畢業(yè)論文---中頻感應加熱爐溫度控制系統的數學建模

1、<p>　　中頻感應加熱爐溫度控制系統的數學建模</p><p>　　摘 要：通過對中頻感應加熱爐溫度控制系統的數學建模，可以更精確的對溫度進行控制，從而得到電源功率與溫升的最佳方案，使電能得到最高效的利用，從而在最快的時間內達到所需要的最準確的溫度，減少工件的廢品率，并提高生產效率。本文運用電磁學及熱學的知識，研究中頻感應加熱爐溫度控制系統電源輸出功率與被加熱材料電渦流的關系；電渦流與發(fā)熱量的關系；

2、發(fā)熱量與溫升的關系。從而得出電源的輸出功率與被加熱材料溫升的電-熱學模型。數學模型中運用金屬材料學的知識考慮材料電阻、比熱隨溫度變化而變化的影響，得出在這些條件影響下的數學模型。簡化得出的加熱爐溫度控制系統為一階慣性系統。以某中頻感應加熱爐為例，計算各環(huán)節(jié)的數學關系并建立其溫度控制系統的數學模型。這些研究工作為系統的仿真、技術培訓及控制優(yōu)化提供了理論基礎。</p><p>　　關鍵詞：中頻感應加熱爐；溫度控制系統

3、；數學模型；感應線圈；渦流；發(fā)熱量；</p><p><b>　　溫升</b></p><p>　　The mathematical modeling of temperature control system about medium frequency induction heating furnace</p><p>　　Abstract

4、：Based on the medium frequency induction heating furnace temperature control system modeling, can be more accurate temperature control, so as to obtain the power and temperature rise is the best solution, so that electri

5、city can be the most efficient use, resulting in the fastest time to meet the needs of the most accurate temperature, reduce the reject rate, and improve production efficiency. In this paper, using the electromagnetic an

6、d thermal knowledge, study of the medium frequency i</p><p>　　Keywords：Medium frequency induction heating furnace;Temperature control System;Mathematic model;Induction coil;Eddy current;Calorific value</p

7、><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1 感應加熱的基本原理1</p><p>　　1.2 感應加熱爐的作用1</p><p>　　1.3 數學模型和一般建模方法2</p>&l

8、t;p>　　1.3.1 數學模型的定義及分類2</p><p>　　1.3.2 一般的建模方法3</p><p>　　1.4 常規(guī)加熱爐的數學模型4</p><p>　　1.4.1 簡易的加熱爐溫度系統數學模型4</p><p>　　1.4.2 連續(xù)加熱爐的數學模型5</p><p>　　1.

9、5 課題研究的內容和目的6</p><p>　　1.6 論文安排7</p><p>　　2 中頻感應加熱爐系統結構分析8</p><p>　　2.1 中頻感應加熱爐系統總體結構8</p><p>　　2.2 中頻電源的結構分析9</p><p>　　2.3 加熱爐的結構分析10</p>

10、;<p>　　2.4 被加熱材料的輸送裝置11</p><p>　　3 中頻感應加熱爐溫度控制系統的數學建模12</p><p>　　3.1 中頻感應加熱爐溫度控制系統的結構12</p><p>　　3.2 加熱爐感應線圈的數學模型13</p><p>　　3.2.1 溫度對加熱爐感應線圈電阻的影響13<

11、;/p><p>　　3.2.2 線圈電流與電源輸出功率的關系15</p><p>　　3.2.3 電源輸出功率與線圈磁感應強度的關系16</p><p>　　3.2.4 感應線圈數學模型的簡化17</p><p>　　3.3 被加熱材料渦流的數學模型17</p><p>　　3.3.1 感應線圈與被加熱材

12、料渦流的關系17</p><p>　　3.2.2 被加熱材料渦流的簡化數學模型18</p><p>　　3.3 被加熱材料渦流與熱功率的關系模型18</p><p>　　3.4 被加熱材料電阻率隨溫度變化對系統的影響19</p><p>　　3.4.1 材料被加熱部分受溫度影響下的電阻19</p><p&

13、gt;　　3.4.2 受溫度影響下的的簡化值20</p><p>　　3.4.3 電阻隨溫度變化對材料渦流的影響21</p><p>　　3.4.4 電阻隨溫度變化對材料自發(fā)熱的影響21</p><p>　　3.5 熱功率與發(fā)熱量的關系22</p><p>　　3.5.1 傳送速度與加熱時間的關系22</p>

14、<p>　　3.5.2 材料發(fā)熱量的數學模型22</p><p>　　3.5.3 傳送速度為時材料發(fā)熱量的數學模型23</p><p>　　3.6 被加熱材料出口溫度的數學模型23</p><p>　　3.6.1 發(fā)熱量與出口溫度的關系23</p><p>　　3.6.2 出口溫度的簡化數學模型及傳遞函數24&

15、lt;/p><p>　　3.6.3 材料比熱隨溫度變化對材料導熱的影響25</p><p>　　3.7 中頻感應加熱爐溫度控制系統的數學模型27</p><p>　　3.7.1 溫度控制系統的框圖27</p><p>　　3.7.2 中頻感應加熱爐溫度控制系統的數學模型28</p><p>　　3.7.3

16、 中頻感應加熱爐溫度控制系統的S傳遞函數28</p><p>　　3.8 本章小結29</p><p>　　4 某型號的中頻感應加熱爐溫度控制系統數學模型30</p><p>　　4.1 某型號中頻感應加熱爐結構30</p><p>　　4.2 A加熱爐各參數及說明30</p><p>　　4.3

17、A加熱爐溫度控制系統的數學模型32</p><p>　　4.3.1 A加熱爐感應線圈的數學模型32</p><p>　　4.3.2 A加熱爐材料渦流的數學模型32</p><p>　　4.3.3 A加熱爐材料渦流與熱功率的關系33</p><p>　　4.3.4 A加熱爐I材料（自發(fā)熱）環(huán)節(jié)的傳遞函數33</p>

18、<p>　　4.3.5 A加熱爐材料（熱導）環(huán)節(jié)模型33</p><p>　　4.3.6 A加熱爐的數學模型33</p><p>　　5 總結與展望35</p><p><b>　　參考文獻36</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p>

19、<p>　　1.1 感應加熱的基本原理</p><p>　　感應加熱的基礎是法拉第發(fā)現的電磁感應現象，即交變的電流會在導體中產生感應電流使導體周圍產生感應磁場，被加熱的材料(即坯料)的內部在磁場的作用下產生電渦流,依靠這些渦流的能量達到加熱目的。感應加熱的過程實際上是電磁感應過程和熱傳導過程的綜合體現。其中,電磁感應過程具有主導作用,它影響并在一定程度上決定著熱傳導過程。熱傳導過程中所需要的熱能量實

20、際上是由電磁感應過程中所產生的渦流功率所提供。感應加熱所遵循的主要依據是電磁感應、“趨膚效應”、和熱傳導這3項基本原理[1]。</p><p>　　任一導體通過電流時,在其周圍都會同時產生磁場。當線圈中的電流是交變電流時,在線圈內部和周圍就產生一個交變的磁場。在感應加熱時,置于感應線圈內的工件就被這個交變磁場的磁力線所切割。在工件的內部產生電渦流（工程上規(guī)定從導體表面到電流密度為導體表面的1/e＝0.368的距離

21、δ為趨膚深度[2]，即電渦流只產生在距導體表面深度為δ的區(qū)域），使工件表面溫度升高，達到加熱的效果。而工件內部則是通過熱傳遞的方式進行加熱的，表面溫度高于內部的溫度，所以他們之間進行溫度的融合而使工件表芯溫度近似相等。</p><p>　　中頻感應加熱爐溫度控制系統的工作原理是，系統根據設定的加熱溫度、生產的線速度等參數，把加熱材料所需的熱能換算成電能，根據所需的電功率設定整流電壓，然后由電壓電流雙閉環(huán)系統控制晶

22、閘管完成直流電壓的調節(jié)。逆變器為自激系統，不可調。這樣系統就把電能轉變成熱能，使材料加熱到所需的溫度。</p><p>　　1.2 感應加熱爐的作用</p><p>　　其主要應用有[1]：有色金屬的冶煉，金屬材料的熱處理，鍛造、擠壓、軋制等型材生產的透熱，焊管生產的焊縫；各種機械零件的淬火，以及淬火后的回火、退火和正火等熱處理的加熱；罐頭以及其他包裝的封口；電子管真空除氣的加熱。<

23、;/p><p>　　因此感應加熱的應用十分廣泛，它最大的特點是將工件直接加熱，優(yōu)點是工人勞動條件好、工件加熱速度快、溫度容易控制、加熱過程中不會混入金屬雜質及金屬損耗小、易于實現自動化和在線生產、生產效率高等。感應加熱屬非接觸加熱方式，能提供高的功率密度，在加熱溫度和深度上有高度靈活的選擇性，能在各種載氣（空氣、保護氣、真空）中工作 ，損耗極低，不產生任何物理污染，符合環(huán)保和可持續(xù)發(fā)展方針，是綠色環(huán)保型加熱工藝之一。

24、</p><p>　　加熱爐的種類很多，其中感應電爐按結構分，有坩堝式（通常稱無芯感應電爐）和溝槽式（通常稱有芯感應電爐）兩大類。溝槽式又可分為臥式和立式。</p><p>　　感應加熱爐有工頻、中頻和高頻之分，我們主要研究的是中頻感應加熱爐。感應電源按頻率范圍可分為以下等級：500Hz以下為低頻，1—10KHz為中頻，20KHz以上為超音頻和高頻。中頻感應加熱爐一般采用的頻率范圍為0.5

25、—8KHz。我們所研究的感應加熱爐為有芯中頻感應加熱爐，其額定功率為400KW。</p><p>　　目前感應加熱制造業(yè)的服務對象主要是汽車制造業(yè)，今后現代冶金工業(yè)將對感應加熱有較大需求。尤其是現在國內感應淬火工藝裝備制造業(yè)也日益擴大，產品品種多，原來需要進口的裝備，逐步被國產品所取代，在為國家節(jié)省外匯的同時，發(fā)展了國內的相關企業(yè)。如今，感應加熱與可控氣氛熱處理、真空熱處理少無氧化技術已成為熱處理技術的發(fā)展主流。

26、</p><p>　　1.3 數學模型和一般建模方法</p><p>　　1.3.1 數學模型的定義及分類</p><p>　　所謂數學模型[3]（Mathematical Model）是指通過抽象和簡化，使用數學語言對實際現象的一個近似刻畫，以便于人們更深刻地認識所研究的對象。數學模型也不是對現實系統的簡單模擬，它是人們用以認識現實系統和解決實際問題的工具。數

27、學模型是對現實對象的信息通過提煉、分析、歸納、翻譯的結果。它使用數學語言精確地表達了對象的內在特征。通過數學上的演繹推理和分析求解，使得深化對所研究的的實際問題的認識。 </p><p>　　例如，描述人口隨時間的增長過程的數學模型，盡管由于它忽略了性別、年齡、社會經濟和自然界的約束條件等許多與人口增長有關的因素，相對于實際人口的動態(tài)來說大大的被簡化了，雖然這個數學模型有一定的偏差，但是他所揭示出的人口指數增長的

28、結論是人們不得不面對的嚴酷事實。</p><p>　　這種應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模（Mathematical Modeling）。不論是用數學方法在科技和生產領域解決哪類實際問題，還是與其它學科相結合形成交叉學科，首要的和關鍵的一步是建立研究對象的數學模型，并加以計算求解。數學建模和計算機技術在知識經濟時代的作用可謂是如虎添翼。 </p><p>　　數

29、學模型主要是使用數學知識來解決實際問題。一個好的模型不在于它使用了多么高深的數學，而是要用較強的實際背景，最好是直接針對某個實際問題。模型應該經過實際檢驗表明是可以接受的，他應該能讓我們對所研究的問題有進一步的了解，而且應該是盡可能的簡單以利于使用者理解和接受。</p><p>　　數學模型可以按照不同的方法分類。按照模型的應用領域可以分為數量經濟模型、醫(yī)學模型、地質模型、社會模型等，更具體有人口模型、交通模型、

30、環(huán)境模型、生態(tài)模型等。</p><p>　　數學模型的初衷是洞察源于數學之外的事物或系統。通過選擇數學系統，建立原系統的各個部分與描述其行為的數學部分之間的對應，達到發(fā)現事物運行的基本過程的目的。因此，通常也有如下的分類。</p><p>　　觀察模型和決策模型；</p><p>　　確定型模型和隨機型模型；</p><p>　　連續(xù)模型和離

31、散模型；</p><p>　　解析模型和仿真模型。</p><p>　　1.3.2 一般的建模方法</p><p>　　建立一個實際問題的數學模型的方法大致有兩種：一種是實驗歸納的方法，即根據測試或計算數據，按照一定的數學方法，歸納出問題的數學模型；另一種是理論分析的方法，即根據客觀事物的本身性質分析因果關系，在適當的假設下用數學工具描述其數量特征。</p&

32、gt;<p>　　建立數學模型的一般步驟為：</p><p><b>　　1. 建模準備</b></p><p>　　首先要了解問題的實際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現象、數據等，盡量弄清對象的特征,由此初步確定用哪一類模型，總之是做好建模的準備工作．情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問題要虛心向從事實際工作的同志請教，盡量掌握第

33、一手資料.</p><p><b>　　2. 建模假設</b></p><p>　　根據對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言做出假設，可以說是建模的關鍵一步．一般地說，一個實際問題不經過簡化假設就很難翻譯成數學問題，即使可能，也很難求解．不同的簡化假設會得到不同的模型．假設作得不合理或過份簡單，會導致模型失敗或部分失敗，于是應該修改和補充

34、假設；假設作得過分詳細，試圖把復雜對象的各方面因素都考慮進去，可能使你很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作．通常，作假設的依據，一是出于對問題內在規(guī)律的認識，二是來自對數據或現象的分析，也可以是二者的綜合．作假設時既要運用與問題相關的物理、化學、生物、經濟等方面的知識，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、均勻化．經驗在這里也常起重要作用．寫出假設時，語言要精確，就象做習題時

35、寫出已知條件那樣．</p><p><b>　　3. 模型建立</b></p><p>　　根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規(guī)律和適當的數學工具，構造各個量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關系或其他數學結構．這里除需要一些相關學科的專門知識外，還常常需要較廣闊的應用數學方面的知識，以開拓思路.當然不能要求對數學學科門門精通,而是要知道這些學科能解決

36、哪一類問題以及大體上怎樣解決．相似類比法，即根據不同對象的某些相似性，借用已知領域的數學模型，也是構造模型的一種方法．建模時還應遵循的一個原則是，盡量采用簡單的數學工具，因為你建立的模型總是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少數專家欣賞.</p><p><b>　　4. 模型求解</b></p><p>　　可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值計算等

37、各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術．</p><p><b>　　5. 模型檢驗</b></p><p>　　把數學上分析的結果翻譯回到實際問題，并用實際的現象、數據與之比較，檢驗模型的合理性和適用性．這一步對于建模的成敗是非常重要的，要以嚴肅認真的態(tài)度來對待．當然，有些模型如核戰(zhàn)爭模型就不可能要求接受實際的檢驗了．模型檢驗的結果如果不符合或者部分不符合實際

38、，問題通常出在模型假設上，應該修改、補充假設，重新建模．有些模型要經過幾次反復，不斷完善，直到檢驗結果獲得某種程度上的滿意．</p><p><b>　　6. 模型應用</b></p><p>　　用已建立的數學模型分析解釋已有現象，并預測未來的發(fā)展趨勢，以便給人們的決策提供參考。    應當指出，并不是所有建模過程都要經過這

39、些步驟，有時各步驟之間的界限也不那么分明．建模時不應拘泥于形式上的按部就班，重要的是根據對象的特點和建模的目的，去粗取精，去偽存真，從簡到繁，不斷完善。</p><p>　　在實踐中，能夠直接運用數學方法解決實際問題的情形是很少見的。也就是說，實際問題很少直接以數學的語言出現在我們面前。而且對于如何使用數學語言來描述所面臨的實際問題也不是輕而易舉的。應用數學知識來解決實際問題的第一步必須要面對實際問題中看起來雜亂

40、無章的現象，并從中抽象出恰當的數學關系，也就是組建這個問題的數學模型，這個過程就是數學建模。</p><p>　　1.4 常規(guī)加熱爐的數學模型</p><p>　　1.4.1 簡易的加熱爐溫度系統數學模型</p><p>　　加熱材料所需的熱功率與材料穿過線圈速度的關系[4]：</p><p><b>　　(1.1) <

41、/b></p><p>　　(1.2) </p><p><b>　　(1.3)</b></p><p>　　式中：— 材料的截面積， ；</p><p>　　— 材料的體積質量， k g / ；</p><p>　　— 材料的質量熱容， J / ( k g · K

42、 ) ；</p><p>　　— 材料的人口溫度， ℃；</p><p>　　— 材料的出口溫度， ℃；</p><p>　　— 材料穿過加熱線圈的速度， m / s ；</p><p>　　— 加熱材料所需的熱功率， W；</p><p>　　— 轉換成熱功率所需的電功率， W；</p><p&g

43、t;　　— 加熱l m材料所需的能量， J / m；</p><p>　　— 能量轉換效率， %。</p><p>　　由式( 1.3 ) 可知，電功率與材料的相對速度成正比。不同規(guī)格的鋼絲在處理之前， 都必須通過調試設置各參數值，設定的值保存在工控機中，而后生產不同規(guī)格的產品，只需調用相應的加熱曲線即可。中頻爐控制系統接受選用的加熱參數，從而控制整個加熱過程。</p>&l

44、t;p>　　以上就是中頻感應加熱爐的一個很簡易的加熱模型，從這幾個數學關系表達式中可以得出加熱材料所需的熱功率與被加熱材料的截面積、質量熱容、人口溫度、出口溫度以及材料穿過加熱線圈的速度的關系。</p><p>　　1.4.2 連續(xù)加熱爐的數學模型</p><p>　　1） 爐溫模型[5]</p><p>　　通過對測點爐溫進行線性插值定義，沿長方向的一維空

45、間爐溫分布用下式表示：</p><p><b>　　(1.4)</b></p><p>　　其中一爐溫，一沿爐長方向坐標；一時間</p><p>　　2) 鍋錠內部導熱模型</p><p>　　由于鋼錠在爐內緊密排列及對爐溫模型簡化假設，可以認為爐內鋼錠溫度分布是維空間的，既是沿厚度方向坐標x的函，又是沿爐長方向坐標夕

46、的函數，后者由鋼節(jié)奏確定.所以就某一鋼錠而言，其內部傳熱可用一維不穩(wěn)定導熱的偏微分方程加以描述：</p><p><b>　　(1.5)</b></p><p>　　式中T一鋼錠溫度；一鋼錠材料的汁溫系數。根據有限差分原理把式(1.5)描述</p><p>　　的連續(xù)系統在時間和鋼錠沿厚度方向離散化，式（1.5）改寫為：</p>

47、<p><b>　　(1.6)</b></p><p>　　式中一空間離散節(jié)點序列；一時間間離散序列。為了減少計算量，采用完全隱式差分格式，則鋼錠內部各節(jié)點溫度與表面溫度的關系可表示為如下矩陣形式：</p><p><b>　　(1.7)</b></p><p>　　其中為階方陣;B為個元素的行陣，M為空間離

48、散的節(jié)點數。</p><p>　　T為鋼錠內部各節(jié)點溫度;為鋼錠表而溫度。從式(1.7)可知表面溫度與點溫度的關系，這一性質為式(1.6)的求解帶來方便，當表面溫度己知時可用追趕法對該不穩(wěn)定導熱問題進行數值求解。</p><p>　　通過對加熱爐的簡易模型及連續(xù)加熱爐溫度模型的舉例，我們了解了加熱爐的數學建模方法。但是上述的加熱模型都主要集中在研究加熱爐的部分，但都不是對感應加熱爐溫度控制

49、系統的數學建模，雖然大體的建模方法與之相似但是還有很大的不同，不過以上的工作還是為我們的研究提供了很好的參考。所以我們有必要對中頻感應加熱爐的溫度控制系統各個參數間的關系進行分析，建立其數學模型。所以對感應加熱系統進行數學建模研究其加熱過程中各變量的關系是十分必要的。</p><p>　　1.5 課題研究的內容和目的</p><p>　　對中頻感應加熱爐溫度控制系統的數學建模，就是剖析加

50、熱爐的結構，分析其加熱原理，研究其從電到熱的轉換過程，確定電源輸出與線圈磁感應強度的關系，建立被加熱材料渦流的數學模型，基于能量守恒定律建立熱量與溫升的關系模型。從而寫出中頻感應加熱爐溫度控制系統的傳遞函數。</p><p>　　在建立感應加熱爐感應線圈的數學模型時，線圈本身的發(fā)熱會影響這個溫度控制系統，而其電阻率隨溫度的變化也是系統中的干擾因素之一。在研究電渦流與發(fā)熱量之間的關系時，因被加熱材料的形狀、種類和溫

51、度的不同而有著不同的阻抗，則其電渦流與發(fā)熱量之間的關系也就不一樣。除此之外研究發(fā)熱量與溫升之間的關系時，影響因素有加熱停留時間，入口溫度和環(huán)境溫度。只有發(fā)現問題才能解決問題，所以對中頻感應加熱爐溫度控制系統的數學建模就是發(fā)現問題并分析他。所以只要弄清楚了這些關系就能更清楚的了解電源電壓、電流頻率與溫升之間的關系，清楚影響溫度調節(jié)的各個因素，從而更好地對溫度進行控制。</p><p>　　通過對其控制系統的數學建模

52、，我們就可以更精確的對溫度進行控制，從而得到電源功率與溫升的最佳方案，使電能得到最高效的利用，從而在最快的時間內達到所需要的最準確的溫度，減少工件的廢品率，并提高生產效率。</p><p>　　1.6 論文安排 </p><p>　　通過第1章對感應加熱爐的了解，我們知道感應加熱爐對我們的作用和意義以及對其數學模型研究的重要性。</p><p>　　我們就要對但應

53、加熱爐的結構進行了解與分析，這樣我們才能更好地建立感應加熱爐的溫度控制系統的數學模型。</p><p>　　接下來的第3章就是整篇論文最重要的部分，即對中頻感應加熱爐溫度控制系統進行分析并寫出他的數學模型及傳遞函數,而且還要考慮被加熱材料的電阻及比熱在溫度升高的時候的變化，并計算出其變化量從而使加熱爐的溫度模型更加的精確。</p><p>　　第4章就根據第3章中推導出的廣義對象各環(huán)節(jié)的數

54、學模型及傳遞函數計算出某一個特定感應加熱爐的溫度系統數學模型及他的傳遞函數。第5章就要對上幾章進行分析并得出結論，然后對這個研究課題的未來進行展望。在文章的最后將給出本文所用到的參考文獻。</p><p>　　2 中頻感應加熱爐系統結構分析</p><p>　　2.1 中頻感應加熱爐系統總體結構</p><p>　　中頻感應加熱爐是由電源部分、傳送部分、加熱和保

55、溫部分構成的[1]。電源部分又可以分為整流濾波部分、逆變部分、控制與保護部分以及負載部分。電源的負載就是感應加熱爐的線圈及其附屬結構（比如電阻和電容）。被加熱材料的輸送是靠電機傳動的，所以這一部分用到電機以及調節(jié)電機速度的變頻調速器。這個調速器可以調節(jié)材料進入爐膛的速度，也可以說是材料的輸出速度。這個速度是由軋鋼機的運動速度決定的。其材料的出口溫度可以反饋至電源部分使其通過對頻率的調節(jié)來調節(jié)材料的溫度，其總體結構如圖2-1所示。<

56、/p><p>　　圖2-1 中頻感應加熱爐系統總體結構框圖</p><p>　　上圖中各部分的名稱及作用：</p><p>　　AC/DC整流電路：把輸入的交流電轉化成直流輸出至濾波環(huán)節(jié)；</p><p>　　濾波環(huán)節(jié)：濾掉諧波使直流更為穩(wěn)定；</p><p>　　DC/AC逆變電路：把整流輸出的直流電轉化為所需要的交流

57、電；</p><p>　　控制與保護電路：控制電源使其輸出合適的電壓、電流；</p><p>　　負載線圈：加熱爐的加熱部分；</p><p>　　被加熱材料：需要加熱到特定溫度的圓柱形金屬材料；</p><p>　　傳送帶：用來輸送被加熱材料；</p><p>　　電機：用來驅動傳送帶； </p>

58、<p>　　變頻調速器：根據需要調節(jié)電機的轉速；</p><p>　　保溫透熱部分：使材料充分透熱至其表芯溫度均勻。</p><p>　　被加熱材料的加熱過程是，首先通過傳送帶把以一定速度運動的材料送入加熱爐，材料在爐內產生渦流使其溫度升高，并從表面向內部透熱。加熱后，材料在保溫透熱部分中進行充分地透熱，使工件的表芯溫度幾乎相等。在材料的出口中有檢測材料溫度的裝置，并把它變?yōu)?-

59、5V的電壓信號送入電源與給定電壓作比較，用其偏差來調節(jié)電源的輸出頻率使得材料產生的渦流變化而使材料的溫度達到預定值，這就是材料溫度的控制過程。在出口也有檢測材料出口速度的，也會通過儀表把速度轉化為1-5V的電壓信號，與給定的速度進行比較來調節(jié)材料的出口速度。若想要改變材料的出口速度只需要改變調速變頻器的輸出頻率就好了。</p><p>　　2.2 中頻電源的結構分析</p><p>　　

60、中頻電源已廣泛應用于工業(yè)加熱領域。新型晶閘管感應加熱電源采用成熟的變頻技術, 由全控型器件構成串聯諧振式逆變電路, 解決了工頻加熱效果差和浪費電能等問題。中頻感應加熱電源采用IGBT作為開關器件,可工作在 20KHZ,具有功率調節(jié)范圍寬、頻率變化小的優(yōu)點,適用于中小功率系統。</p><p>　　感應加熱電源的主電路是由一個整流電路，一個濾波環(huán)節(jié)以及一個逆變電路構成。如圖2-2所示[6]：</p>

61、<p>　　圖2-2 IGBT并聯感應加熱電源主電路原理圖</p><p>　　由圖可知整流部分由一個三相橋式全控整流電路構成，通過整流電路可以吧三相的交變電流輸出電壓為電流為的近似直流電，通過濾波環(huán)節(jié)濾掉諧波，然后再通過逆變電路把直流電變成特定頻率的交流電，就可以輸出至負載了。</p><p>　　但是一個完整的中頻感應加熱電源還要包括控制與保護環(huán)節(jié)，才能更好地對工件進行準確

62、的加熱，其結構如圖2-3所示。</p><p>　　圖2-3 感應加熱電源的主電路結構圖</p><p>　　如上圖所示，感應加熱電源主要有四個環(huán)節(jié)組成：整流及濾波環(huán)節(jié)；逆變環(huán)節(jié)；負載；控制與保護環(huán)節(jié)。</p><p>　　根據以上的兩個圖可知，中頻感應加熱電源由以下的幾個方面構成[7]：</p><p><b>　　a、三相電源

63、，，；</b></p><p>　　b、三相全控整流器，由晶閘管-組成；</p><p><b>　　c、濾波電感、；</b></p><p>　　d、逆變器由四個IGBT構成并聯型橋臂結構，-是串聯快速恢復二極管,-構成緩沖電路；</p><p>　　e、負載電路由感應器L，補償電容C，負載R組成。<

64、/p><p>　　通過給加熱爐提供可調的，相對穩(wěn)定的電源使得其可以在規(guī)定的時間內把工件加熱所需要的溫度。</p><p>　　2.3 加熱爐的結構分析</p><p>　　感應加熱爐由感應線圈，保溫部分以及內外隔熱層組成。如圖2-4所示，</p><p>　　圖2-4 感應加熱爐加熱部分結構圖</p><p>　　圖中

65、：L---為加熱爐的總長度；</p><p>　　---為感應線圈（即加熱部分）長度；</p><p>　　---為保溫爐膛的長度；</p><p>　　---為爐膛是的直徑；</p><p>　　---為感應加熱爐的外經。</p><p>　　加熱爐的感應線圈的主要作用是自身通電產生磁場使工件在線圈中產生渦流，從而使

66、其表面溫度升高。保溫部分的作用是使工件更進一步地透熱，使得表芯溫度近似一致。工件先按一定的速度通過線圈段進行加熱，再以同樣的速度穿過保溫段進行透熱。在加熱及透熱的過程中因為使用了較好的保溫隔熱材料，我們可以近似地認為爐膛中的工件并沒有對外界環(huán)境做功。</p><p>　　2.4 被加熱材料的輸送裝置</p><p>　　材料的輸送裝置其實很簡單即利用電機帶動齒輪使傳送帶運動，從而使放置在

67、傳送帶上的工件可以運動，并傳送至爐膛中其結構如圖2-5所示。</p><p>　　圖2-5 材料輸送裝置結構示意圖</p><p>　　圖中，工件即被加熱材料，本次使用的被加熱材料為圓柱形的銅和鋼；傳送帶環(huán)繞在轉動齒輪外部在齒輪轉動的過程中以固定的速度向一個方向運動；電機M是帶動齒輪轉動的裝置；變頻調速器是通過改變自身的輸出頻率來改變電機的轉速的。</p><p>

68、;　　輸送裝置的工作流程，首先材料的輸送裝置是由變頻調速器調節(jié)電機的速度，從而使齒輪以一定的速度轉動，帶動傳送帶使傳送帶轉動，這樣就能使在傳送帶上的材料以一定的速度勻速運動。如果要調節(jié)材料的速度，就可以通過調節(jié)變頻器的頻率來調節(jié)。 </p><p>　　3 中頻感應加熱爐溫度控制系統的數學建模</p><p>　　3.1 中頻感應加熱爐溫度控制系統的結構</p><

69、p>　　中頻感應加熱爐的溫度控制系統由對象、測量變送器、PLC控制器及變頻電源組成，其中，對象細分為：感應線圈和被加熱材料。中頻感應加熱爐溫度控制系統的各環(huán)節(jié)組成如圖3-1所示。</p><p>　　圖3-1 中頻感應加熱爐溫度控制系統的系統框圖 </p><p><b>　　各環(huán)節(jié)的說明：</b></p><p>　　控制

70、器：其輸入信號為偏差值而其輸出為控制電壓，他通過分析偏差信號從而輸出相應的控制電壓信號；</p><p>　　電源：其輸入為控制器的控制電壓信號，輸出為變頻電源輸出功率，他的作用是接收控制電壓信號輸出相應的功率；</p><p>　　線圈：是電源的負載，其輸入信號為電源的輸出功率信號，輸出為線圈產生的磁感應強度的平方，他是由于通電而發(fā)生電磁感應現象在爐膛內產生磁感應強度為B的電磁場；<

71、;/p><p>　　材料(渦流)：其輸入信號為線圈產生磁場的磁感應強度的平方，而輸出信號為被加熱材料表面電渦流的平方，他是由于在線圈產生的磁場中，距材料本身表面深度為的區(qū)域形成渦旋電流。</p><p>　　P材料（自發(fā)熱）：其輸入信號為被加熱材料電渦流的平方，輸出信號為被加熱材料的熱功率，他表示單位時間內材料表面有渦流的區(qū)域吸收的熱量；</p><p>　　I材料（自

72、發(fā)熱）：其輸入信號為熱功率，輸出信號為材料發(fā)熱量，他表示在加熱時間內材料所吸收的所有熱量；</p><p>　　材料（熱導）：其輸入信號為材料發(fā)熱量而輸出信號為被加熱材料的出口溫度，他的作用是被加熱材料表芯溫度傳導。</p><p>　　檢測變送:其輸入信號為材料的出口溫度輸出信號為1-5V的電流信號，通過這個環(huán)節(jié)把溫度轉化成電流信號與給定電壓信號作比較產生偏差作為控制器的輸入信號。<

73、;/p><p>　　從圖中可以看出，中頻感應加熱爐的溫度控制系統是把給定信號與檢測信號的差值輸入PLC控制器，通過控制器輸出相應的控制電壓信號使電源輸出相應的輸出功率，電源把這個功率信號輸出到線圈上使線圈產生感應強度為的磁場，被加熱材料在線圈的磁場中產生渦流，從而發(fā)熱使材料自身表面溫度升高，再通過熱傳遞的方式向內部進行透熱，這樣加熱就成功了。在加熱爐的出口上有檢測溫度的裝置并把檢測出來的信號與給定信號比較。研究這個系

74、統的數學模型也就是按這樣過程來分析的，目的就是確定這些環(huán)節(jié)間的關系。</p><p>　　為簡化計算圖中的令控制器的傳遞函數為，而電源部分可以看做是一個比例環(huán)節(jié)。加在線圈上的擾動為其阻率隨溫度的變化，是可以忽略的。加在被加熱材料（渦流）上的擾動為材料的長度、外徑誤差及形狀等，本次不做詳細分析。但需要分析其電阻率隨溫度的變化對系統產生的影響。被加熱材料（自發(fā)熱）P上要考慮材料電阻隨溫度的變化而變化，I材料（自發(fā)熱）

75、環(huán)節(jié)上的擾動為被加熱材料的傳送速度，材料（熱導）環(huán)節(jié)要考慮材料的比熱隨溫度的變化。而由于在加熱爐的后半段是保溫的時間，這個時間里并沒有加熱，只是在進行透熱使被加熱材料的表芯溫度接近。系統數學模型就是以這個框圖為基礎進行分析的。</p><p>　　3.2 加熱爐感應線圈的數學模型</p><p>　　3.2.1 溫度對加熱爐感應線圈電阻的影響</p><p>　

76、　感應線圈是感應加熱爐的重要組成部分，它是由截面積為A，長度為b的銅導線按一定的半徑繞成的。感應線圈本身有電阻，所以會發(fā)熱，溫度自然就會升高。溫度升高會使電阻發(fā)生變化，相應的發(fā)熱量就不一樣了。但是因為線圈與外環(huán)境進行了熱交換所以上升的溫度有待討論，若線圈上升的溫度對其電阻率的影響幾乎可以忽略那么我們就可以不考慮溫度變化對線圈電阻的影響。</p><p>　　電阻隨溫度的變化對感應線圈的影響到底有多大，我們可以進行

77、討論。</p><p>　　首先我們只針對電源對線圈做的功，線圈在溫度下的與在T溫度下的相差多少，是否可以忽略不計。</p><p>　　電源對線圈做功為[1]： </p><p>　　(3.1) </p><p>　　也可以表示為[8]： (3.2

78、)</p><p>　　結合(3.1)式和(3.2)式可得：</p><p><b>　　(3.3) </b></p><p>　　其中：---為感應線圈吸收的熱量，</p><p>　　---為銅導線的比熱容，</p><p>　　---為線圈的質量，</p><p>

79、　　---為環(huán)境的溫度，</p><p>　　---線圈升高的溫度，</p><p>　　---為線圈的電阻，</p><p>　　---為電源的輸出電壓，</p><p><b>　　---加熱的時間。</b></p><p>　　根據電阻的計算公式：</p><p>&

80、lt;b>　　(3.4)</b></p><p>　　因為電阻率是隨溫度變化的，并且有[13]：</p><p><b>　　(3.5) </b></p><p>　　其中為線圈的電阻率；為室溫下銅的電阻率；為銅材料的電阻溫度系數。下表給出了一些材料的室溫電阻率及溫度系數：</p><p>　　表3-1

81、 幾種金屬材料的室溫電阻率及溫度系數[14]</p><p><b>　　當時： </b></p><p><b>　　(3.6)</b></p><p><b>　　當時：</b></p><p><b>　　(3.7)</b></p>

82、<p>　?。?.6）式與（3.7）式相減得：</p><p><b>　　(3.8)</b></p><p>　　因為所以對于銅導線即</p><p><b>　　(3.9)</b></p><p><b>　　所以溫度變化很小。</b></p>

83、<p>　　綜上所述電阻隨溫度的變化對感應線圈影響很小幾乎可以忽略不計。</p><p><b>　　電阻的變化為：</b></p><p><b>　　(3.10)</b></p><p>　　電阻的變化率也非常的小也可以忽略不計，所以可以得出：</p><p><b>　　(

84、3.11)</b></p><p>　　其中：---為線圈的電阻</p><p>　　---為通過線圈的電流。</p><p>　　由于近似為定值，所以電源輸出電壓一定時感應線圈中的電流可以看做是恒定的，相應的他產生的磁場也是恒定的。</p><p>　　3.2.2 線圈電流與電源輸出功率的關系</p><p

85、>　　由于感應線圈的材質為銅線所以其電阻為：</p><p><b>　　(3.12)</b></p><p>　　所以線圈電流用電源的輸出功率表示為：</p><p><b>　　(3.13)</b></p><p>　　令線圈電流常數，則線圈的電可以簡化為：</p><

86、p><b>　　(3.14)</b></p><p>　　這就是線圈電流與電源輸出功率的關系。</p><p>　　3.2.3 電源輸出功率與線圈磁感應強度的關系</p><p>　　感應線圈緊密的圍繞在加熱爐加熱部分的外壁上，感應線圈中的某點的位置如圖3-1所示。</p><p>　　圖3-2 某點P在線圈磁

87、場中的位置</p><p>　　根據上圖，列出線圈中某點的磁感應強度方程[14]：</p><p><b>　　(3.15)</b></p><p>　　其中：---真空磁導率</p><p><b>　　N---線圈匝數</b></p><p>　　---感應線圈中的電流&

88、lt;/p><p>　　---感應線圈的線繞半徑</p><p>　　---加熱爐加熱部分的長度</p><p><b>　　---AP的距離</b></p><p><b>　　---BP的距離。</b></p><p>　　線圈中的磁場可以看做是均勻的，所以線圈內部每點的磁感

89、應強度相等，這樣就可以相對方便地計算出線圈內部的磁感應強度。</p><p><b>　　(3.16) </b></p><p>　　結合方程(3.14)就可以得出線圈磁感應強度與電源輸出功率的關系。</p><p><b>　　(3.17) </b></p><p>　　這就是感應線圈的數學模型，

90、由于除電源的輸出電流外，其他的各個參數都是定值，所以磁感應強度是關于感應線圈中的電流的函數，感應線圈中的電流是關于電源輸出功率的函數，而電源的輸出功率是關于時間的函數。所以電源輸出電流前的系數是一個常數。</p><p>　　3.2.4 感應線圈數學模型的簡化</p><p>　　可以令為磁感應強度系數，他可以表示為：</p><p><b>　　(3.

91、18)</b></p><p>　　所以線圈產生的磁感應強度可以簡化為：</p><p><b>　　(3.19)</b></p><p><b>　　可以寫成：</b></p><p><b>　　(3.20)</b></p><p>　　

92、控制系統線圈部分可以表示為一個比例環(huán)節(jié)，其比例系數為。</p><p>　　3.3 被加熱材料渦流的數學模型 </p><p>　　3.3.1 感應線圈與被加熱材料渦流的關系</p><p>　　根據感應加熱的原理可知，加熱爐的感應線圈的內部產生的磁場，使置于其內部被加熱材料表面產生渦流，從而達到加熱的效果。</p><p>　　線圈產生

93、的感應電動勢[1]：</p><p><b>　　(3.21)</b></p><p>　　其中：---電源的頻率</p><p>　　---線圈內部的磁通量。</p><p>　　被加熱材料表面產生的電流：</p><p><b>　　(3.22)</b></p>

94、;<p>　　其中：---被加熱材料被加熱部分的電阻。</p><p>　　結合方程(3.20)與(3.21)可得：</p><p><b>　　(3.23)</b></p><p>　　線圈內部的磁通量為[26]:</p><p><b>　　(3.24)</b></p>

95、<p>　　結合方程(3.28)和(3.29)可以得出：</p><p>　　(3.25) </p><p>　　其中：---感應線圈內部的磁感應強度</p><p>　　---感應線圈的線繞半徑。</p><p>　　3.2.2 被加熱材料渦流的簡化數學模型 <

96、/p><p>　　根據上一小節(jié)可知被加熱材料渦流是關于磁感應強度B及電源頻率的函數，而磁感應強度又是關于時間的函數。首先把看成是一個定值，則令渦流常數為：</p><p><b>　　(3.26)</b></p><p>　　所以方程（3.25）可以簡化為：</p><p>　　(3.27) <

97、;/p><p>　　以上就是感應線圈與材料渦流的關系，從上式可以看出，被加熱材料的發(fā)熱功率與電源頻率及磁感應強度的平方成正比。</p><p>　　電流的平方可以表示為：</p><p><b>　　(3.28)</b></p><p>　　所以當電源頻率一定時，被加熱材料渦流環(huán)節(jié)也可以簡化為一個比例環(huán)節(jié)，其比例系數為：。&

98、lt;/p><p>　　3.3 被加熱材料渦流與熱功率的關系模型</p><p>　　被加熱材料由于自身表面渦流產生渦旋電場，所以材料表面發(fā)熱，其在單位時間內的發(fā)熱量與表面渦流的關系如下：</p><p><b>　　(3.29)</b></p><p>　　由上式可知，被加熱材料在單位時間內的發(fā)熱量與其表面渦流的平方成正

99、比。且與材料的表面電阻有關。</p><p>　　根據被加熱材料的渦流與發(fā)熱量的關系，就可以知道被加熱材料的自發(fā)熱環(huán)節(jié)也是一個比例環(huán)節(jié)，其比例系數為：</p><p>　　3.4 被加熱材料電阻率隨溫度變化對系統的影響 </p><p>　　3.4.1 材料被加熱部分受溫度影響下的電阻</p><p>　　根據感應加熱的原理可知，加熱爐的

100、感應線圈的內部產生的磁場，使置于其內部被加熱材料表面產生渦流，使其自身表面溫度升高，從而達到加熱的效果。</p><p>　　材料被加熱部分的表面深度，也就是其渦流的趨膚深度為[14]：</p><p><b>　　(3.30)</b></p><p>　　其中各變量為：---趨膚深度</p><p><b>

101、　　---電源的頻率</b></p><p><b>　　---材料的磁導率</b></p><p>　　---材料的電導率。</p><p>　　所以材料被加熱區(qū)域的截面積：</p><p><b>　　(3.31)</b></p><p><b>　

102、　化簡得：</b></p><p><b>　　(3.32)</b></p><p>　　其中：---被加熱材料的直徑</p><p>　　可以令而則被加熱材料的橫截面積就可以簡化為：</p><p><b>　　(3.33) </b></p><p>　　下面給

103、出了幾種常用金屬的電導率（如表3-2所示）及磁導率（如表3-3所示）以方便計算被加熱材料的趨膚深度。</p><p>　　表3-2 幾種金屬材料的室溫電導率[15]</p><p>　　表3-3 幾種金屬材料的磁導率[25]</p><p><b>　　根據電阻的性質有：</b></p><p><b>　

104、　(3.34) </b></p><p>　　其中：---被加熱材料電阻率 </p><p>　　---被加熱材料的長度。</p><p>　　在不考慮電阻率隨溫度變化的情況下被加熱材料的電阻可以表示為：</p><p><b>　　(3.35)</b></p><p>　　在考慮

105、電阻率隨溫度變化的情況下，由方程（3.5）可以推導出：</p><p><b>　　(3.36)</b></p><p>　　被加熱材料的溫度是隨時間變化的，被加熱材料被加熱部分的電阻可以表示為：</p><p><b>　　(3.37)</b></p><p>　　有上式可以知，可以看做是關于時間

106、的函數。</p><p>　　3.4.2 受溫度影響下的的簡化值</p><p>　　由方程(3.31)可知截面積是關于電源頻率的函數，它只與電源的頻率有關，所以被加熱部分的截面積可以寫成：</p><p><b>　　(3.38) </b></p><p>　　根據方程(3.36)可知，材料的電阻可以看成是線性變化的

107、，又知道被加熱材料的溫升，其中被加熱材料的表面末溫，所以可以根據表3-1所示的數據計算出個材料在加熱過程中的平均電阻率，這個平均電阻率就可以近似的表示為：</p><p><b>　　(3.39)</b></p><p>　　其中為被加熱材料在室溫下的電阻率。所以被加熱部分的電阻可以寫成：</p><p><b>　　(3.40)

108、</b></p><p>　　對于某種特定的金屬材料在鍛造加熱時其加熱溫度通常為一個確定的值所以溫升可以看做是一個常數即，令材料電阻常數：</p><p><b>　　(3.41)</b></p><p>　　在溫度的影響下，被加熱材料的被加熱部分電阻可以簡化為：</p><p><b>　　(3.

109、42)</b></p><p>　　3.4.3 電阻隨溫度變化對材料渦流的影響</p><p>　　令，結合方程(3.25)、(3.27)與(3.40)可得：</p><p><b>　　(3.43)</b></p><p><b>　　令渦流電阻常數為：</b></p>

110、<p><b>　　(3.44)</b></p><p>　　則電渦流的平方可簡化為：</p><p><b>　　(3.45)</b></p><p>　　所以在電阻隨溫度變化的影響下，中頻感應加熱爐溫度控制系統的材料（渦流）環(huán)節(jié)的傳遞函數變?yōu)榱耍?lt;/p><p>　　當電源的頻率一定

111、時，其材料渦流環(huán)節(jié)也是一個比例環(huán)節(jié)，令，則</p><p><b>　　(3.46)</b></p><p>　　這個比例環(huán)節(jié)的比例系數為：。</p><p>　　3.4.4 電阻隨溫度變化對材料自發(fā)熱的影響</p><p>　　結合方程(3.28)和(3.41)可得：</p><p><

112、b>　　(3.47)</b></p><p>　　在電源頻率一定的情況下函數為定值，則令自發(fā)熱常數為：</p><p><b>　　(3.48)</b></p><p>　　則材料表面在單位時間內的發(fā)熱量為：</p><p><b>　　(3.49)</b></p>

113、<p>　　由上式可知，在電源頻率一定的條件下中頻感應加熱爐溫度控制系統的材料（自發(fā)熱）環(huán)節(jié)的的比例系數為： </p><p>　　3.5 熱功率與發(fā)熱量的關系</p><p>　　3.5.1 傳送速度與加熱時間的關系 </p><p>　　由圖2-5可知，被加熱材料是由傳送帶輸送到加熱爐中的，所以他的輸送速度影響著加熱時間與保溫時間。傳送速度與時間

114、的關系如下：</p><p><b>　　(3.50)</b></p><p><b>　　(3.51)</b></p><p>　　其中：---加熱爐段的長度</p><p>　　---加熱爐保溫段的長度。</p><p>　　所以加熱的停留時間為：</p>

115、<p><b>　　(3.52) </b></p><p>　　其中為加熱爐的總長度。</p><p>　　在本次建模的過程中，中頻感應加熱爐的長度與被加熱材料的傳送速度被設定為常數。</p><p>　　3.5.2 材料發(fā)熱量的數學模型</p><p>　　由發(fā)熱量的計算公式可得發(fā)熱量與熱功率間的關系：&l

116、t;/p><p><b>　　(3.53)</b></p><p>　　這個積分的上下限為和0，即被加熱材料進入線圈的0時刻起到加熱段結束時刻，這段時間內材料吸收的熱量。</p><p>　　3.5.3 傳送速度為時材料發(fā)熱量的數學模型</p><p>　　材料的傳送速度為一個固定的值，且與都是時間t的函數，則方程(3.5

117、0)寫成：</p><p><b>　　(3.54)</b></p><p>　　把方程兩邊分別微分得：</p><p><b>　　(3.55)</b></p><p>　　根據定積分的微分定理,求拉氏變換后得:</p><p><b>　　(3.56)</

118、b></p><p>　　這個環(huán)節(jié)的傳遞函數為：</p><p><b>　　(3.57)</b></p><p>　　所以I加熱材料（自發(fā)熱）環(huán)節(jié)為一個慣性環(huán)節(jié)，當速度視為定值時，令積分時間常數為</p><p><b>　　(3.58)</b></p><p>　　

119、該環(huán)節(jié)的傳遞函數可簡化為：</p><p><b>　　(3.59)</b></p><p>　　計算這個系統的傳遞函數可以不考慮速度隨時間的變化。</p><p>　　3.6 被加熱材料出口溫度的數學模型</p><p>　　3.6.1 發(fā)熱量與出口溫度的關系</p><p>　　在加熱階段

120、若忽略材料表面向內部的熱傳導，根據參考文獻[12]可以得出加熱階段材料表面吸收全部熱量所上升到的溫度。</p><p><b>　　(3.60)</b></p><p>　　其中：---材料被加熱部分的質量</p><p><b>　　---材料的比熱</b></p><p><b>