非線性單純映射的建模與高效算法.pdf

1、單純映射（Simplical Mappings）研究的是針對單純復(fù)形網(wǎng)格的映射，是數(shù)字幾何處理的一個基本問題。在數(shù)字幾何處理及相關(guān)領(lǐng)域的快速發(fā)展趨勢下，單純復(fù)形網(wǎng)格的應(yīng)用越來越廣泛，以網(wǎng)格參數(shù)化和網(wǎng)格變形為主的單純映射的新應(yīng)用需求也逐漸增加，使得問題建模的復(fù)雜度也相應(yīng)增大，其中不乏各種非線性模型。而尋求解決這些非線性控制下單純映射問題的建模方法和高效算法，正是順應(yīng)了數(shù)字幾何處理的發(fā)展趨勢，成為數(shù)字幾何處理的重要任務(wù)之一，具有重要的現(xiàn)實意

2、義。
　　本文分別針對紋理映射、局部防翻轉(zhuǎn)映射以及體參數(shù)化等單純映射問題進行了深入研究，并提出了相應(yīng)的非線性建模方法和高效的求解技術(shù)。本文研究的主要內(nèi)容有如下幾方面:
　　提出了一種內(nèi)容敏感的紋理映射方法。傳統(tǒng)的紋理映射方法往往著重于如何減少參數(shù)化形變誤差以及如何滿足位置約束而不發(fā)生網(wǎng)格翻轉(zhuǎn)，而很少考慮紋理內(nèi)容。本文提出了內(nèi)容敏感的紋理映射問題，采用重要圖表示紋理內(nèi)容的重要度，將其描述為以重要度加權(quán)的網(wǎng)格參數(shù)化問題。為使映射

3、結(jié)果具有良好的保角和保面積性，同時解決映射中可能存在的三角形塌縮和翻轉(zhuǎn)問題，本文利用障礙罰函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造了一種改進的LSCM形變能量(LSCM+)度量參數(shù)化的形變誤差。由于目標函數(shù)中三角形權(quán)重和紋理坐標是相互依賴的，非線性程度較高，為求解該參數(shù)化問題，本文采用交替迭代技術(shù)，來回更新三角形重要度權(quán)重和網(wǎng)格紋理坐標。在計算三角形權(quán)重時，將三角形的面積分轉(zhuǎn)化成三角形邊上的線積分，使算法效率得到了提升;在求解紋理坐標時，采用“L-M”(Lev

4、enberg-Marquardt)非線性最小二乘優(yōu)化器，用雅可比矩陣近似構(gòu)造海森矩陣并在迭代中進行修正使之保持正定，以保證迭代順利進行。該方法比起傳統(tǒng)的紋理映射方法表現(xiàn)出較好的性能，尤其能有效地保持紋理中重要內(nèi)容的形狀。
　　提出了一種針對局部防翻轉(zhuǎn)映射的重網(wǎng)格化輔助的優(yōu)化算法?，F(xiàn)有的局部防翻轉(zhuǎn)映射算法大多在固定的離散域上求解幾何問題，而忽略了網(wǎng)格的離散化因素的影響，進而可能導(dǎo)致因解空間過小帶來一系列數(shù)值問題，如收斂慢、找不到滿意

5、解甚至無解。本文把表示網(wǎng)格離散化的基函數(shù)引入幾何優(yōu)化器中用于解決映射的局部防翻轉(zhuǎn)問題，將自適應(yīng)重網(wǎng)格化技術(shù)集成到基于內(nèi)點法的優(yōu)化算法中，以擴大解空間并加快收斂速度。算法采用“內(nèi)層-外層”雙層迭代的思路。在內(nèi)層迭代中，交替地進行幾何優(yōu)化與拓撲優(yōu)化:采用基于無參數(shù)松弛法的幾何優(yōu)化方法更新頂點坐標位置，隨后運用利于算法收斂的拓撲修改準則進行局部翻邊操作實現(xiàn)拓撲優(yōu)化。此外，通過增加一個外層循環(huán)以提高算法的魯棒性，即當上述迭代結(jié)束而位置約束尚未滿

6、足時，利用當前優(yōu)化器所提供的收斂信息，搜索出可能阻礙網(wǎng)格頂點前進的網(wǎng)格邊，并對其相關(guān)鄰邊進行細分操作并繼續(xù)優(yōu)化。該方法比之于傳統(tǒng)的純幾何優(yōu)化方法，在算法的收斂性、映射的形變誤差、算法效率等方面均具有更好的性能，尤其對于一些極端大變形的例子其優(yōu)勢更為明顯。
　　提出了一種伸縮形變最小化的體參數(shù)化方法。大多數(shù)體參數(shù)化方法均未考慮局部翻轉(zhuǎn)問題，對后續(xù)的幾何處理造成各種困難。而最近出現(xiàn)的帶局部防翻的體參數(shù)化方法僅考慮角度形變誤差，可能存在

7、較大的體積形變誤差。本文將曲面參數(shù)化中常用的伸縮形變能量擴展到三維，推導(dǎo)了三維版本的伸縮形變能量，并將其應(yīng)用于帶邊界點位置約束的體參數(shù)化中。該能量函數(shù)繼承了二維伸縮形變能量的特點，隱含了一個天然的“障礙函數(shù)”項，無需像其它方法采用額外的能量或約束描述局部防翻轉(zhuǎn)條件。在優(yōu)化求解時，不同于曲面參數(shù)化方法，即對網(wǎng)格的每個頂點進行獨立優(yōu)化，提出一個帶松弛的求解器對定義在體域上的伸縮形變能量總和進行整體優(yōu)化。相比于其它體參數(shù)化方法，該方法具有拉伸