有關對角矩陣的證明與應用畢業(yè)論文設計

1、<p><b>　　本科生畢業(yè)論文設計</b></p><p>　　二〇一 三 年 五 月 一 日</p><p>　有關對角矩陣的證明與應用</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　有關對角矩陣的證明與應用</p><p>　　數(shù)學與信息

2、科學學院 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)</p><p>　　指導教師 劉淑霞</p><p>　　作 者 韓忠珍</p><p>　　摘要：矩陣的對角化是反映矩陣性質的一個重要概念,不論是對數(shù)學專業(yè)學生學習高等代數(shù)還是非數(shù)學專業(yè)學生學習線性代數(shù)而言學習和理解它的含義都是十分必要的。通過本篇論文主要研究矩陣的對角化的有關問題,總結了矩陣對角化的運算,性質,求法

3、,以及在解決高等代數(shù)，常微分方程、空間解析幾何的問題中所滲透的一些與矩陣對角化相關的知識,使得對矩陣的對角化有了更加深刻的理解與認識,從而能夠更加靈活運用相關知識解決相關問題.</p><p>　　關鍵詞:矩陣的對角化 特征值 特征向量</p><p>　　1 有關對角矩陣的證明</p><p>　　1.1 有關對角矩陣的分解</p><p

4、>　　第一種情況：對任意一個n級矩陣A的順序主子式都不等于零，我們可以利用初等變換將其化為一個上三角矩陣，即A等于一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積。而每一個上（下）三角矩陣又等于一個單位上（下）三角矩陣和一個對角陣的乘積。利用以上結論可以證明一些例題。</p><p>　　例1：設n級矩陣A的順序主子式都不等于零，則A可以唯一的分解成A=LDU的形式，其中L為單位下三角矩陣（對角線元素都是1的下三角矩陣

5、），D為對角矩陣，U為單位上三角矩陣。</p><p>　　證明：令A= ，由于n級矩陣A的順序主子式都不等于零故a11≠0，用-ai1/a11(i=2,3, …)乘以第一行依次加到以下各行，又由于A的順序主子式都不等于零，則a22′≠0，依次往下消零，相當于A進行一系列初等變換得到一個上三角矩陣。A=PQ,P為一系列初等下三角矩陣之積仍為下三角矩陣，Q為最后A經(jīng)變化所得的階梯形上三角矩陣。令P=，Q=.<

6、/p><p>　　下面用數(shù)學歸納法證明上面A可以分解成A=PQ的形式是正確的。⑴當n=1時，A=PQ顯然正確。⑵假設當A為n-1階矩陣時結論成立，則當A為n階矩陣時有A=。其中A1=P1Q1 ，P1 為下三角矩陣，Q1為上三角矩陣。A== . =。令=，=Q，則為下三角矩陣從而p也為下三角矩陣，Q為上三角矩陣。那么A=PQ。P== ，Q==.令L=，D=，U=。則A=LDU其中L為單位下三角矩陣（對角線元素都是1的

7、下三交矩陣），D為對角矩陣，U為單位上三角矩陣。下證A=LDU分解的唯一性。假設又有A=也滿足分解條件，則LDU=，LDU=,L=,由于等式左邊是單位下三角矩陣等式右邊是單位上三角矩陣，故L=E,即L=。同理，U=。從而D=。唯一性得證。</p><p>　　第二種情況：利用分塊矩陣和若A可對角化則存在可逆陣T使A=T，我們可以證明一些有關矩陣分解的問題。</p><p>　　例2：設A是

8、n×n方陣，A有k個不同的特征值….證明：若A可對角化，則必存在n×n冪等陣,…, ,使得（1）=0（i≠j）；（2）（是n×n單位陣）；（3）A=。</p><p>　　證：（1）由于A可對角化，因此存在可逆陣T，使A=T，其中，…, 均為，…, 階單位陣，且++…+=n。令=T，（i=1,2，…,k）,則=，（i=1,2，…,k），此即為冪等陣。且=0（i≠j）。</p&g

9、t;<p><b>　?。?）=T=T=。</b></p><p><b>　?。?）=T=A。</b></p><p>　　1.2 證明一個矩陣可對角化</p><p>　　矩陣相似對角化的定義：所謂矩陣相似對角化是指矩陣和某對角形矩陣相似。</p><p>　　定理1：n階矩陣A

10、與對角矩陣相似（即A可對角化）的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。</p><p>　　定理2：設A為n階實對稱矩陣，則必有正交矩陣P，使=，其中是以A的n個特征值為對角元素的對角矩陣。</p><p>　　定理3：若A的每一個特征值的幾何重數(shù)和她的代數(shù)重數(shù)相等，則A可對角化。</p><p>　　第一種情況：用定理1來做下面證明題。</p>

11、<p>　　例3：設n階方陣A滿足=A,且r（A）=r<n.證明A相似于對角矩陣。</p><p>　　證：設A=（≠0），即是A的特征值，是A對應的特征向量。用右乘=A得=A，于是有=，即（-）=0，由≠0得-=0，從而=1或=0.由0=-A=A（A-E），得r（A）+r(A-E)≤n.又有r（A）+r(A-E)= r（A）+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n故有r（A）+r(A-E)

12、=n。于是，由題設條件r（A）=r<n得r(A-E)=n-r，從而齊次線性方程組A=（A-0E）=0的基礎解析含有n-r個解向量，即A的屬于特征值=0的線性無關特征向量有n-r個；而齊次線性方程組（A-E）=0的基礎解析含有r個解向量，即A的屬于特征值=1的線性無關特征向量有r個。這表明A共有n個線性無關特征向量，從而A可對角化。故A相似于對角矩陣。</p><p>　　第二種情況：用定理2來做下面證明題。

13、</p><p>　　例4：設n階方陣A的n個特征值互異，又設n階方陣B滿足AB=BA，證明B可對角化。</p><p>　　證：設A的n個互異特征值為，則存在n階可逆矩陣P，使得AP==∧。由題設AB=BA，有AB=BAP，即（AP）（BP）=（BP）(AP),也即∧（BP）=（BP）∧。設D=BP=，則由∧D=D∧得=，即（-）=0.于是由≠（i≠j）知=0（i≠j）即D= ，故B可對

14、角化。</p><p>　　例5：證明：n階方陣A相似于對角矩陣的充分必要條件是對每個數(shù)w，由可以導出，其中E是單位方陣，x是n維列向量。</p><p>　　證：是的解空間，是 的解空間，條件“可以導出”的含義是但總有。因此本體可改為n階方陣A相似于對角矩陣的充分必要條件是對每個數(shù)w，總有=。</p><p>　　先證必要性。設。其中，…, 為A的全部特征值。當w

15、≠（i=1,2，…,n）時，T=。從而T=。所以秩=秩，于是=n-秩=n-秩= 。而，從而=。當（還可能有多重特征值。證法類似）時，有T=。從而T= 仍有秩=秩。所以=即=。</p><p>　　再證充分性。設=。用反證法，若A不相似于對角矩陣，一定存在若當性矩陣J使其中，＞1.那么令w=a，則T=T=從而＜從而與=矛盾。所以假設不成立。進而A相似于對角矩陣。證畢。</p><p>　　

16、第三種情況：用A可對角化的充分必要條件（3）A的每一個特征值的幾何重數(shù)和她的代數(shù)重數(shù)相等來做一些證明題。</p><p>　　例6：設A是n階方陣，滿足=I，證明A可對角化。</p><p>　　證：設A的特征值為a，對應的特征向量是X。則可得X= X=X，因而有=1，所以A的特征值為=1，=-1.設=1的代數(shù)重數(shù)為，=-1的代數(shù)重數(shù)為，則有+=n?，F(xiàn)在來求它們的幾何重數(shù)。設=1的幾何重數(shù)

17、為就是方程組（I-A）X=0的基礎解析所含向量的個數(shù)，因而=n-r（I-A）。設=-1的幾何重數(shù)為就是方程組（I+A）X=0的基礎解析所含向量的個數(shù)，因而=n-r（I+A）。由于r〔（I-A）+（I+A）〕≤r（I-A）+ r（I+A），得到n≤r（I-A）+ r（I+A）。另一方面，有（I-A）（I+A）=0，得到r（I-A）+ r（I+A）≤n。故有r（I-A）+ r（I+A）=n。進一步得到+=n。又由于幾何重數(shù)不大于代數(shù)重數(shù)，所

18、以它們相等。由此知A可對角化。</p><p>　　例7：設A是一個n階復矩陣，f()是A的特征多項式，求證：A可對角化的充分必要條件是如果a是f()的k重根，則aE-A的秩等于n-k。</p><p>　　證：設f()=。其中 ，，…, 互不相同，且 ++…+ =n.</p><p>　　(1)先證必要性。設A相似與對角陣，即存在可逆陣T=（），使AT=則（E-A

19、）=.所以秩（E-A）=+…+ =n-。類似可證秩（E-A）=n-（i=1,2，…,s）。</p><p>　?。?）再證充分性。由于秩（E-A）=n-（i=1,2，…,s）。因此（E-A）=0的基礎解析所含向量為個（i=1,2，…,s），那么在（E-A）=0中，有個線性無關的特征向量為；在（E-A）=0中，有個線性無關的特征向量為；…; 在（E-A）=0中，有個線性無關的特征向量為。而且不同特征值的特征向量有線

20、性無關，令T=（）則T為可逆陣而且AT=（）此即AT=故A可對角化。</p><p>　　2.矩陣對角化在數(shù)學中的應用</p><p>　　2.1 用矩陣對角化的方法證明高代里的一些問題</p><p>　　第一種情況：利用對于任意一個n級實對稱矩陣A，都存在一個n級正交矩陣T，使AT =AT成對角形。再結合正定矩陣和一個對角線上元素全都大于零的對角矩陣合同可以證

21、明一些有關正定矩陣的問題。</p><p>　　例1：已知A,B均為n階實對稱正定陣，且有AB=BA，試證：AB也是正定矩陣。</p><p>　　證：AB∈，==BA=AB∴AB是n階實對稱陣。可以證明：存在同一個實可逆陣，使AT=，BT=①。事實上，存在正交陣P，使AP=，其中是單位陣，互不相同。有AB=BA得（AP）（BP）=ABP=BAP=（BP）（AP）于是BP=BP=,其中與是

22、同階方陣（i=1，2，…,n）由=B，可得=（i=1，2，…,n），從而存在正交陣，使=（i=1,2，…,s）都是對角陣，再令Q=那么Q是正交陣，且令T=PQ，則BT=（BP）Q=為對角陣。AT==也為對角陣，從而得證①式成立。由于A,B正定，所以>0, >0(i=1,2,…,n)進而=（AT）（BT）=∵>0(i=1,2,…,n),∴AB是正定陣。</p><p>　　例2：設A,B都是n階正

23、定矩陣，證明：如果A-B正定，則也是正定矩陣。</p><p>　　證：有A為正定矩陣，則有可逆陣T，使AT=E，顯然BT為對稱陣，則存在正交陣Q使，其中，，…, 為BT的特征值。令P=TQ，則AP==E, BP=.由B正定T可逆知BT為正定矩陣，所以，，…, 全大于零。由（A-B）P=且A-B正定知，，…, 全小于一。由==P，==P，所以-=P，故（-）=。由于0<<1, ,所以-1>0,故

24、-合同于一個對角線元素都大于零的對角矩陣，即也是正定矩陣。</p><p>　　例3：1、設A為n級實對稱矩陣，則存在實數(shù)a，使得aE-A為正定矩陣，這里E為單位矩陣。</p><p>　　2、設A,B均為n級正定矩陣，為A的n個特征值，為B的n個特征值。證明：若對于任意的i，j，均有>,則A-B為正定矩陣。</p><p>　　證：1、因為A為實對稱矩陣，所

25、以aE-A也為實對稱矩陣，a為任意值。令A的特征值為，只需實數(shù)a使a>max{},即有aE-A的特征值為。全部大于零，故存在實數(shù)a，使得aE-A為正定矩陣。</p><p>　　2、令=min{}，=max{}，則由于對于任意的i，j，均有>,那么>.由于實數(shù)的稠密性知存在c，d,使>c>d>.由于A,B均為n級正定矩陣，再由于1、的證明過稱知= ，= 。還有存在正交陣P,Q使

26、= , = ，從而= ，= 。由于-c>0()，d- >0（），故，全為正定矩陣。由此對于任意的X≠0有=X+X>0,且=故為正定矩陣。由于=A-B，故A-B存在n個特征值，不妨設為，故存在正交陣M使M(A-B)= 故M((c-d)E+（A-B）)= 。由為正定矩陣知d-c+>0, .即>c-d>0, 。故A-B與一個對角線元素都大于零的對角矩陣合同，所以A-B為正定矩陣。</p>&

27、lt;p>　　第二種情況：利用對于任意一個n級實對稱矩陣A，都存在一個n級正交矩陣T，使AT成對角形。證明一些矩陣的秩相等的問題。</p><p>　　例4：設A，B為數(shù)域P上的兩個不同的n階對稱矩陣，且r(B-A)=r，這里r(A)代表矩陣A的秩。證明：存在r-1個n階對稱矩陣，使得r(-A)=r()=r(B-)=1,i=1,2,…,r-2.</p><p>　　證明：由于A,B為

28、對稱矩陣，故=A, =B. =-=B-A,從而B-A為對稱矩陣。由r(B-A)=r，故存在正交陣P使(B-A)P=，故B-A=P，其中，…，為B-A的r個非零特征值。不妨令-A=P，…, -=P,</p><p>　　B-=P,故r(-A)=r()=r(B-)=1,i=1,2,…,r-2.且</p><p>　　=A+P，…，=+ P,</p><p>　　B=+

29、P。由A為對稱矩陣，P為對稱矩陣，從而為對稱矩陣，進而全為對稱矩陣且r(-A)=r()=r(B-)=1,i=1,2,…,r-2.</p><p>　　2.2 簡化矩陣乘方的計算</p><p>　　如果A可對角化，即存在可逆陣P使AP=，兩邊做k次方，因而P=，得到計算矩陣乘方的公式：=P。</p><p><b>　　例5：設A=，求。</b&g

30、t;</p><p>　　解：由于A的特征多項式為∣aE-A∣==(a-1)( -25),故A的特征值為。設V是復數(shù)域上的一個三維空間，T是在基下方陣是A的一個線性變換，則T的屬于特征值1,5，-5的特征向量分別有=，=2++2，=-2+。由基到基的過渡矩陣為Q=由此可得AQ=，Q==。故=Q==.經(jīng)計算得當k為偶數(shù)時，=；當k為奇數(shù)時，=。</p><p>　　例6：設A= ，求（n為正

31、整數(shù)）。</p><p>　　解：計算可得|E-A |=（-3）（+1），所以A的特征值為=3，=-1.當=3時，得特征向量為。當=-1時，得特征向量為。令P= ，則AP= 。由得P=可得=P=。</p><p>　　2.3 矩陣對角化在空間解析幾何中的應用</p><p>　　由于空間解析幾何中的有些二次曲面的方程與二次型的標準型有關，而二次型的標準型可由二次型

32、經(jīng)正交變換得到，故矩陣對角化在空間解析幾何中有著廣泛的應用。</p><p>　　例7：求一正交變換，將二次型f(,,)=化為標準型，并指出f(,,)=1表示何種二次曲面。</p><p>　　解：二次型的矩陣為A= ?？汕蟮脇aE-A|= （a+7）于是A的特征值為= =2，=-7.可求得對應= =2的特征向量為，將其正交化再單位化得又對應=-7的特征向量為，故=。從而正交變換化二次型為

33、f=?？芍猣(,,)=1表示旋轉單葉雙曲面。</p><p>　　例8：已知二次曲面，可已經(jīng)正交變換化為橢圓柱方程+4=4.求a，b的值和正交矩陣P。</p><p>　　解：f(x,y,z)= ,且f對應的矩陣為A，則A=。再設f(,,)=+4,對應的矩陣為B，則B=。因為A與B相似，所以A與B有相同的特征值=0，=1，=4.將=0，=1，=4分別代入|E-A|=0.可解的a=3,b=1

34、,所以A=.當=0時，得特征向量，當=1時，得特征向量，當=1時，得特征向量。將它們單位化得。則所求正交矩陣P為P= = 。</p><p>　　2.4 矩陣對角化在常微分中的應用</p><p>　　由于微分方程組中每一方程都包含若干個變量，直接求解不方便；如果利用矩陣可對角化的理論，問題的求解就容易得多。</p><p><b>　　例9：解微分方程

35、組</b></p><p>　　解：令，A=，= 則微分方程組可表示為=A，可求得A的特征值為==7，=-2對應2重特征值7有2個線性無關的特征向量，又A對應=-2的特征向量為故A可對角化。令則=∧。令x=Py，其中y=，則易驗證=p。帶入=A，得p=APy，即=（AP）y=vy寫成分量形式為=7，=7，=-2解得=，=，=（為任意實數(shù)）故由x=Py，得（為任意實數(shù)）。</p><

36、p>　　此外，根據(jù)矩陣=exp（At）是=Ax的基解矩陣，且=E，利用對角矩陣可以較容易的解決一些求基解矩陣的問題。</p><p>　　例10：試求=x的基解矩陣。</p><p>　　解：因為A==+，而且后面的兩個矩陣是可交換的，我們得到exp（At）=expt ×expt=</p><p>　　但是=，所以級數(shù)只有兩項。因此，基解矩陣就是&l

37、t;/p><p>　　Exp（At）= 。</p><p>　　例11.如果A= ，試求exp（At）。</p><p>　　解：這里n=5，=-4是A的5重特征值，直接計算可得=0。因此，利用公式exp（At）==可得exp（At）= ，這樣一來exp（At）==</p><p>　　3.對角矩陣在實際生活中的應用</p>

38、<p>　　對角矩陣在實際生活中有著廣泛的應用，這里只是略微談一下。</p><p>　　例1：某實驗性生產(chǎn)線每年一月份進行熟練工與非熟練工的統(tǒng)計，然后將1/6熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊。新、老非熟練工經(jīng)過培訓及實踐至年終考核有2/5成為熟練工。設第n年一月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為和，記成向量。</p><p>　　求與的關系式并寫成矩陣

39、形式=A；</p><p>　　驗證，是A的兩個線性無關的特征向量，并寫出相應的特征值；</p><p><b>　　當時，求。</b></p><p>　　解：（1）由題設可列出與的關系式=5/6+2/5(1/6+);=3/5(1/6+)化簡得=，于是A=。</p><p>　?。?）令P==，則由|P|=5≠0知線性

40、無關。因為A==，故為A的特征向量，且相應的特征值為=1.又因為A = = ，故為A的特征向量，且相應的特征值為= 。</p><p>　?。?）=A==…==由=，有A=P。于是= P ，又=1/5，故=1/5=1/5因此==。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.

41、 高等代數(shù)【M】.北京：高等教育出版社，2003.</p><p>　　[2]張禾瑞.高等代數(shù)第五版【M】.北京：高等教育出版社，2007.</p><p>　　[3]錢吉林.高等代數(shù)題解精粹【M】.北京：中央民族大學出版社，2006.</p><p>　　[4]徐仲，陸全.高等代數(shù)考研教案【M】.西安：西北工業(yè)大學出版社，2009.</p><

42、p>　　Identification and application of the diagonal matrix</p><p>　　Abstract:Diagonalization of the matrix is a reflection of an important concept matrix properties, whether for mathematics majors of Highe

43、r Algebra and not learn mathematics majors in linear algebra to learn and understand the meaning of it is necessary. This paper mainly studies the diagonalization of matrix problems, summarizes the diagonalization of mat

44、rix operations, properties, method, as well as in linear algebra and matrix diagonalization, some knowledge related to the permeability of ordi</p><p>　　Keywords: diagonalization of the matrix eigenvalue eig