矩陣特征問(wèn)題并行計(jì)算的研究.pdf

1、矩陣特征問(wèn)題是數(shù)值計(jì)算的一個(gè)重要組成部分，也是當(dāng)前迅速發(fā)展的計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)值代數(shù)中一個(gè)活躍的研究課題。隨著計(jì)算科學(xué)的發(fā)展和并行計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，矩陣特征問(wèn)題已成為大規(guī)模和超大規(guī)模計(jì)算機(jī)的主要任務(wù)之一。由于確定大規(guī)模矩陣的特征值和特征向量是一個(gè)需要大量?jī)?nèi)存并且耗時(shí)的處理過(guò)程，單處理機(jī)已經(jīng)無(wú)法承受。而并行計(jì)算機(jī)提供的不斷增加的計(jì)算和存儲(chǔ)能力使得這些問(wèn)題的有效計(jì)算成為可能。 矩陣特征問(wèn)題不僅可以直接解決數(shù)學(xué)中諸如非線性規(guī)劃、常微分方程以及

2、其他各類數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題，而且在結(jié)構(gòu)力學(xué)、工程設(shè)計(jì)、計(jì)算物理和量子力學(xué)中都發(fā)揮著重要的作用，目前矩陣特征問(wèn)題的應(yīng)用大多來(lái)自于求解數(shù)學(xué)物理方程、差分方程、Markov過(guò)程等。因此研究高效可行的求解矩陣特征問(wèn)題的并行算法具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。 在國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，本文從以下幾個(gè)方面來(lái)探討并行求解矩陣特征問(wèn)題。 (1)分析了并行求解矩陣特征問(wèn)題的現(xiàn)狀與意義，總結(jié)了特征問(wèn)題求解算法的特點(diǎn)與發(fā)展前景，對(duì)并行計(jì)算環(huán)境做了全面的分析研

3、究，深入探討了并行機(jī)的結(jié)構(gòu)模型、訪存模型和并行編程環(huán)境，并分析了本文使用的實(shí)驗(yàn)環(huán)境——高性能并行機(jī)曙光4000L的軟硬件系統(tǒng)。 (2)針對(duì)數(shù)值方法求解矩陣特征問(wèn)題，深入討論了求解矩陣特征問(wèn)題所涉及的矩陣計(jì)算方法和策略，且在并行機(jī)上實(shí)現(xiàn)了矩陣相乘的兩種并行算法。對(duì)特征問(wèn)題求解方法從串行和并行兩個(gè)方向進(jìn)行了比較和分析研究，總結(jié)了各種算法的優(yōu)缺點(diǎn)，給出了算法的研究方向，為后面的研究工作打下基礎(chǔ)。 (3)探討了求解方陣絕對(duì)值最大

4、的特征值的乘冪法和求解矩陣全部特征值的QR方法；對(duì)傳統(tǒng)Jacobi方法進(jìn)行了深入研究，且在并行機(jī)上實(shí)現(xiàn)了Jacobi的并行算法。由于單邊Jacobi旋轉(zhuǎn)具有僅對(duì)矩陣實(shí)施列變換的優(yōu)勢(shì)，結(jié)合對(duì)稱和三對(duì)角的特性，本文提出了一種求解對(duì)稱三對(duì)角矩陣特征問(wèn)題的單邊Jacobi并行算法，該算法將三對(duì)角矩陣按列劃分，各處理機(jī)只需對(duì)局部存儲(chǔ)中的相鄰三列實(shí)行單邊正交變換；處理機(jī)之間只需傳遞前兩列數(shù)據(jù)再進(jìn)行單邊正交變換。理論分析與實(shí)驗(yàn)表明該算法具有較高的效率