耦合分數(shù)階微分方程組的理論分析和數(shù)值計算.pdf

1、隨著試驗和理論分析的不斷發(fā)展，分數(shù)階微分方程的應用領域不斷擴大。目前已知的應用范圍涵蓋粘彈性力學、湍流、自動控制理論、信號處理、混沌、凝聚態(tài)物理分形和多孔介質(zhì)中溶質(zhì)的對流與彌散、生物數(shù)學及統(tǒng)計力學、生物化學、分子生物學、水文學、經(jīng)濟等。特別是，許多復雜問題是通過耦合的分數(shù)階微分方程組來描述的，它們的特征是耦合、非線性。一方面，方程組中所含的分數(shù)階導數(shù)具有非局部性質(zhì)，能有效地刻畫具有記憶和遺傳特性的問題;另一方面，非局部性質(zhì)也給理論分析和

2、數(shù)值計算帶來困難。因此研究這類方程組的性質(zhì)和數(shù)值算法有現(xiàn)實的理論和應用意義。
　　本文討論耦合分數(shù)階微分方程組的理論和數(shù)值算法，主要內(nèi)容包括以下幾個方面:
　　第一章，給出了本論文的研究現(xiàn)狀、背景和意義，總結(jié)了前人所做的工作，介紹了一些預備知識，詳列了本論文的研究內(nèi)容和結(jié)構(gòu)。
　　第二章，回顧了Riemann-Liouville和Caputo分數(shù)階微分方程初值問題解的存在唯一性，它是基本而重要的，其中的證明方法對我們接

3、下來的分析具有重要的參考價值。
　　第三章，討論了一類耦合非線性分數(shù)階微分方程組解的存在性和唯一性。這類問題來自于分數(shù)階最優(yōu)控制問題的Eulcr-Lagrangc方程，它是一個分數(shù)階微分方程組的邊值問題，證明了解的存在唯一性。這個問題中的導數(shù)是Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)，非線性項關于方程組的解是耦合的，分析辦法是將原問題化為等價的積分方程組，然后采用Leray-Schauder擇一定理和Banach壓縮原理證明了

4、解的存在唯一性。最后，通過具體例子說明了理論結(jié)果的適用性。
　　第四章，討論了一類自治分數(shù)階微分方程組解的適定性。此類問題的背景源于兩區(qū)域的捕食模型。運用上下解方法得到了解的存在唯一性，同時利用帶奇性的Gronwall不等式得到了解關于初值的連續(xù)依賴性。另外，隨著分數(shù)階α趨于1時，數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)我們提出的兩區(qū)域分數(shù)階捕食模型與整數(shù)階是一致的。分析和計算了平衡點的存在性以及穩(wěn)定性。
　　第五章，考慮階數(shù)為α的分數(shù)階常微分方程組的