并垂直于梁的對稱平面。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

16、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,截面的中性軸（Z方向）。將梁所有橫截面上的中心軸連接起來形成梁的中性層（通過截面形心，且垂直于截面的垂直對稱軸線）。顯然，梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，中性層內(nèi)的縱向纖維長度不變。幾個(gè)名詞：梁的軸線、梁的對稱平面，橫截面的中性軸，垂直對稱軸，梁的中性層。正是由于梁的一系列相鄰橫截面之間發(fā)生了繞各自中性軸的相對轉(zhuǎn)動，所以才導(dǎo)致了梁的由直

17、變彎，以及梁的縱向纖維的伸長、縮短。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,現(xiàn)在來分析梁彎曲的任一橫截面上彎曲應(yīng)力情況。假想將梁沿平面截開：,由于縱向纖維受到不同程度的拉伸、壓縮，因此該截面上必定作用著正應(yīng)力，與拉伸不同，非均布。在中性層以上縱向纖維縮短

18、，產(chǎn)生壓縮應(yīng)力，在中性層以下縱向纖維伸長，產(chǎn)生拉伸應(yīng)力，中性層處應(yīng)力＝0。作用在橫截面上這些正應(yīng)力，由于中性軸以上是壓應(yīng)力，中性軸以下是拉應(yīng)力。于是無數(shù)微面積dA上的力對中性軸構(gòu)成了一個(gè)合力矩（即前面提到的彎矩M）,,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

19、,內(nèi)力矩的產(chǎn)生伴隨著梁的相鄰橫截面之間發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，隨著外載荷增加而增加；內(nèi)力矩作用，阻止該截面在外力矩作用下企圖發(fā)生的進(jìn)一步轉(zhuǎn)動（起著平衡力矩作用）并且力圖恢復(fù)梁的變形。彎矩、剪力總是成對出現(xiàn)的，大小相等，方向相反。,,3. 剪力與彎矩的計(jì)算由上一節(jié)分析可知，任一截面上的剪力，其作用是抵抗該截面一側(cè)所有外力對該截面的剪力作用, 其大小應(yīng)該等于該截面一側(cè)所有橫向外力之和。任一截面上的彎矩，其作用是抵抗該截面一側(cè)所有外力使截面繞其中

20、性軸轉(zhuǎn)動，它的大小應(yīng)等于該截面一側(cè)所有外力對改截面中性軸取矩之和。剪力、彎矩均有二種方向，須規(guī)定其“正負(fù)”：由于Q,M均是內(nèi)力，其正負(fù)要根據(jù)變形而定。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1）剪力正負(fù)的規(guī)定根據(jù)剪切變形的方向，規(guī)定剪力Q的正負(fù)。通常規(guī)

21、定：如果產(chǎn)生圖（a）所示的變形，（此變形是使截面左邊的梁發(fā)生相對截面右側(cè)梁的向上滑動）那么伴隨這種變形產(chǎn)生的剪力是正值，反之，是負(fù)。法則：梁的任一橫截面上剪力大小等于該截面一側(cè)所有橫向外力的代數(shù)和，截面左側(cè)向上的合外力和截面右側(cè)向下的合外力取正值。反之，取負(fù)。（可以理解為合外力和剪力組成順時(shí)針轉(zhuǎn)向，取“＋”，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，取“－”，而不須考慮截面左右側(cè)）,,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

22、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2）彎矩正負(fù)的規(guī)定彎矩正負(fù)的規(guī)定也要依據(jù)變形。彎曲變形的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)相鄰橫截面之間發(fā)生繞各自中性軸的相對轉(zhuǎn)動。伴隨這種轉(zhuǎn)動，橫截面上才有彎矩產(chǎn)生。一種相對轉(zhuǎn)動是使二相鄰橫截面之間的縱向間距發(fā)生上邊縮短，下邊伸長的變形圖（a），伴隨這種相對轉(zhuǎn)動而在該截面上所發(fā)生的彎矩，通常規(guī)定為正，反之為負(fù)。,,也

23、即橫截面上存在的“上半部受壓，下半部受拉”的正應(yīng)力對中性軸取矩構(gòu)成正的彎矩。反之，構(gòu)成負(fù)的彎矩。向上的外力均產(chǎn)生正的彎矩，向下的外力均產(chǎn)生負(fù)的彎矩。彎矩法則：梁在外力作用下，其任意指定截面上的彎矩等于該截面一側(cè)所有外力對該截面中性軸取矩的代數(shù)和。凡是向上的外力，其矩取正值，向下的外力，取負(fù)值。若是集中力偶，則截面左側(cè)順時(shí)針轉(zhuǎn)向，截面右側(cè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶取正值，反之取負(fù)值。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,

24、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3）剪力圖和彎矩圖橫截面上的剪力、彎矩隨截面的位置發(fā)生變化。假設(shè)以梁的左端為原點(diǎn)，沿梁的軸線建立x軸，于是，梁各個(gè)橫截面上的剪力Q、彎矩M均可表示為截面所在位置坐標(biāo)x的函數(shù)， 剪力方程和彎矩方程。同繪制軸力圖或扭矩圖一樣，按選定的

25、比例尺，以橫截面上的剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，以橫截面位置為橫坐標(biāo)，把 的圖線表示出來。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖。目的―分析找出梁內(nèi) 的大小及其橫截面所在位置（危險(xiǎn)截面），從而進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算。,,,,下面分別討論集中力、集中力偶、均布載荷作用下的Q、M圖。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

26、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例1：集中力作用 AC=a=0.25m,BE=b=0.2m,AB=l=1m,P1=500N,P2=1000N,P3=300N,步驟：a. 根據(jù)靜力學(xué)平衡條件，求出未知約束反力及力偶 RA=935N,RB=865N； b. 分段、逐段計(jì)算剪力，定特殊點(diǎn)，畫出剪力

27、圖； c. 分段、逐段計(jì)算彎矩，定出特殊點(diǎn)，畫彎矩圖 d. 對于復(fù)雜梁，可采用分解，合成法，先分解為若干受力情況簡單的梁，然后疊加而成。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Q－x圖：AC段：Q=RA=9

28、35NCD段：Q=RA－P1=435NDE段：Q=RA―P1―P2=－565NEB段：Q=－RB=－865NM－x圖:AC段：M=RAX=935xCD段：M=RAx－P1(x－0.25) =435x＋125DE段：M=RAx―P1(x－0.25)―P2(x－0.5) =－565x＋625EB段：M=－RB（l－x）=－865x＋865,集中力作用的截面上，剪力

29、有個(gè)突變，此時(shí)彎矩圖上是個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)（圖形仍連續(xù)）,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,集中力偶作用處，M－x圖有突變，突變值大小等于集中力偶值，Q－x圖不變。,例2：集中力偶作用,,Q－x圖：AC段,CB段,M－x圖：AC段,,CB段（截面左側(cè)的m

30、逆時(shí)針取負(fù)值）,,若按右側(cè)考慮，,,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例3：均布載荷作用,,,,AC=BD=a， CD=l，載荷集度q,,Q－x圖：CA段,AB段,,,BD段：,M－x圖 :,CA段,,AB段,,,BD段,,,,,CHAP. 4

31、 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,當(dāng) 載荷分布較合理,,此值為臥式容器支座的合理位置。,均布載荷作用下，剪力圖是一條斜線， 彎矩圖是一拋物線；MMAX發(fā)生處位于Q=0，集中力或集中力偶

32、 作用處 。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4. 純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力及正應(yīng)力強(qiáng)度條件 我們已經(jīng)學(xué)會分析梁受復(fù)雜載荷平面彎曲時(shí)，任一橫截面Q,M的變化規(guī)律從而畫出Q=Q(x)，M=M(x)，求出剪力、彎矩最大

33、值及其危險(xiǎn)截面位置。但是Q, M僅是截面上應(yīng)力、力矩的總和，尚需知道橫截面上應(yīng)力分布規(guī)律，這是本節(jié)的重點(diǎn)。1是任意橫截面上指定點(diǎn)的正應(yīng)力大?。?是梁的強(qiáng)度計(jì)算；,為了簡化問題，我們討論純彎曲問題的梁 ，從變形分析、物理關(guān)系、靜力關(guān)系三大關(guān)系中討論。,1） 任意橫截面內(nèi)指定點(diǎn)的正應(yīng)力（1 ）變形分析上一節(jié)，已經(jīng)知道，梁在純彎曲后的變形特點(diǎn)：a. 縱向纖維由直變彎b. 橫向線仍為直線，橫截面任為平面c. 相鄰兩橫截面之間發(fā)生

34、繞各自中性軸的相對移動，導(dǎo)致了梁的由直變彎，以及縱向纖維的伸長、縮短。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,現(xiàn)在來尋找橫截面上正應(yīng)力變化規(guī)律，推導(dǎo)其計(jì)算公式。為此須對縱向纖維的線應(yīng)變作進(jìn)一步的定量分析。仍取相鄰二截面a1b

35、1c1d1,a2b2c2d2，坐標(biāo)系取法同前，x軸－中軸線（－>為正），y軸－截面垂直于對稱軸（ 為正），Z軸垂直于xy平面―中性軸方向，原點(diǎn)通過截面形心。,,變形前,變形后,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,圖（a

36、）是變形前情況，三條縱向線m1m2=o1o2=n1n2=dx圖（b）是彎曲以后情況，相鄰二橫截面發(fā)生了繞各自中性軸的相對移動，于是有：中性層上縱向纖維o1o2變成弧線，其長度不變，但其曲率半徑由b. 其它位置上縱向纖維有不同程度的拉伸（n1n2）或縮短（m1m2）。 任取一距中性層為y的縱向纖維n1n2來研究，彎曲后弧線n1n2＝變形前n1n2＝o1o2＝弧線o1o2＝于是其縱向線應(yīng)變又因

37、 上式中 表示的是梁某截面a1b1c1d1與相鄰截面之間發(fā)生的相對移動程度大小，而 表示梁的軸線在所討論截面形心處的曲率變化量。 從不同角度反映了梁在討論的橫截面處的彎曲變形梯度。,,,,,,,,,（4-1）,（4-2）,,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

38、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,結(jié)論：只要梁的軸線有曲率變化，就會有彎曲變形，而且軸線上哪一點(diǎn)的曲率變化量大，那一點(diǎn)所在截面處的彎矩也就大。（y向下為＋，應(yīng)變也為＋，受“拉”； y向上為－，應(yīng)變也為－，受“壓”）（4-3）式反映了平面彎曲梁任一橫截面上各點(diǎn)縱向線應(yīng)變沿截面高度的變化規(guī)律。,,將（4-1）代入（4-2），得,（4-3）,,CHAP. 4 直

39、梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（2） 物理關(guān)系假設(shè)縱向纖維之間不存在相互擠壓，因而每一縱向纖維皆可以應(yīng)用單向拉（壓）的HOOK定律 代入 （4-3）式，得 （4-4）,,

40、梁在彎曲時(shí)，其橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。同一高度處各點(diǎn)正應(yīng)力相等。向下各點(diǎn)y為正，拉應(yīng)力，向上各點(diǎn)y為負(fù)，壓應(yīng)力。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例：直徑1mm的鋼絲纏繞在一

41、圓柱體上，要保持受彎鋼絲的彈性，試問圓柱體的直徑不得小于多少？已知鋼絲的比例極限為400MPa, 彈性模量E=2*105MPa,,,所以圓柱體直徑不得小于500mm。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

42、（3）靜力關(guān)系 （4-4）式得到了彎曲正應(yīng)力和曲率半徑的關(guān)系。更多時(shí)候，曲率半徑未知，必須確定曲率半徑與外載荷M之間的關(guān)系，從靜力學(xué)關(guān)系中尋找曲率半徑與外載荷M的關(guān)系。 由彈性理論證明，中性軸（截面上縱向纖維長度不變的軸）必須通過橫截面形心，這樣我們可以完全確定中性軸位置，中性軸上各縱向纖維，在中性層平面，其長度不變。 前面已經(jīng)討論過，在形成橫截面的無數(shù)個(gè)微小面積dA上作用著 力對中性軸所

43、構(gòu)成的合力矩即為該截面的彎矩M，,,,,,由,,是截面常量，稱為橫截面對中性軸Z的軸慣性矩。用IZ表示（m4，mm4），其值取決于橫截面的形狀和尺寸。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,由此得

44、到 ，,,,,（4-5）,上式表示直梁彎曲時(shí)，相對轉(zhuǎn)角 越大的橫截面，其截面上彎矩越大，它反映了截面轉(zhuǎn)動與截面內(nèi)力之間的關(guān)系。,將（4－5）代入（4—4）得到正應(yīng)力計(jì)算公式,（4-6）,上式中，y為討論點(diǎn)離中性軸的距離，向下為正，中性軸Z過截面形心，且垂直截面對稱軸。（4－6）式適用前提：a. 梁的材料服從虎克定律（縱向纖維間不存在相互擠壓，僅有單向拉（壓））b.,,,CHAP.

45、4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對于T，槽形等截面，橫截面不對稱于中性軸，此時(shí)有二個(gè)WZ，以y1，y2表示中性軸離上、下邊緣距離,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,由,令,,得,（4-7）,（4-8）,WZ橫截面對中性軸Z的抗

46、彎截面模量（m3，mm3）,,,以上應(yīng)力公式 雖然是在基于純彎曲的假設(shè)推導(dǎo)得出的，但只要梁的l/h>5，對于剪切彎曲的梁，上式仍有效。,其一為拉應(yīng)力，另一為壓應(yīng)力。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

47、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（4）截面的IZ與WZ IZ，WZ與A一樣，反映的是截面的幾何性質(zhì)，面積A的大小反映了桿件抗拉（壓）能力的強(qiáng)弱，而IZ，WZ則反映了截面抗彎能力的大小。相同材料，相同面積，若IZ（WZ）不同，則其抗拉能力相同，而抗彎能力可能差異很大。M一定，IZ（WZ）大則應(yīng)力小，因此在選擇梁的截面形狀和尺寸，應(yīng)盡量使橫截面具有較大的IZ（WZ）。下面分析計(jì)算矩形截面的IZ，W

48、Z,取dA＝bdy,,,,表4，P72列出了常用截面的IZ，WZ（圓（環(huán)），矩形，記住。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2） 正應(yīng)力強(qiáng)度條件及應(yīng)用 通常，等截面直梁在

49、剪切彎曲時(shí)， 的截面是梁的危險(xiǎn)截面，在危險(xiǎn)截面上下邊緣處所產(chǎn)生的正應(yīng)力是整個(gè)梁在工作時(shí)的最大應(yīng)力。從強(qiáng)度角度，為了保證梁能安全工作，須滿足：,,,,,,,為許用彎曲應(yīng)力 ，可查手冊,有2個(gè)注意點(diǎn)：（1）當(dāng)橫截面不對稱于中性軸（如T字鋼，工字鋼，槽鋼等）當(dāng),取W1,W2中較小者。（2）當(dāng)材料的許用拉伸（壓縮）應(yīng)力不等時(shí)，分別計(jì)算最大的正彎矩以及最大的負(fù)彎矩，分別求這2個(gè)橫截面上最大拉應(yīng)力，最大壓應(yīng)力，需校核4點(diǎn)。,,CHAP

50、. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解題步驟：a. 求支座反力;b. 作M－x圖，確定危險(xiǎn)截面;c.建立強(qiáng)度條件,例4-4 一簡支梁受均布載荷作用，已知梁長l=3m, 其橫

51、截面為矩形，h=15cm, b=10cm,均布載荷集度q=3000N/m, 梁的材料為松木，其許用彎曲應(yīng)力 =10MPa, 試按正應(yīng)力校核此梁的強(qiáng)度。,簡單的強(qiáng)度校驗(yàn)，檢驗(yàn)Mmax截面處,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

52、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例4-5 一反應(yīng)釜重30KN，安放在跨長1.6m的兩根橫梁中央，若梁的橫截面采用如圖所示的3種形狀（矩形截面a/b=2），試確定梁的截面尺寸，并比較鋼材重量。梁材料Q235-A ， =120MPa。,解：,由正應(yīng)力強(qiáng)度條件,可得所需的最小抗彎截面模量,截面比較一：,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

53、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,平放：,立放：,工字鋼：查附表A-1，10#工字鋼的W=49cm3，較接近，可用。查得A=14.3cm2;,三種不同截面所需鋼材質(zhì)量比（面積比）：工字鋼：矩形立放：矩形平放=1：2.45：3.91,,CHAP. 4 直梁

54、的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,截面比較二：,例4-6 現(xiàn)有三根跨長4m的簡支梁，三根梁的材料均為Q235-A，許用彎曲應(yīng)力120MPa, 它們截面形狀不同，但截面面積相同（21.5cm2)。

55、若在梁中央有一集中載荷，試問：三根梁所允許承受的最大載荷分別是多少？如果在距支座1m處置一集中載荷，該載荷最大允許值多少？如果該三根梁承受的是均布載荷，最大載荷又是多少？,解：梁所能承受的最大彎矩,工字鋼,矩形立放,矩形平放,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

56、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,當(dāng)梁在其中央承受集中載荷P時(shí)，其最大彎矩在梁的中央，且 故,b. 當(dāng)在距支座l/4處作用著集中載荷P時(shí)，最大彎矩在集中載荷作用點(diǎn)處。且故,c. 當(dāng)沿梁全長承受均布載荷q（N/m）時(shí)，再大彎矩在梁中央，且故,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

57、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,從此例題可知，決定梁抗彎強(qiáng)度的截面幾何量是抗彎截面摩量W而不是面積A。對于彎曲梁，存在著所謂“合理截面”問題。對于矩形截面平、立放及工字鋼截面，以工字鋼截面承受載荷最大。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

58、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3） 梁的合理截面由前面例題可以說明，a. 截面面積相同，但截面形狀不一的梁，其Pmax不同；b. 如果承受同樣的外載，則等強(qiáng)度（M相同，W相同），A不一樣，用料不同；,若承載相同，面積相同，則最大彎曲應(yīng)力不同。若例

59、4-6中，Mmax=1500N.m,則其彎曲應(yīng)力分別是：,工字鋼,矩形立放,矩形平放,工字鋼截面彎曲應(yīng)力最??！,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,結(jié)論：中間挖空的截面是

60、梁的合理截面。,理由：這是因?yàn)榱涸谑艿綇澢冃螘r(shí)，在梁的中性層附近的縱向纖維變形很小，伴隨產(chǎn)生的拉（壓）應(yīng)力也小。加上這些應(yīng)力的作用點(diǎn)支中性軸的距離又非常接近，因而這部分金屬產(chǎn)生的正應(yīng)力構(gòu)成的彎矩就很小，為了產(chǎn)生需求的彎矩，在橫截面至中性軸遠(yuǎn)一些處的應(yīng)力勢必要大一些。如果將中性軸附近的未能充分發(fā)揮其作用的金屬移到距中性軸盡可能遠(yuǎn)一些的地方去，那么這些金屬就可能產(chǎn)生較原來在中性軸附近時(shí)為大的應(yīng)力，加之“力臂”的增大，從而就可能幫助原來在梁

61、的上下表面處的金屬分擔(dān)一部分產(chǎn)生彎矩的任務(wù)。從而使橫截面上的最大正應(yīng)力減小下來，或在面積不變條件下，使之能承受更大的彎矩。,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5.直粱彎曲

62、時(shí)的剪應(yīng)力 彎曲時(shí)，剪力產(chǎn)生剪應(yīng)力。剪應(yīng)力沿截面分布與截面形狀有關(guān)。其分布規(guī)律是：中性層上最大，邊緣最小。,注意與正應(yīng)力分布的不同！,剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

63、,,,,,,,,,,,,,,6. 梁的變形——梁彎曲時(shí)的位移,梁的撓曲線撓度f和轉(zhuǎn)角,梁的剛度校核：,,CHAP. 4 直梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,本章習(xí)題：4-3題；補(bǔ)充題：