非正規(guī)子群對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響.pdf

1、一致以來，利用子群和商群來刻畫有限群的結(jié)構(gòu)是一個(gè)熱門課題.通過研究正規(guī)子群的性質(zhì)來討論有限群的結(jié)構(gòu)是群論研究中一個(gè)非常重要的課題，在這方面已經(jīng)取得許多豐富和重要的結(jié)果.這里我們討論其對(duì)偶問題，也就是非正規(guī)子群的性質(zhì)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響.
　　 Rolf Brandl在文[1]中給出了非正規(guī)子群共軛的有限群的完全分類，H.Mousavi在文[2]中給出了非正規(guī)子群的共軛類類數(shù)為2的有限群的完全分類.在其結(jié)果中有一些小的錯(cuò)誤，陳順民在

2、文[3]中修正了文[2]的結(jié)果，進(jìn)一步他在文[4]中給出了非正規(guī)子群的共軛類類數(shù)為3的有限群的完全分類以及非正規(guī)子群的共軛類類數(shù)為4的有限非冪零群的完全分類.與此同時(shí)，非正規(guī)子群的個(gè)數(shù)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響是另一個(gè)研究方向，石化國(guó)在文[5]和[6]中給出了恰有2和5個(gè)非正規(guī)子群的有限群的結(jié)構(gòu)，毛月梅在文[7]中得到了恰有p個(gè)相互共軛的非正規(guī)子群的有限群的結(jié)構(gòu).本文繼續(xù)這方面的研究.
　　 第一部分主要結(jié)合非正規(guī)子群的共軛類類數(shù)為1，

3、2，3的有限冪零群的完全分類，給出了非正規(guī)子群的共軛類類數(shù)為4的有限冪零群的完全分類.
　　 定理3若G為有限冪零群，v(G)=4，則G同構(gòu)于如下群之一.
　　 (1)M(pn)×Cq3，其中p，q為互異素?cái)?shù).
　　 (2)M(pn)×Cq×Cr，其中p，q和r為互異素?cái)?shù).
　　 (3)[C4]C4×Cq，其中q為奇素?cái)?shù).
　　 (4)Q16×Cq，其中q為奇素?cái)?shù).
　　 (5)D8×Cq

4、，其中q為奇素?cái)?shù).
　　 (6)M(2n，2)×Cq，其中q為奇素?cái)?shù).
　　 (7)Q32.
　　 (8)[C8]C4.
　　 (9)[C4]C16.
　　 (10)＜a，b，c|a4=1，b8=c，ab=a-1c，c2=1＞.
　　 (11)M(2n)×C2.
　　 第二部分主要結(jié)合非正規(guī)子群的共軛類類數(shù)為1，2，3，4的有限冪零群以及共軛類類數(shù)為1，2的有限非冪零群的結(jié)果，給出

5、了恰有8個(gè)非正規(guī)子群的有限群的結(jié)構(gòu).
　　 定理4若G為有限群，τ(G)=8，則G冪零且G同構(gòu)于以下群之一.
　　 (1)M(2n)×Cq3，其中q為奇素?cái)?shù).
　　 (2)M(2n)×Co×Cq，其中p,q為互異奇素?cái)?shù)
　　 (3)[C4]C4×Cq，其中q為奇素?cái)?shù).
　　 (4)Q16×Cq，其中q為奇素?cái)?shù).
　　 (5)D8×Cq，其中q為奇素?cái)?shù).
　　 (6)M(2n，2)×