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文檔簡介
1、<p><b> 本科畢業(yè)論文</b></p><p> 題目：物體在有心力場中運動的分析</p><p><b> 目 錄</b></p><p><b> 1.引 言 1 </b></p><p> 2.有心力基本概念及它的性質(zhì)： 1 </p&
2、gt;<p> 3.推出動力學方程 2 </p><p> 4.用開普勒定律推出引力公式 6 </p><p> 5.兩體問題 7 </p><p><b> 6.結(jié)論 9 </b></p><p> 7.參考文獻 10 </p><p><b> 8
3、.致謝 11 </b></p><p> 物體在有心力場中運動的分析</p><p> 摘 要 有心力場中的運動是經(jīng)典力學和天體力學的一個重要問題.本文概括地介紹了有心力及其有關(guān)它的一些重要結(jié)論.首先研究質(zhì)點和質(zhì)點系在有心力作用下的運動，有心力的基本性質(zhì).用動力學方法推導關(guān)于有心力的公式,及在開普勒三定律的基礎上推導萬有引力方程.,介紹有心力場在物理學中的應用。 <
4、/p><p> 關(guān)鍵詞 有心力；動力學；開普勒定律；兩體問題。</p><p><b> 1.引 言</b></p><p> 經(jīng)典力學的發(fā)展是與對天體運行的觀察和研究分不開的.早在17世紀初葉，開普勒（J.Kepler）通過對太陽系各行星運動的觀察，總結(jié)出行星運動的三個定律，于1620年發(fā)表在《論天體之協(xié)調(diào)》（On Celestial Ha
5、rmonics）一書中.在此基礎上，牛頓建立了著名的萬有引力定律.行星繞恒星的運動屬于所謂“有心運動”一類的運動.有心運動是一類常見的運動，天體的運行，原子核外的電子運動都屬于這類運動.火箭和人造衛(wèi)星的發(fā)射和運行都離不開對有心運動的研究.首先我們介紹有心力的基本概念及它的性質(zhì)，然后利用開氏三定律推導出引力公式并對公式進行分析.</p><p> 2.有心力基本概念及它的性質(zhì)： </p><p
6、> 一般來講，如果運動質(zhì)點所受力的作用線始終通過慣性系中某一個固定點，則我們就說這個質(zhì)點所受的力是有心力，此固定點稱為力心.有心力的量值，一般是矢徑（即質(zhì)點和力心之間的距離）r的函數(shù)，而力的方向則始終沿著質(zhì)點和力心的連線，凡是趨向定點的是引力，離開定點的是斥力。行星繞太陽運動時受到的力，電子饒原子核轉(zhuǎn)動時受到的庫侖引力，近似看做有心力.</p><p> 有心力場是自然界中最普遍、最重要的力場之一.有心
7、力構(gòu)成的力場稱為有心力場.我們平時假定力心不動研究有心力場問題.這時以力心作為坐標質(zhì)點,變成一個平面問題.</p><p> 質(zhì)點受變力作用而沿曲線運動時，變力所作的總功為</p><p><b> ?。?） </b></p><p> 在平面極坐標系中，力所做的功為 </p><p> （2）
8、 </p><p> 因為有心力只具有徑矢方向的分量,而橫向分量為，故質(zhì)點由A點運動到B點時有心力作的功是</p><p><b> (3)</b></p><p> 這個頂積分的值只取決于起點和終點的矢徑，與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)，這就證明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐標相互平行且應滿足,那么角動量守恒.這是有心力場的一個特點，根據(jù)
9、有心力場的特點，下面推導有心力場的動力學方程及加討論。</p><p><b> 3.推出動力學方程</b></p><p> 關(guān)于有心運動我們可以通過求解角動量方程，先得到以時間t為參量的軌道參量方程，，然后削去t得出軌道曲線方程。但也可以一開始就在運動方程中消去時間參量t得到軌道微分方程，然后得到軌道曲線方程。</p><p> 由
10、式： </p><p> 得： (4)</p><p> 令 ，則 (5)</p><p> 并(5)式代入(1)式 </p><p> 對再求導及整理得： （6）</p><p>
11、因 </p><p><b> ?。?）</b></p><p> 這個方程就是我們要推導出的動力學方程，是二階非線性微分方程。對此求解可得，從而得到質(zhì)點的軌道方程</p><p> 下面用動力學方程（7）來研究行星的運動.</p><p>
12、; 近似處理：行星只受到太陽引力的作用，而忽略行星之間的相互作用.</p><p> 行星的運動是在平方反比引力作用下的運動，則</p><p><b> ?。?）</b></p><p><b> 令，</b></p><p> 將
13、 （9）</p><p><b> 其中</b></p><p> 代入（7）式 </p><p><b> 又令，</b></p><p> 則 （10）
14、 </p><p> 可以看以上運動方程為諧振動方程, 其解為</p><p><b> （11）</b></p><p><b> ?。ㄆ渲?積分常數(shù)）</b></p><p> 則 </p><
15、p><b> （12）</b></p><p> 比較,并令,及,.則以上關(guān)系的方程表示行星繞太陽運動時作圓錐線曲線運動.如圖所示.</p><p> 有 （13） </p><p> 離心率e決定軌道形狀,下面我們進行定量分析.</p&g
16、t;<p> ?。?） B點：近日點</p><p><b> 則</b></p><p> 對點 軌道是橢圓</p><p> （2）, , , 軌道是拋物線</p><p><b> ?。?） </b></
17、p><p> 對B點 </p><p> 故 軌道是雙曲線</p><p> 如何判別圓錐線的類型？下面再進一步研究運動軌道，用能量E來判據(jù)軌道的類別.利用下面式</p><p><b> ?。?4）</b></p><p><
18、b> 其中</b></p><p> 因 </p><p> 又,此關(guān)系代入以上能量方程得</p><p><b> ?。?5）</b></p><p><b> 又考慮和常量,及令</b></p><p> 求導
19、 （16）</p><p> 把（16）代入（15）得：</p><p> 即 （17）</p><p> 可以看，通過能量來判斷軌道的形狀。 </p><p> 符合橢圓軌道（束縛運動）</p><p&g
20、t; 符合拋物線軌道（無限運動）</p><p> 符合雙曲線軌道（無限運動）</p><p> 可見，能量E是軌道類別的判據(jù).</p><p> 以上討論以為太陽靜止不動，實際上太陽也有運動，那么這種情況下引力公式的表達式如何？下面進一步討論此問題。</p><p> 4.用開普勒定律推出引力公式</p><p
21、> 下面我們從開普勒定律推出萬有引力定律.開普勒以太陽為中心的說法,提出了下列三條關(guān)于行星運動的定律.</p><p> 第一定律：行星繞太陽作橢圓運動，太陽位于橢圓的一個焦點上.</p><p> 第二定律：行星和太陽之間的聯(lián)線（矢徑），在相等時間所掃過面積相等.</p><p> 第三定律：行星公轉(zhuǎn)的周期的平方和軌道半長軸的立方成正比.</p
22、><p><b> 1）由第二定律</b></p><p> 常量 (18)</p><p> 質(zhì)點掃過的面積為,兩邊除得 </p><p><b> (19)</b></p><p> 常量，表示行星繞太陽運動時的角動量,角動量是
23、守恒.可以看出行星所受力對太陽的力矩為零.</p><p> 結(jié)論1：行星所受力是有心力，太陽在力心.</p><p> ?。?）由第一定律，軌道為橢圓,則行星軌道方程為</p><p> 或 </p><p> 求導 </p><p> 代入比耐公
24、式 </p><p> 有心力為 (20)</p><p> (負號說明是引力 )</p><p> 這既然說明行星所受引力與距離平方成反比,但是與引力公式相比較,式(9)中的和都與行星有關(guān),而是一個與行星無關(guān)的常數(shù).為了說明的物理含義實際問題進行再進一步討論。</p>&
25、lt;p> 根據(jù)以上討論開普勒的三定律具有近似性，但它的近似程度到底又多大？下面用兩體問題來解釋。</p><p><b> 5.兩體問題</b></p><p> 根據(jù)以上討論,開普勒定律具有近似性,其中一個原因就是太陽和行星相互吸引,兩者都有加速度,太陽并不是靜止不動的.太陽和行星都有運動,顯然屬于質(zhì)點組的運動問題.我們現(xiàn)在就對這個問題作進一步的研究.
26、</p><p> 太陽對慣性坐標系的動力學方程為</p><p><b> (21)</b></p><p> 其中點代表某一行星,是行星對某一貫性坐標系原點的位矢,,而是太陽對同一坐標系原點的位矢.</p><p> 行星對同一坐標系的運動方程為</p><p><b>
27、(22)</b></p><p> 為了求行星對太陽的相對運動方程,將式(21)乘以,式(22)乘以,然后由后者減去前者，得</p><p><b> ?。?3）</b></p><p> 因，所以式（24）變?yōu)?lt;/p><p> 消去得 （24）</p><
28、;p> 式中, 是行星的質(zhì)量, 是行星對太陽的位矢, 是行星相對于太陽運動時的加速度,而右式則是行星所受的力.這時可認為太陽是不動的,但它的質(zhì)量卻不等于,而增大為.所以對所有行星并不一樣.式(24)可寫為</p><p><b> (25)</b></p><p><b> 其中</b></p><p> 這
29、時太陽質(zhì)量仍為,但行星質(zhì)量則不等于m，而減小為或，我們通常把叫做折合質(zhì)量.</p><p> 從(25)式出發(fā),我們就可以對開普勒第三定律進行修改.</p><p> 對行星: </p><p> 對行星： </p><p> 兩者相除，得 (26)<
30、;/p><p> 根據(jù)開普勒第三定律,式(26)的右方應該等于1.故開普勒第三定律只具有近似性質(zhì),只在及都遠遠小于時才是正確的.</p><p> 實際上，太陽系中最大的行星是木星，它的質(zhì)量也不過是太陽質(zhì)量的.</p><p> 故如今下角標1代表木星，下角標2代表太陽系中其他行星，因而之比不會超過，與1相差甚微。故開普勒第三定律雖只具近似性質(zhì)，但是近似程度卻是相
31、當高的.</p><p> ，與1相差甚微。故開普勒第三定律雖只具近似性質(zhì)</p><p><b> 6.結(jié)論</b></p><p> 以上討論可以看有心力是保守力，它主要特點是質(zhì)點所受的有心力場的運動時角動量守恒，在普通物理教學中推導出的萬有引力公式是以太陽靜止不動而得出的公式，其中 ， k是對其它行星無關(guān)的常量，在本文中利用開氏
32、三定律推導出的引力公式中出現(xiàn)的 和 與行星有關(guān)的量，那么理論力學方法來推導的引力公式有所不同，在這里太陽還是靜止不動的，為解決以上差距而引入了兩體問題來解釋近似性，雖然這樣但是近似性還是相當高。</p><p><b> 7.參考文獻</b></p><p> [1]周衍柏 理論力學教程 高等教育出版社 1986年</p&g
33、t;<p> [2]陳世民 理論力學簡明教程 高等教育出版社 2001年</p><p> [3]劉連壽 理論物理基礎教程 高等教育出版社 2003年</p><p> [4]張建樹、孫秀泉，張正軍 理論力學 科學出版社 2005年</p><p> [5] 郭士坤
34、60; 理論力學（上，下） 高等教育出版社 1982年</p><p> [6] 胡慧玲，林純鎮(zhèn)，吳惟敏 理論力學基礎教程 高等教育出版社 1986年煌成就的論規(guī)律是()DETONGJIEWEI