數(shù)學(xué)建模論文-基于交比不變性和針孔模型的數(shù)碼相機系統(tǒng)標定

1、<p>　　基于交比不變性和針孔模型的數(shù)碼相機系統(tǒng)標定</p><p><b>　　作者： </b></p><p><b>　　指導(dǎo)教師：</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　數(shù)碼相機定位最常用的方法是雙目定位，關(guān)鍵在于系統(tǒng)標定，即

2、如何根據(jù)靶標圓心在兩部相機像平面上像點的幾何關(guān)系精確確定這兩部相機的相對位置。本文就此問題做了較深入的研究并建立了數(shù)學(xué)模型。</p><p>　　問題一，首先證明了一般情況下，圓在像平面上的投影是橢圓，但圓心在像平面上的投影不一定是橢圓的形心。然后利用透視投影中的交比不變性原理，推導(dǎo)出了靶標上圓心在該相機像平面上像坐標的計算公式。</p><p>　　問題二，對題目給出的靶標5個圓的像，提

3、取其邊緣點并擬合成橢圓方程，根據(jù)幾何方法或最小二乘法原理求出5個圓與像的5個橢圓的外部公切線等。對每個圓心，選擇合適的4對對應(yīng)點，利用問題一中得到的計算公式就可以求出其像坐標，并可通過選擇其他的合適的四組4對對應(yīng)點，對求出的值作平均，以提高計算精度。數(shù)據(jù)結(jié)果見下表。</p><p>　　問題三，利用數(shù)碼相機成像的針孔模型，選取切點、角點等非圓心點及其在像平面的對應(yīng)點，根據(jù)逆向投影的方法求解旋轉(zhuǎn)矩陣和位移列向量，得

4、到從世界坐標系到像素坐標系的變換矩陣，然后代入各圓心的世界坐標，求出其在像素坐標系中的坐標，并與利用交比不變性原理求得的數(shù)值比較，兩者基本吻合，從而能判斷出交比不變性原理求解圓心投影坐標的合理性與穩(wěn)定性。數(shù)據(jù)結(jié)果見下表。</p><p>　　問題四，在單相機的針孔模型基礎(chǔ)上，以世界坐標系為中介，得到了兩相機光心坐標系中的坐標變換關(guān)系，也就得到了標定兩部固定相機相對位置的方法。</p><p&g

5、t;　　最后，分析了模型優(yōu)缺點、給出模型推廣等。</p><p>　　關(guān)鍵詞：交比不變性，最小二乘法原理，針孔模型，系統(tǒng)標定，數(shù)碼相機定位</p><p><b>　　問題重述</b></p><p>　　數(shù)碼相機定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機定位是指用數(shù)碼相機攝制物體的相片確定物體表面某些特征點的位置。最常用的定

6、位方法是雙目定位，即用兩部相機來定位。對物體上一個特征點，用兩部固定于不同位置的相機攝得物體的像，分別獲得該點在兩部相機像平面上的坐標。只要知道兩部相機精確的相對位置，就可用幾何的方法得到該特征點在固定一部相機的坐標系中的坐標，即確定了特征點的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機的相對位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標定。</p><p>　　標定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個點， 同時用這兩部相機照相，分

7、別得到這些點在它們像平面上的像點，利用這兩組像點的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機的相對位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點”。實際的做法是在物平面上畫若干個圓（稱為靶標），它們的圓心就是幾何的點了。而它們的像一般會變形，如圖1所示，所以必須從靶標上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標定就可實現(xiàn)。 </p><p>　　有人設(shè)計靶標如下，取1個邊長為100m

8、m的正方形，分別以四個頂點（對應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓。如圖2所示。用一位置固定的數(shù)碼相機攝得其像，如圖3所示。</p><p>　　根據(jù)以上信息提出了以下問題：</p><p>　　建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標, 這里坐標系原點取在該相機的光學(xué)中心，平面平行于像平面；<

9、/p><p>　　對由圖2、圖3分別給出的靶標及其像，計算靶標上圓的圓心在像平面上的像坐標, 該相機的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個像素單位(1毫米約為3.78個像素單位)，相機分辨率為1024×768；</p><p>　　設(shè)計一種方法檢驗?zāi)銈兊哪Ｐ停Ψ椒ǖ木群头€(wěn)定性進行討論；</p><p>　　建立用此靶標給出兩部固定相機相對位置的數(shù)

10、學(xué)模型和方法。</p><p>　　[注] 關(guān)于最早公布的題中存在的個別錯誤之處地說明：按照題中所給圖像，同學(xué)應(yīng)該能夠判斷出相機分辨率是1024*768，而不是1024*786；如果同學(xué)按最早公布的題中所說的像距就是焦點（正確的說法應(yīng)該是光心）到像平面的距離建模和計算，可能會影響到數(shù)值結(jié)果，但這些問題本質(zhì)上對模型和算法及其檢驗、分析的影響不大</p><p><b>　　題背景及

11、概念說明</b></p><p><b>　　背景：</b></p><p>　　數(shù)碼相機定位是計算機視覺技術(shù)的一個簡單應(yīng)用。計算機視覺是利用照相機，攝像機，計算機等設(shè)備獲得物體的二維信息，再通過分析計算進行三維重建，從而實現(xiàn)對物體的三維理解。如果把三維客觀世界到二維投影圖像看成是一種正變換的話，則計算機視覺系統(tǒng)所要做的是從這種二維圖像到三維客觀世界的逆變

12、換，即根據(jù)二維投影圖像去重建三維客觀世界。這種技術(shù)在處理人們不易到達或難以準確觀察的領(lǐng)域，如立體孔徑的測量、機器人智能化、自主車導(dǎo)航、目標跟蹤等得到廣泛應(yīng)用。雙目立體視覺技術(shù)是計算機視覺技術(shù)的一種，包括圖像獲取、相機標定、立體匹配等過程。數(shù)碼相機定位就是簡單的雙目立體視覺技術(shù)。相機標定是實現(xiàn)雙目立體視覺技術(shù)中最基礎(chǔ)也是最重要的一步。如何確定物體的三維空間坐標和二維圖像坐標的對應(yīng)關(guān)系是相機標定所要解決的問題。而這個對應(yīng)關(guān)系是由相機參數(shù)決定

13、的，為了得到這些參數(shù)而進行的實驗與計算的過程稱為攝像機標定。標定參數(shù)的精度直接影響到最終的定量分析精度。本文研究的就是相機標定的問題。</p><p><b>　　概念說明：</b></p><p><b>　　相機的的內(nèi)參數(shù)：</b></p><p>　　相機成像的基本參數(shù)，如主點〔理論上是圖像幀存的中心點，但在實際上，

14、由于攝像機制作的原因，圖像實際中心與幀存中心并不重合)、實際焦距(與標稱焦距值有一定差距)、相鄰像素點距以及其它系統(tǒng)誤差參數(shù)。</p><p>　　相機的外參數(shù)：相機相對于外部世界坐標系的方位。</p><p>　　相機像平面：相機感光面所在的平面。</p><p>　　CCD:電荷耦合器件,是一種半導(dǎo)體裝置，能夠把光學(xué)影像轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號。CCD上植入的微小光敏物質(zhì)

15、稱作像素。一塊CCD上包含的像素數(shù)越多，其提供的畫面分辨率也就越高。</p><p>　　(5) 數(shù)碼相機的分辨率：感光設(shè)備(通常是CCD，電子耦合器件)有效的圖像獲取像素值。</p><p><b>　　基本假設(shè)</b></p><p>　　把數(shù)碼相機成像模型簡化為針孔模型，不考慮非線性因素和鏡頭畸變的影響。</p><p

16、><b>　　符號說明</b></p><p><b>　　模型建立及求解</b></p><p><b>　　問題一</b></p><p><b>　　問題分析</b></p><p>　　我們首先證明以下結(jié)論：靶標上的圓在像平面上的投影是橢圓，

17、但圓心的像一般不是橢圓的形心。</p><p><b>　?、俜柡蛨D形說明：</b></p><p>　　空間正圓的透視投影變換如圖4所示。其中是正圓所在的平面，是像平面，是光學(xué)中心，光心坐標系，是空間正圓坐標系，其坐標原點與重合，軸與平面垂直。分別為在坐標面上的正交投影。設(shè)在坐標系中的坐標為，矢量在坐標系中的方向角為。</p><p>　　

18、圖4：空間正圓透視投影變換</p><p>　?、诳臻g正圓在數(shù)碼相機像平面上投影橢圓的中心像坐標模型：</p><p>　　為了建模和仿真方便起見，且不失一般性，考慮空間正圓的如下位置關(guān)系情形：</p><p>　　空間正圓的某一軸與矢量正交，另一軸為，通過透視中心形成一個斜橢圓錐面，在坐標系下記為，在坐標系下記為。則的外形線,為一等腰三角形，設(shè)。又假設(shè)，當時，則令

19、；當時，;當時，則令。令矢量與軸正向沿逆時針方向的夾角為?？臻g正圓在像平面上的投影曲線的方程建立過程如下：</p><p>　　（1） 又 （2）</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　把式（2）和（3）代入（1），并用

20、代替，則得到在坐標系下的斜橢圓錐面的方程為</p><p><b>　　（4）</b></p><p>　　由圖4可見，坐標系與坐標系只存在旋轉(zhuǎn)關(guān)系，設(shè)由式（5）給出</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　令，利用式（5），則式（4）轉(zhuǎn)換為在坐標系下斜橢圓錐面的方程為<

21、;/p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　將像平面：代入式（6），并令</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　則得到在坐標系下，空間正圓在像平面上的透視投影曲線方程</p><p>　　為

22、 （8）</p><p>　　式（8）為二次曲線表達式，它可以表示橢圓、圓、雙曲線、拋物線或者直線。但在實際的攝像過程中，物體總是處于照相機的像平面的前方視場之內(nèi)，且一般不與照相機平面平行。因此，空間正圓在像平面上的投影曲線為一橢圓曲線。</p><p>　　空間正圓在像平面上的投影橢圓曲線的中心像坐標可由式（9）給出</p><p><b>

23、;　?。?）</b></p><p>　　③空間正圓中心的實際投影像點坐標模型：</p><p>　　空間正圓的中心在像平面上的投影像點的坐標可以利用直線與像平面的交點來求取。</p><p>　　結(jié)合式（9），由空間解析幾何的知識容易得到直線在坐標系下的方程為</p><p><b>　?。?0）</b>&

24、lt;/p><p>　　直線與像平面：的交點即為的實際像點。把代入式（10），得到點的投影像點的坐標的表達式為 </p><p><b>　?。?1）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　?。?2） </b></p><

25、;p>　　式（9）和式（11）在空間正圓 所在的平面與像平面平行時才相等，一般情況下，它們并不相等。</p><p>　　通過以上證明，我們得到以下結(jié)論：空間投影并不都是保形變換，當物面與像面之間有夾角時，正圓的投影一般是橢圓，變形程度取決于物面與像面間的平移和轉(zhuǎn)角；圓心在像平面上的投影一般不是橢圓的形心。</p><p><b>　　模型建立</b></

26、p><p>　　我們把數(shù)碼相機的攝像過程簡化為靶標通過射影變換成為其在數(shù)碼相機相平面上的像。射影幾何中存在不變量交比，射影變換中存在交比不變原理。交比定義及交比不變原理簡述如下：</p><p>　　圖5：共線四點的交比定義圖 </p><p>　　如上圖5所示，直線L上A、B、C、D四點按順序交比的定義為：</p><p>　　交比不變性是指：

27、在射影變換中，對于如圖5所示的直線AD和直線，總存在：</p><p>　　因此，如果我們能夠在靶標平面上找到一條包含圓心（設(shè)為B）的直線ABCD，其中可以根據(jù)靶標平面上已知參數(shù)確定，同時它在像面上對應(yīng)的直線中只有圓心在像平面上的投影的坐標未知，則我們可以根據(jù)交比不變性得到的坐標，過程如下：</p><p>　　令 ，即是方向的單位向量，由交比不變性，有：</p><p

28、><b>　?。?3）</b></p><p>　　即： </p><p>　　式中 （14）</p><p>　　假設(shè)的長度為m，則有：

29、 </p><p>　　綜合以上三式，則有： （15）</p><p>　　得到的顯式表達為： </p><p>　　則 （16）</p><p>　　式中的表達式如（14）所示</p>&l

30、t;p>　　在5.2節(jié)中，我們將找到滿足上述條件的直線ABCD，并用上面的公式計算出各圓心在像平面上投影的坐標。</p><p>　　若將坐標原點選在光學(xué)中心，平面平行于像平面，可以將像平面沿軸平移至題中所述光心坐標面，此時、坐標不變，坐標均為。</p><p><b>　　問題二</b></p><p>　　像平面上橢圓方程的擬合<

31、;/p><p>　　A. 像平面上橢圓邊界數(shù)據(jù)的提取</p><p>　　圖像上每個點都存在灰度，灰度值的取值規(guī)定為：0~黑色，255~白色，依據(jù)顏色深淺范圍為0~255.。一種常見的邊緣提取方法認為灰度發(fā)生突變的像素點構(gòu)成了邊界。我們將圖像上每一點的灰度值提供給Matlab中內(nèi)嵌Sobel算子的edge函數(shù)，得到了圖像的邊緣如圖7所示，并得到了邊緣點的像素坐標，根據(jù)像素單位和毫米的換算可以得

32、到邊緣點的圖像坐標。</p><p>　　B. 利用最小二乘法擬合橢圓方程</p><p>　　任意橢圓方程可表示為：</p><p>　　上式中有5個獨立的待定參數(shù)，設(shè)(i=1,2,…,N)為橢圓上的N個像素點，將上述像素點的坐標代入，得到方程個數(shù)遠大于未知量個數(shù)的方程組，利用最小二乘法求解得到每個橢圓的5個參數(shù)，以便降低由單個點的坐標誤差造成的影響。計算結(jié)果列成

33、下表，其標號順序由圓A開始，順時針增大。</p><p>　　表 1: 擬合橢圓方程參數(shù)表</p><p>　　根據(jù)擬合后的橢圓方程得到的曲線和提取的邊緣散點圖如下，可見擬合效果非常好。</p><p>　　圖8: 由散點擬合的橢圓方程圖</p><p>　　C. 利用交比不變性計算各圓心 </p><p>　　我們認

34、為靶標平面和相片的下列點具有確定的對應(yīng)關(guān)系：</p><p>　?、?靶標平面上圓周點的像落在相片的對應(yīng)橢圓上；</p><p>　　② 靶標平面上圓的公切線的像就是相片上對應(yīng)兩橢圓的公切線；</p><p>　?、?靶標平面上某圓與某一條公切線的切點的像就是相片上對應(yīng)橢圓與對應(yīng)公切線的切點；</p><p>　　④ 靶標平面上任意兩公切線的

35、交點就是相片上對應(yīng)兩公切線的交點。</p><p>　?、?靶標平面上某圓與某直線的交點的像就是相片上對應(yīng)橢圓與對應(yīng)直線的交點。</p><p>　　例如：圓A的邊界點與相片上橢圓A的邊界點對應(yīng)；</p><p>　　圓A、B、C的公切線PQ與相片上橢圓A’、B’、C’的公切線P’Q’對應(yīng)；</p><p>　　圓A與公切線PQ的切點H與相片

36、上橢圓A’與公切線P’Q’的切點H’對應(yīng)；</p><p>　　圓A、B、C的公切線和圓A、E的公切線的交點P與相片橢圓A’、B’、C’的公切線和橢圓A’、E’的交點P’對應(yīng)；</p><p>　　直線PN與圓D的交點M與相片上直線P’N’與圓D’的交點M’對應(yīng)。</p><p>　　利用交比不變性求靶標圓心像坐標的過程相同，不失一般性，這里只列出求解圓A圓心像坐標

37、的過程。</p><p>　　如圖9所示，直線PAMN、FAKL、</p><p>　　HAJI等都是滿足5.1.2節(jié)模型建立中要</p><p>　　求的直線。這里我們只取直線PAMN</p><p>　　詳述，靶標在相平面上的投影兩兩之間</p><p>　　仍具有公切線，易知PN在像平面上的</p>

38、<p>　　投影仍為一條直線，記為P’N’，由交</p><p>　　比射影不變性定理可得： </p><p>　　圖10: 基線在像平面上投影的確定</p><p>　　我們已經(jīng)擬合出五個橢圓的方程，由幾何知識可以求出像平面上四條切線的方程，進而可以求出切線的交點P’、N’的像坐標，得到直線P’N’的方程后，又可以求出該直線與橢圓D’的一個交點M’的像

39、坐標,它們分別是靶標平面上點P、N、M的投影，如上圖10所示。</p><p>　　至此，基線PAMN和它在像平面中的投影直線中只有點A’的坐標未知，利用5.1中得到的公式，我們可以計算出圓A圓心在像平面的投影A’的像坐標。用類似的方法可以得到其余四圓在該相機像平面的像坐標。</p><p>　　我們求得五個圓心在像平面上投影在像素坐標系（坐標原點在CCD圖像的左上角，u軸、v軸分別平行于

40、圖像坐標系的X軸和Y軸，單位是像素）、圖像坐標系（坐標原點在CCD圖像平面的中點，Ｘ軸、Y軸分別為平行于圖像的兩條垂直邊，單位是毫米）中的坐標分別為：</p><p>　　表2: 圓心在像平面中的坐標</p><p><b>　　問題三</b></p><p><b>　　問題分析</b></p><p

41、>　　計算機視覺研究中，三維空間中的物體到像平面的投影關(guān)系即為成像模型，理想的投影成像模型是光學(xué)中的中心投影，也稱為針孔模型。針孔模型假設(shè)物體表面的反射光都經(jīng)過一個針孔而投影到像平面上，即滿足光的直線傳播條件。實際攝像系統(tǒng)通常都由透鏡或者透鏡組組成。兩種模型具有相同的成像關(guān)系，即像點是物點和光心的連線與圖像平面的交點。因此，可以用針孔模型作為攝像機成像模型。 </p><p>　　這里，我們首先利用靶標平面

42、上的6個非圓心點及其在像素平面上的投影確定了數(shù)碼相機的外參數(shù)矩陣，然后利用坐標變換，求出5個圓心點在像素平面上的投影坐標，并與利用交比不變性求出的像素坐標作比較，發(fā)現(xiàn)兩者之間最多差1.5個像素單位，這就可以驗證我們利用交比不變性確定圓心在像平面像坐標方法的精度。</p><p><b>　　模型建立</b></p><p>　　A. 相機成像的幾何模型</p&

43、gt;<p>　　針孔模型的建立包括4個坐標系的轉(zhuǎn)換，共3個步驟。</p><p>　　相機成像過程中涉及到的4個坐標系：</p><p>　?、?世界坐標系——根據(jù)自然環(huán)境所選定的坐標系，坐標值用（）表示。</p><p>　?、?圖像坐標系——坐標原點在CCD圖像平面的中心，X軸、Y軸分別平行于圖像的兩條垂直邊，坐標值用（x,y）表示。</p

44、><p>　?、?像素坐標系——即計算機圖像坐標系，坐標原點在CCD圖像的左上角，U軸、V軸分別平行于圖像坐標系的X軸和Y軸，坐標值用（u,v）表示。由于（u,v）以像素為單位，所以只取整數(shù)值。</p><p>　?、?光心坐標系——以相機的光心為坐標原點，X軸、Y軸分別平行于圖像坐標系的X軸和Y軸，相機的光軸為軸，坐標值用（）表示。</p><p>　　相機成像過程中

45、的3個步驟分別為：世界坐標系——光心坐標系、光心坐標系——圖像坐標系、圖像坐標系——像素坐標系。設(shè) P為空間中某一點，P在世界坐標系和光心坐標系中的坐標分別為和，在對應(yīng)圖像坐標系中像點的坐標為，在像素坐標系中的坐標為（u,v）。</p><p>　　圖11: 各坐標系的轉(zhuǎn)換圖</p><p>　　世界坐標系——光心坐標系：</p><p>　　由于世界坐標系

46、和光心坐標系之間只有旋轉(zhuǎn)和平移的關(guān)系，其轉(zhuǎn)換關(guān)系可以表示為：</p><p><b>　　（17）</b></p><p>　　其中為的正交單位旋轉(zhuǎn)矩陣，為三維平移矩陣，。</p><p>　　光心坐標系——圖像坐標系：</p><p>　　光學(xué)成像的理論模型是針孔模型，根據(jù)這個模型由光心坐標系向圖像坐標系的轉(zhuǎn)換過程符合

47、透視投影，即,,應(yīng)用齊次坐標表示為：</p><p><b>　?。?8）</b></p><p>　　圖像坐標系——像素坐標系</p><p>　　設(shè)為圖像坐標系的原點在像素坐標系中的坐標，即在像素坐標系中的坐標。dx、dy分別為像素坐標系在x方向和y方向相鄰像素間的距離，則圖像中任意一個像點在兩個坐標系下的坐標有如下關(guān)系：</p>

48、;<p><b>　?。?9）</b></p><p>　　用齊次坐標與矩陣形式表示為：</p><p><b>　?。?0）</b></p><p>　　將（17）和（18）式帶入（20）式，即得出了世界坐標為（）的P點在像素坐標系中的投影（u,v）為：</p><p><b&

49、gt;　?。?1）</b></p><p>　　此即為相機成像的幾何模型。</p><p>　　式（21）可以簡化為</p><p><b>　　(22)</b></p><p>　　其中為相機的內(nèi)部參數(shù)矩陣， 為相機的外部參數(shù)矩陣。</p><p>　　B.相機內(nèi)外參數(shù)求解模型<

50、;/p><p>　　本題中相機的內(nèi)參數(shù)均已給定，矩陣。</p><p>　　下面求解相機的外參數(shù)：</p><p>　　從上式可以看出內(nèi)參數(shù)為滿秩方陣，可逆。令，在式(22)兩邊同乘并整理得</p><p><b>　?。?3）</b></p><p>　　令 ,

51、 （24）</p><p>　　式（23）可以進一步改寫成：</p><p><b>　?。?5）</b></p><p>　　其中，是世界坐標系中第i點的坐標，是由對應(yīng)點的圖像像素坐標根據(jù)式（24）計算得到的值。將其展開得到三個方程</p><p><b>　?。?6）&l

52、t;/b></p><p>　　將式（26）中的第3式分別帶入前兩式消去可得到如下兩個方程</p><p><b>　?。?7）</b></p><p>　　若在世界坐標系中取n個點，將會產(chǎn)生2n個方程，用矩陣表示這些方程</p><p>　　（28）從式（28）可知，若已知世界坐標系中n個點的坐標，同時也知道各

53、對應(yīng)點在像素坐標系中的坐標，將式（28）兩邊同除以（），式（28）可以簡化為 </p><p><b>　?。?9）</b></p><p>　　其中，，分別為式（28）中等號左側(cè)向量和右側(cè)向量除以后的向量，當2n>11時，可用最小二乘法解上述線性方程，其解為</p><p><b>　　（30）</b></

54、p><p>　　則數(shù)碼相機的外部參數(shù)矩陣與其由如下關(guān)系</p><p><b>　?。?1）</b></p><p>　　因是單位正交矩陣，所以有</p><p><b>　?。?2）</b></p><p>　　至此，相機的外參數(shù)矩陣已經(jīng)可以解出，為了獲得外參數(shù)矩陣的顯式解，可

55、取多種旋轉(zhuǎn)矩陣中的一種，如取</p><p><b>　?。?3）</b></p><p><b>　　則有：。</b></p><p>　　可以分別求出光心坐標系相對于世界坐標系的轉(zhuǎn)角，并求出世界坐標系相對于光心坐標系的位移向量為</p><p>　　將5個圓心的世界坐標帶入式（22）便可得到它們

56、根據(jù)光學(xué)成像原理得到的圓心像坐標，與利用交比不變性得到的圓心像坐標做比較，如果兩者基本吻合，則說明5.1中建立的模型與方法是有效的。</p><p><b>　　模型求解</b></p><p>　　如圖12和圖13所示，我們?nèi)∠聢D所示的切點求解外參數(shù)矩陣，下圖同時示出了其世界坐標和像素坐標，我們將其代入方程(28)，得到：</p><p>　

57、　然后利用式（22）得到各靶標圓心在光心坐標系下的坐標，并與利用交比不變性得到的坐標做比較，列成下表。</p><p>　　表3：圓心投影坐標對比表</p><p>　　其中最大誤差是指u、v誤差的較大值，通過比較，我們可以看出，兩種方法求出的圓心投影坐標大致相同，說明我們建立的模型具有精確性和穩(wěn)定度。</p><p><b>　　問題四</b>

58、;</p><p><b>　　問題分析</b></p><p>　　對兩部相機各自取固定在其上的坐標系，決定它們相對位置可以轉(zhuǎn)化為確定這兩個坐標系之間的變換關(guān)系，可以歸結(jié)為求反映原點平移的三維平移向量T和表示繞原點旋轉(zhuǎn)的三維旋轉(zhuǎn)向量R。具體標定過程如圖14所示：</p><p>　　設(shè)空間一點Ｐ在世界坐標系中的坐標為，在相機１的光心坐標系中的

59、坐標為，在相機2的光心坐標系中的坐標為。則由上文推導(dǎo)出的世界坐標系與光心坐標系的轉(zhuǎn)換公式得：</p><p><b>　?。?4）</b></p><p><b>　?。?5）</b></p><p>　　其中，分別為相機１和相機2的外參數(shù)矩陣，可用5.3節(jié)中建立的模型可以分別求出、和、。由于和是單位正交矩陣，和都是可逆矩

60、陣。在（34）式和（35）式兩端左側(cè)分別乘以 和，得：</p><p><b>　?。?6）</b></p><p><b>　　（37）</b></p><p>　　若設(shè)，則可解得=,即，。的一種顯式表達可以為： = </p><p>　　其中、、是各坐標軸繞原點的轉(zhuǎn)角，可由各元素的數(shù)值解

61、得，=</p><p>　　表示坐標系原點在x，y，z各方向的平移，由這兩個坐標系之間的變換關(guān)系就可精確確定兩部相機的相對位置 。</p><p><b>　　優(yōu)缺點分析</b></p><p><b>　　優(yōu)點：</b></p><p>　　給出了圓投影是橢圓，但其圓心投影一般不是橢圓形心的嚴格證

62、明。</p><p>　　給出了計算靶標圓心在像平面上坐標的有效算法，并利用針孔模型對其有效性和穩(wěn)定性經(jīng)進行了驗證。</p><p><b>　　缺點：</b></p><p>　　由于加工、工藝、裝配等方面的誤差，相機的鏡頭是非理想的光學(xué)鏡頭，得到的圖像坐標會偏離理想坐標，在遠離圖像中心處畸變相對較大。主要的畸變類型有三種:徑向畸變、偏心畸變

63、和薄棱鏡畸變。由于鏡頭畸變等因素存在，三維空間點的圖像坐標往往不是理想小孔成像模型下的坐標，而是發(fā)生了偏移，由于時間原因，我們沒有進行非線性攝像機的標定，將來可考慮非線性和畸變對圓心投影的影響。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　J. Heikkilä and O. Silvén. A Four-step Camer

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