數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)---具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型

1、<p>　　學(xué)生課程設(shè)計(jì)（論文）</p><p>　　題 目： 具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型 </p><p><b>　　學(xué)生課程設(shè)計(jì)任務(wù)書(shū)</b></p><p>　　注：任務(wù)書(shū)由指導(dǎo)教師填寫(xiě)。</p><p>　題　目具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型</p><p&g

2、t;　1、課程設(shè)計(jì)的目的數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)是讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)完《數(shù)學(xué)建?！氛n程后進(jìn)行的一次全面的綜合訓(xùn)練，是一個(gè)非常重要的教學(xué)環(huán)節(jié)。</p><p>　課程設(shè)計(jì)的內(nèi)容和要求（包括原始數(shù)據(jù)、技術(shù)要求、工作要求等）根據(jù)指導(dǎo)教師所下達(dá)的課程設(shè)計(jì)題目和課程設(shè)計(jì)要求，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成設(shè)計(jì)任務(wù)；撰寫(xiě)詳細(xì)的課程設(shè)計(jì)論文一份。</p><p>　3、主要參考文獻(xiàn)姜啟源、謝金星、葉俊

3、.《數(shù)學(xué)模型（第三版）》.北京:高等教育出版社.2003.8。王向東、戎海武、文翰.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).北京：高等教育出版社.2004.5。姜啟源、謝金星、葉俊.《數(shù)學(xué)模型（第三版）》習(xí)題解答.北京:高等教育出版社.2003.8?！?】謝運(yùn)權(quán)丶張志讓.數(shù)學(xué).科學(xué)出版社，1999。</p><p>　4、課程設(shè)計(jì)工作進(jìn)度計(jì)劃</p><p>　指導(dǎo)教師（簽字）日期年 月 日</p&g

4、t;<p>　教研室意見(jiàn)：年 月 日</p><p>　學(xué)生（簽字）： 接受任務(wù)時(shí)間： 2014 年 12 月 08 日</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　如果一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)或兩個(gè)以上種群生存，那么它們之間存在三種關(guān)系：相互競(jìng)爭(zhēng)、相互依存、弱肉強(qiáng)食。以下將要介紹的是第三種弱肉強(qiáng)食

5、關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上加入具有自身阻滯作用的條件，即：種群甲（食餌）靠豐富的自然資源生長(zhǎng)，而種群乙（捕食者）靠捕食種群甲（食餌）為生，而其自身又受到自身的阻滯作用。于是根據(jù)此關(guān)系，我們將建立一個(gè)具有自身阻滯作用的食餌—捕食者系統(tǒng)。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】自身阻滯作用 平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性 相軌線 </p><p><b>　　目錄</b></p

6、><p><b>　　一．問(wèn)題重述1</b></p><p><b>　　二．問(wèn)題分析2</b></p><p>　　三．模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明3</p><p><b>　　四．模型建立4</b></p><p><b>　　五、模型分析5

7、</b></p><p><b>　　六．參數(shù)的意義8</b></p><p><b>　　七．模型的求解9</b></p><p>　　十．模型評(píng)價(jià)與推廣15</p><p><b>　　【參考文獻(xiàn)】16</b></p><p>&

8、lt;b>　　一．問(wèn)題重述</b></p><p>　　以下將介紹的是在食餌—捕食者模型的基礎(chǔ)上，建立具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型，并解釋參數(shù)的意義，分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，解釋平衡點(diǎn)穩(wěn)定的實(shí)際意義，進(jìn)行相軌線分析。對(duì)于Volterra模型，多數(shù)食餌—捕食者系統(tǒng)觀察不到那種周期動(dòng)蕩，而是趨于某種平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)存在穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。在Volterra模型中考慮自身阻滯作用的Logisitic項(xiàng)建立

9、具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型，并對(duì)模型的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。</p><p><b>　　二．問(wèn)題分析</b></p><p>　　具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型，就是在Volterra食餌—捕食者模型中加入考慮自身阻滯作用的Logistic項(xiàng)。自然界中不同種群之間存在著既有依存丶又有制約的生存方式：種群甲靠豐富的自然資源生長(zhǎng)，而種群已靠捕食種群甲為生，食用于和

10、鯊魚(yú)丶美洲兔和山貓丶落葉和蚜蟲(chóng)等都是這種生存方式的典型。生態(tài)學(xué)稱甲為食餌，種群已為捕食者，二者構(gòu)成了食餌—捕食者系統(tǒng)。然而在自然界中由于資源有限和其他作用，種群自身也會(huì)阻滯自身的增長(zhǎng)，從而他們構(gòu)成了自身具有阻滯作用的食餌—捕食者系統(tǒng)。</p><p>　　三．模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明</p><p>　　1.在一個(gè)自然環(huán)境中，有甲（食餌）、乙（捕食者）兩個(gè)種群。</p><p

11、>　　2.若乙離開(kāi)甲，則乙無(wú)法生存。</p><p>　　3.自然環(huán)境中資源豐富，若甲獨(dú)立生存時(shí)，呈指數(shù)規(guī)律生長(zhǎng)。</p><p>　　：甲（食餌）在t時(shí)刻的數(shù)量； </p><p>　?。阂遥ú妒痴撸┰趖時(shí)刻的數(shù)量； </p><p>　　：甲的相對(duì)增長(zhǎng)率；

12、 </p><p>　　：乙的相對(duì)增長(zhǎng)率； </p><p>　?。杭椎淖匀画h(huán)境最大容納量； </p><p>　?。阂业淖匀画h(huán)境最大容納量； </p><p>

13、<b>　　四．模型建立</b></p><p>　　有甲（食餌）乙（捕食者）兩個(gè)種群，當(dāng)它們獨(dú)自在一個(gè)自然環(huán)境中生存時(shí)，數(shù)量的演變均遵從Logistic規(guī)律。于是對(duì)于種群甲：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　當(dāng)兩個(gè)種群在同一自然環(huán)境中生存時(shí)，考察由于乙（捕食者）對(duì)于甲（食餌）的生長(zhǎng)產(chǎn)生的影

14、響，于是得到種群甲增長(zhǎng)的方程為：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　類似的，得到種群乙（捕食者）的方程為：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　五、模型分析</b></p><p><

15、;b>　　1、穩(wěn)定性分析：</b></p><p>　　為了了解食餌和捕食者在自身阻滯作用下的生存結(jié)局，即時(shí)，的趨向，我們對(duì)方程（1），（2）的平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。</p><p>　　首先根據(jù)微分方程（1），（2）解代數(shù)方程組</p><p><b>　　(4)</b></p><p>　　可以得到

16、3個(gè)平衡點(diǎn)：</p><p>　　按照判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的方法計(jì)算，可以得到：</p><p>　　對(duì)三個(gè)平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析：</p><p>　　、對(duì)于點(diǎn)，由于，，故點(diǎn)不穩(wěn)定。</p><p>　　、對(duì)于點(diǎn)，有，解得，，所以當(dāng)時(shí)點(diǎn)穩(wěn)定。</p><p><b>　　、對(duì)于點(diǎn)，有</b></

17、p><p>　　(4) 解得，當(dāng)時(shí)點(diǎn)穩(wěn)定。</p><p>　　為了好對(duì)比，我們將3個(gè)平衡點(diǎn)的p，q結(jié)果及穩(wěn)定條件匯總到下列的表格中。</p><p>　　從上表中可以看出是不穩(wěn)定的點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是穩(wěn)定點(diǎn)。</p><p><b>　　相軌線分析：</b></p><p>　　對(duì)于非線性

18、方程（1），（2）我們對(duì)它們的局部穩(wěn)定性做基礎(chǔ)上的相軌線分析，在代數(shù)方程組（3）中，令：</p><p>　　對(duì)于穩(wěn)定點(diǎn)做穩(wěn)定點(diǎn)的相平面分析即：</p><p>　　對(duì)于點(diǎn)的相平面分析我們可以看到圖像的各個(gè)區(qū)域都趨向于點(diǎn)，點(diǎn)的相平面分析可以看到各個(gè)區(qū)域都趨向于點(diǎn)。</p><p><b>　　六．參數(shù)的意義</b></p><

19、;p>　　在上面的兩個(gè)方程中，</p><p>　　式中的的意義是：?jiǎn)挝粩?shù)量乙（捕食者）（相對(duì)于而言）消耗的供養(yǎng)甲（食餌）的食物量為單位數(shù)量甲（相對(duì)于）消耗的供養(yǎng)甲的食物的倍。</p><p>　　式中的的意義是：?jiǎn)挝粩?shù)量甲（相對(duì)于而言）消耗的供養(yǎng)乙的食物量為單位數(shù)量乙（相對(duì)于）消耗的供養(yǎng)乙的食物的倍。</p><p><b>　　七．模型的求解&l

20、t;/b></p><p>　　平衡點(diǎn)求解及穩(wěn)定點(diǎn)判斷：由以上兩個(gè)微分方程（2）、（3）式，設(shè)f()=0,g()=0，解代數(shù)方程組</p><p><b>　　（6）</b></p><p><b>　　得到3個(gè)平衡點(diǎn)：</b></p><p>　　=(0,0)，=（，0），＝（，）</

21、p><p>　　按照判斷平衡點(diǎn)的方法，先求出方程的系數(shù)矩陣A，其中；</p><p>　　A＝ (7)</p><p>　　按照判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定的方法，將A代入到f()和g()中，有：</p><p>　　A＝ (8)</p><p>　　將上面得到的3個(gè)平衡點(diǎn)帶

22、入到A中算出，，i=1,2,3。，i=1,2,3。將3個(gè)平衡點(diǎn)p,q的結(jié)果及穩(wěn)定條件列入下表中：</p><p>　　八．平衡點(diǎn)穩(wěn)定的實(shí)際意義</p><p>　　1.當(dāng)<1時(shí)，甲（食餌）不能夠?yàn)橐遥ú妒痴撸┨峁┳銐虻氖澄?，點(diǎn)穩(wěn)定。即乙滅亡，甲趨向自然環(huán)境最大容量；</p><p>　　2.當(dāng)>1時(shí)，甲能夠?yàn)橐姨峁┳銐虻氖澄?，點(diǎn)穩(wěn)定。即甲和乙都能夠共存下

23、去，分別趨向非零的有限值，甲和乙保持共存的最大數(shù)量。</p><p><b>　　九．相軌線分析</b></p><p>　　平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定（即不論初始值如何，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的），需要在上面得到的局部穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上輔之以相軌線分析。</p><p>　　下面用計(jì)算機(jī)求方程（2）、（3）的 數(shù)值解畫(huà)圖，并畫(huà)出相軌線的圖形。</p>

24、<p>　　1.討論上述<1的情況。設(shè)=0.8，=1.5，=1.2，=0.5，=2，=1.6.使用matlab軟件計(jì)算。</p><p>　　先建立一個(gè)文件并輸入：（文件保存為shier）</p><p>　　function x=shier(t,x)</p><p>　　r1=0.8;r2=1.5;a=1.2;b=0.5;N1=2;N2=1.6;&

25、lt;/p><p>　　x=[r1*x(1)*(1-x(1)/N1-a*x(2)/N2);r2*x(2)*(-1+b*x(1)/N1-x(2)/N2)];</p><p><b>　　end</b></p><p>　　在matlab的主界面中輸入：</p><p>　　>> ts=0:0.1:15;</p

26、><p>　　>> x0=[12,5];</p><p>　　>> [t,x]=ode45('shier1',ts,x0);[t,x];</p><p>　　>> plot(t,x),grid,gtext('x(1)'),gtext('x(2)')</p><p>

27、;<b>　　>> pause,</b></p><p>　　>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid</p><p>　　由圖可知：當(dāng)<1時(shí)，甲（食餌）不能夠?yàn)橐遥ú妒痴撸┨峁┳銐虻氖澄?，乙?huì)滅亡。</p><p>　　2.討論上述>1的情況。設(shè)=0.8，=1.5，=1.2，=1.7，=2，=

28、1.6.使用matlab軟件計(jì)算。</p><p>　　先建立一個(gè)文件并輸入：（文件保存為shier1）</p><p>　　function x=shier(t,x)</p><p>　　r1=0.8;r2=1.5;a=1.5;b=1.7;N1=2;N2=1.6;</p><p>　　x=[r1*x(1)*(1-x(1)/N1-a*x(2)

29、/N2);r2*x(2)*(-1+b*x(1)/N1-x(2)/N2)];</p><p><b>　　end</b></p><p>　　在matlab主窗口中輸入：</p><p><b>　　>> clear;</b></p><p>　　>> ts=0:0.1:15;

30、</p><p>　　>> x0=[12,5];</p><p>　　>> [t,x]=ode45('shier1',ts,x0);[t,x];</p><p>　　>>plot(t,x),grid,gtext('x(1)'),gtext('x(2)')</p><

31、;p><b>　　>> pause,</b></p><p>　　>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid</p><p>　　由圖可知：當(dāng)>1時(shí)，甲能夠?yàn)橐姨峁┳銐虻氖澄铮缀鸵夜餐妗?lt;/p><p><b>　　十．模型評(píng)價(jià)與推廣</b></p>&l

32、t;p>　　多數(shù)的食餌—捕食者系統(tǒng)中，都沒(méi)有考慮到自身的阻滯作用，觀察不到周期震蕩，而是趨向于某種平衡狀態(tài)。本文則是添加了具有自身阻滯作用的條件，使得這個(gè)模型更加趨向于生態(tài)平衡系統(tǒng)。</p><p>　　本文的模型只考慮了甲乙兩個(gè)物種，我們可以把它推廣到三個(gè)或三個(gè)以上的物種來(lái)建立模型。在此不繼續(xù)做討論。</p><p><b>　　【參考文獻(xiàn)】</b></

33、p><p>　　【1】姜啟源、謝金星、葉俊.《數(shù)學(xué)模型（第三版）》.北京:高等教育出版社.2003.8。</p><p>　　【2】王向東、戎海武、文翰.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).北京：高等教育出版社.2004.5。</p><p>　　【3】姜啟源、謝金星、葉俊.《數(shù)學(xué)模型（第三版）》習(xí)題解答.北京:高等教育出版社.2003.8。</p><p>　　【4】謝