農(nóng)夫的選擇數(shù)學(xué)建模論文

1、<p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文主要對(duì)草場(chǎng)所能承受的羊群數(shù)量的問題提出規(guī)劃方案。分析題中所給數(shù)據(jù)可知，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。由于有限的草場(chǎng)資源限制能夠飼養(yǎng)的羊群數(shù)量的最大值，所以通過建立線性規(guī)劃模型，運(yùn)用LINGO軟件求得最優(yōu)解，即在草場(chǎng)達(dá)到最大利用率的情況下，找到草場(chǎng)的最大容納量。</p><p>　　模型一建立線性規(guī)劃模型，目標(biāo)

2、函數(shù)為這片草場(chǎng)能夠飼養(yǎng)的羊群數(shù)，約束條件為每個(gè)季節(jié)中羊的吃草量小于等于草的生長量。根據(jù)母羊在每個(gè)年齡段生產(chǎn)羊羔數(shù)，可知每頭母羊平均生產(chǎn)2頭羊羔，即。在草場(chǎng)面積為1000平方米時(shí)，利用LINGO軟件求得最優(yōu)解，得到母羊和羊羔的數(shù)量分別約為，，即得到草場(chǎng)所能承受的最大羊群數(shù)量為204頭，夏季應(yīng)儲(chǔ)存的干苜蓿草量即為母羊冬天的需草量。春季草的生長率最低，而羊群食草量量大，羊的最大飼養(yǎng)量受春季影響最大，造成夏、秋兩季有草剩余，剩余的草為50724

3、，可以用來圈養(yǎng)公羊51頭。</p><p>　　由于母羊在每個(gè)年齡段生產(chǎn)得羊羔數(shù)不同，所以模型二將模型一中求得的草場(chǎng)所能承受的母羊數(shù)按比例劃分。當(dāng)時(shí)，才能滿足每年各年齡段羊群更替數(shù)量比例保持不變。根據(jù)模型一得知且，可找到，，，的大致取值范圍。再次利用LINGO軟件求得最優(yōu)解，得到各年齡段的母羊的數(shù)量分別為，，，。當(dāng)草場(chǎng)面積發(fā)生變化時(shí)，每年應(yīng)飼養(yǎng)的母羊數(shù)量會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，而各年齡段的母羊數(shù)量比保持不變，為23：2

4、3：17：4 。</p><p><b>　　問題重述</b></p><p>　　農(nóng)夫有x平方米的草場(chǎng)，草場(chǎng)中長著多年生苜蓿草。他希望今后幾年通過養(yǎng)山羊獲得不錯(cuò)的效益。已知苜蓿草的平均生長率（表一）和一只母山羊在每個(gè)年齡段生產(chǎn)的平均羊羔數(shù)（表二）及每頭羊日平均所需飼料（表三）。要求通過數(shù)學(xué)模型解決如問題：1、他應(yīng)該飼養(yǎng)多少只山羊？2、夏季應(yīng)儲(chǔ)存多少干苜蓿草用作冬季飼

5、料？3、為了繁殖，每年保留多大比例的母山羊？</p><p>　　表一 苜蓿草的平均生長率</p><p>　　母山羊的生育期是5至8年，每年產(chǎn)一頭、兩頭或三頭。假定每只母羊僅喂養(yǎng)5年就出售。</p><p>　　表二 一只母山羊在每個(gè)年齡段生產(chǎn)的平均羊羔數(shù)</p><p>　　表三 每頭羊日平均所需飼料</p>

6、<p><b>　　二、問題分析</b></p><p>　　在草原上牧民的主要經(jīng)濟(jì)來源是畜牧，然而隨著人口的增加和資源的緊缺牧民養(yǎng)羊受著各種因素的制約，如何在各種制約的條件下，利用現(xiàn)有的資源使得牧民的效益最大，科學(xué)放牧，實(shí)現(xiàn)羊群的可持續(xù)發(fā)展是一個(gè)很現(xiàn)實(shí)的問題。建立模型的目的是使牧民的經(jīng)濟(jì)效益最大，即能夠給牧民提供最優(yōu)的決策，這就相當(dāng)于使得草場(chǎng)的容量達(dá)到最大，并且不破壞生態(tài)的平衡,

7、在保持羊群數(shù)量不變的情況下最大程度的利用現(xiàn)有草場(chǎng)面積所能提供的草料，實(shí)現(xiàn)資源的最大利用率。建立線性規(guī)劃模型，目標(biāo)函數(shù)為草場(chǎng)所能承受的羊數(shù)量的最大值，約束條件為四個(gè)季節(jié)的羊的吃草量小于等于草的生長量。利用Lingo軟件求得最優(yōu)解，得到母羊和羊羔的大致數(shù)量，即得到草場(chǎng)所能承受的羊數(shù)量。計(jì)算出冬季的羊的吃草量即為夏季應(yīng)儲(chǔ)存的苜蓿草數(shù)量。根據(jù)母羊在每個(gè)年齡段生產(chǎn)羊羔數(shù)不同，將草場(chǎng)所能承受的母羊數(shù)細(xì)致劃分，得到各年齡段之間的數(shù)量比例。</p

8、><p><b>　　問題假設(shè)</b></p><p>　　1、飼養(yǎng)過程中沒有羊的意外死亡。</p><p>　　2、母羊產(chǎn)小公羊和小母羊的比例是1：1。</p><p>　　3、只考慮羊的數(shù)量，而不管他們的重量。</p><p>　　4、母羊都在春季產(chǎn)小羊。</p><p>

9、　　5、春季的時(shí)候賣掉一部分羊，保持羊群數(shù)量不變。6、草場(chǎng)的草的長勢(shì)都一樣，無差別，且每天長出來的嫩草羊都能吃，不影響草的增長率。</p><p>　　7、假設(shè)每一個(gè)季節(jié)都為90天。</p><p>　　8、羊羔至少飼養(yǎng)一年再出售。</p><p>　　9、能生育的母羊在交配季節(jié)一律引進(jìn)公羊進(jìn)行交配，且交配之后送走公羊且公羊吃的草忽略不計(jì)。</p>

10、<p><b>　　符號(hào)說明</b></p><p><b>　　模型的建立與求解</b></p><p><b>　　5．1 模型一：</b></p><p>　　因?yàn)椴輬?chǎng)面積是定值平方米，要求應(yīng)飼養(yǎng)多少羊，即在當(dāng)前資源下可供養(yǎng)的羊數(shù)，因此考慮在保持羊群數(shù)量不變的情況下最大程度的利用現(xiàn)有草

11、場(chǎng)面積所能提供的草料，實(shí)現(xiàn)資源的最大利用率，建立了線性規(guī)劃的模型使得草料的利用率達(dá)到最大，目標(biāo)函數(shù)為在草場(chǎng)面積一定的條件下，草場(chǎng)所能容納的最多羊數(shù)，最后運(yùn)用Lingo編程求解。假設(shè)每年賣出的羊包括小羊和成年羊數(shù)目的最多，效益越好。</p><p>　　5.11 目標(biāo)函數(shù)的確立：</p><p>　　資源量已經(jīng)確定，所以在該資源條件下求羊的最大頭數(shù)，即是目標(biāo)函數(shù)。只考慮母羊數(shù)量和母羊每年所產(chǎn)

12、羊羔數(shù)量：</p><p>　　目標(biāo)函數(shù)為： (1.1)</p><p>　　5.12 約束條件的確定：</p><p><b>　　根據(jù)模型假設(shè)得出：</b></p><p>　　若第年春天的母羊數(shù)為；</p>

13、<p>　　這一年所產(chǎn)的羊羔數(shù)目為：；</p><p>　　平方米的草地上，苜蓿草的生長率單位為，換算成，即得：</p><p>　　苜蓿草的春季、夏季、秋季、冬季的日生長量分別為：0.3、0.7、0.4、0；</p><p>　　根據(jù)羊春夏秋冬的日需草量不同，要保證草的生長量要滿足要求，因此有：</p><p>　　春季羊食草

14、量與草生長量關(guān)系： (1.2) </p><p>　　秋天羊食草量與草生長量關(guān)系： （1.3）</p><p>　　因?yàn)橄募具€要為冬季儲(chǔ)備草，所以夏季日生草量要分成兩部分，一部分為羊夏季食用，一部分為羊冬季食用，所以夏季和冬季羊日食草量與夏季草的日生長量的關(guān)系為：</p&

15、gt;<p><b>　　（1.4） </b></p><p>　　根據(jù)表二，一頭母羊在每個(gè)年齡段生產(chǎn)的平均羊羔數(shù)，若不考慮母羊年齡可以得出一頭母羊每年所產(chǎn)羊羔平均數(shù)為 則每年羊羔數(shù)</p><p><b>　?。?.5）</b></p><p>　　由此建立了線性規(guī)劃模型：</p><p

16、><b>　　目標(biāo)函數(shù)為：</b></p><p>　　約束條件：羊食草量草生長量</p><p><b>　　（1.6） </b></p><p>　　由于草場(chǎng)面積未定，所以假設(shè)有草場(chǎng)1000平方米，即將（1.6）時(shí)中的換成1000，于是用軟件編輯（程序見附錄一）求出在草場(chǎng)面積為1000平方米時(shí)應(yīng)飼養(yǎng)的母羊數(shù)和可能

17、產(chǎn)的羊羔數(shù)：</p><p>　　當(dāng)草場(chǎng)面積是1000平方米時(shí)，每年春季要保留的母羊數(shù)應(yīng)為68頭，這些母羊生產(chǎn)的羊羔數(shù)約為136頭（因?yàn)槭且M(jìn)外來公羊交配，所以可以大體控制羊羔出生量），夏季應(yīng)儲(chǔ)存的干苜蓿草量為：。</p><p>　　此時(shí)，我們可以反過來計(jì)算羊的食草量，以驗(yàn)證上述模型結(jié)論的合理性。這塊牧場(chǎng)一年</p><p>　　年之內(nèi)可以生長的草的重量為：。&l

18、t;/p><p>　　而羊群每季食草量如下：</p><p><b>　　總計(jì)：</b></p><p><b>　　剩余的食草量為：</b></p><p>　　從題中給出的數(shù)據(jù)我們知道，春季草的生長率是最低的，但食草量卻是最高的，羊的最大飼養(yǎng)量受春季的影響最大，而夏季和秋季的草生長率相對(duì)較高，羊的食

19、草量也不大，因此造成了草的剩余，為了最大程度的利用資源，提高經(jīng)濟(jì)效益，我們把剩下的草用來圈養(yǎng)公羊，設(shè)公羊每天的吃草量比母羊多一千克,則可圈養(yǎng)公羊數(shù)：</p><p>　　50724/（3.1+3.4+2.15+2.35）/90=51.2364，取整數(shù)51只。</p><p><b>　　5．2 模型二：</b></p><p>　　因?yàn)檠蛉簳?huì)出

20、現(xiàn)更替現(xiàn)象，所以考慮在保證每年母羊飼養(yǎng)數(shù)量不變的情況下，保證各年齡段的母羊數(shù)量不變，即每年都將母羊以及長成成羊的羊羔賣掉一部分以保證各年齡段母羊保持均衡。</p><p>　　在模型一的基礎(chǔ)上建立模型二：</p><p>　　各年齡段的母羊數(shù)分別為：（1-2年）、（2-3年）、（3-4年）、（4-5年）</p><p>　　每年母羊生產(chǎn)的羊羔數(shù)為：</p>

21、;<p>　　5.21 目標(biāo)函數(shù)仍然為羊群的數(shù)量：</p><p>　　5.22 約束條件的確立：</p><p>　　羊食草量與草的生長量依然是約束條件，即</p><p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　羊存在更替現(xiàn)象，即羊羔長一年后成為1-2年齡的成羊，原來1-2年齡的成長為2-3

22、年齡的成羊，2-3年齡的成長為3-4年齡的成羊，3-4年齡的成長為4-5年齡的成羊，4-5年齡的羊要賣出。為了滿足每年各年齡段的母羊數(shù)量不變，因此必須有否則不能確保每年各年齡段母羊數(shù)量保持一致。根據(jù)模型一1000平方米的草場(chǎng)可以最多養(yǎng)約68頭母羊，136頭羊羔，由此條件知：</p><p><b>　　(2.2)</b></p><p><b>　?、?lt

23、;/b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　?、?#215;1.8－②得:</b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　　將③式代入①式得：</b></p><p>

24、;<b>　?、?lt;/b></p><p>　　由③式得： (2.3)</p><p><b>　　(2.4)</b></p><p>　　根據(jù)的取值范圍及與的關(guān)系可以確定

25、 (2.5)</p><p>　　還要考慮產(chǎn)出的母羊羔數(shù)能在一年后補(bǔ)足原來1-2年的母羊數(shù)，母羊和公羊出生的機(jī)率是1：1所以有</p><p><b>　　(2.6)</b></p><p>　　由此建立了線性規(guī)劃模型：</p><p><b>　　目標(biāo)函數(shù)：</b></p><

26、p><b>　　約束條件：</b></p><p><b>　?。?.7）</b></p><p>　　于是用軟件編輯（程序見附錄二）求得在1000平方米草場(chǎng)每年春天應(yīng)保留的1-2年的母羊數(shù)為23頭，2-3年的母羊數(shù)為23頭，3-4年的母羊數(shù)為17頭，4-5年的母羊數(shù)為4頭，飼養(yǎng)的羊羔數(shù)約138頭。</p><p>

27、　　模型一和模型二都是在草場(chǎng)面積為1000平方米的情況下計(jì)算的，當(dāng)草場(chǎng)面積變?yōu)?000平方米時(shí)，每年應(yīng)飼養(yǎng)的母羊頭數(shù)為136頭（求解見附錄三），各年齡段母羊的數(shù)量比例仍為23:23:17:4（求解見附錄四）。由此，當(dāng)草場(chǎng)面積發(fā)生變化時(shí)，每年應(yīng)飼養(yǎng)的母羊頭數(shù)會(huì)發(fā)生變化，而各年齡段母羊的數(shù)量比例不會(huì)發(fā)生變化。</p><p><b>　　六、模型分析</b></p><p&g

28、t;　　模型一容易理解，而且計(jì)算方法簡(jiǎn)單明了。通過搜集資料，以及用得出的羊的只數(shù)反過來計(jì)算食草量來檢驗(yàn)結(jié)論正確與否可知， 1000平方米能飼養(yǎng)的羊的最大數(shù)量符合實(shí)際，且也能夠維持這種生態(tài)的平衡，保持這種最佳的循環(huán)狀態(tài)，為牧民的決策提供了較好的參考依據(jù)。這個(gè)模型使得羊的數(shù)量達(dá)到最大的同時(shí)，也考慮了生態(tài)是否平衡的狀況。模型的創(chuàng)新之處在于，在得到結(jié)論以后，反過來帶入原來的式子以檢驗(yàn)結(jié)論的合理性，而且還把夏、秋季節(jié)所剩余草用來圈養(yǎng)公羊，最大程度

29、的利用了草的剩余量，提高了經(jīng)濟(jì)效益。該模型亦有不足之處，即只得出了每年春季要保留的母羊總數(shù)，而不知道其年齡比例。模型二對(duì)該問題進(jìn)行了討論，根據(jù)實(shí)際情況，找出各個(gè)年齡段的母羊之間的關(guān)系，利用Lingo軟件求解，得出各個(gè)年齡段的母羊數(shù)，即求出了母山羊的年齡比例。該模型計(jì)算量少,容易理解。</p><p><b>　　七、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 胡運(yùn)

30、權(quán)著，《運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用》 ，第五版，高等教育出版社</p><p>　　[2] 謝金星、薛毅著，《優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件》，清華大學(xué)出版社</p><p><b>　　八、附錄</b></p><p><b>　　8．1 附錄一：</b></p><p><b>　　程序：

31、</b></p><p><b>　　max=n+y;</b></p><p>　　3.25*n+1.65*y<=700;</p><p>　　2.4*n+y<=300;</p><p>　　1.35*n<400;</p><p><b>　　y=2*n;&

32、lt;/b></p><p><b>　　n>0;</b></p><p><b>　　y>0;</b></p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果：</b></p><p>　　Global optimal solution found.</p>

33、<p>　　Objective value: 68.18182</p><p>　　Total solver iterations: 0</p><p>　　Variable Value Reduced Cost</p>

34、<p>　　N 68.18182 0.000000</p><p>　　Y 136.3636 0.000000</p><p>　　Row Slack or Surplus Dual Price</p><p>　　1 68.18182

35、 1.000000</p><p>　　2 253.4091 0.000000</p><p>　　3 0.000000 0.2272727</p><p>　　4 307.9545 0.000000</p><p>　　5

36、 0.000000 -0.2272727</p><p>　　6 68.18182 0.000000</p><p>　　7 136.3636 0.000000</p><p><b>　　8．2 附錄二：</b></p><p&g

37、t;<b>　　程序：</b></p><p>　　max=n1+n2+n3+n4+(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4);</p><p>　　3.25*(n1+n2+n3+n4)+1.65*(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4)<=700;</p><p>　　2.4*(n1+n2+n3+n4)+1.8

38、*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4<=300;</p><p>　　1.35*(n1+n2+n3+n4)<=400;</p><p>　　(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4)*0.5-n1>0;</p><p><b>　　n2>=17;</b></p><p><

39、;b>　　n2<23;</b></p><p><b>　　n1>n2;</b></p><p><b>　　n3<17;</b></p><p><b>　　n4<n3;</b></p><p><b>　　n4<17

40、;</b></p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果：</b></p><p>　　Global optimal solution found.</p><p>　　Objective value: 205.7333</p><p>　　Total sol

41、ver iterations: 3</p><p>　　Variable Value Reduced Cost</p><p>　　N1 23.00000 0.000000</p><p>　　N2 23.00000

42、 0.000000</p><p>　　N3 17.00000 0.000000</p><p>　　N4 4.333333 0.000000</p><p>　　Row Slack or Surplus Dual Price</p><p>　

43、　1 205.7333 1.000000</p><p>　　2 252.8067 0.000000</p><p>　　3 0.000000 0.6666667</p><p>　　4 309.1000 0.000000&l

44、t;/p><p>　　5 46.20000 0.000000</p><p>　　6 6.000000 0.000000</p><p>　　7 0.000000 0.2000000</p><p>　　8 0.000000

45、 0.000000</p><p>　　9 0.000000 0.6666667E-01</p><p>　　10 12.66667 0.000000</p><p>　　11 12.66667 0.000000</p><

46、p><b>　　8．3 附錄三：</b></p><p><b>　　程序：</b></p><p><b>　　max=n+y;</b></p><p>　　3.25*n+1.65*y<=1400;</p><p>　　2.4*n+y<=600;</p

47、><p>　　1.35*n<800;</p><p><b>　　y=2*n;</b></p><p><b>　　n>0;</b></p><p><b>　　y>0;</b></p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果：</

48、b></p><p>　　Global optimal solution found.</p><p>　　Objective value: 409.0909</p><p>　　Total solver iterations: 0</p&g

49、t;<p>　　Variable Value Reduced Cost</p><p>　　N 136.3636 0.000000</p><p>　　Y 272.7273 0.000000</p><p>　　Row Slack or Su

50、rplus Dual Price</p><p>　　1 409.0909 1.000000</p><p>　　2 506.8182 0.000000</p><p>　　3 0.000000 0.6818182</p><p&g

51、t;　　4 615.9091 0.000000</p><p>　　5 0.000000 0.3181818</p><p>　　6 136.3636 0.000000</p><p>　　7 272.7273 0.00000

52、0</p><p><b>　　8．4 附錄四：</b></p><p><b>　　程序：</b></p><p>　　max=n1+n2+n3+n4+(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4);</p><p>　　3.25*(n1+n2+n3+n4)+1.65*(1.8*n1+2.

53、4*n2+2*n3+1.8*n4)<=1400;</p><p>　　2.4*(n1+n2+n3+n4)+1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4<=600;</p><p>　　1.35*(n1+n2+n3+n4)<=800;</p><p>　　(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4)*0.5-n1>0;</

54、p><p><b>　　n2>=34;</b></p><p><b>　　n2<46;</b></p><p><b>　　n1>n2;</b></p><p><b>　　n3<34;</b></p><p>

55、;<b>　　n4<n3;</b></p><p><b>　　n4<34;</b></p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果：</b></p><p>　　Global optimal solution found.</p><p>　　Objective value

56、: 411.4667</p><p>　　Total solver iterations: 3</p><p>　　Variable Value Reduced Cost</p><p>　　N1 46.0

57、0000 0.000000</p><p>　　N2 46.00000 0.000000</p><p>　　N3 34.00000 0.000000</p><p>　　N4 8.666667 0.000000</p>&

58、lt;p>　　Row Slack or Surplus Dual Price</p><p>　　1 411.4667 1.000000</p><p>　　2 505.6133 0.000000</p><p>　　3 0.000000

59、0.6666667</p><p>　　4 618.2000 0.000000</p><p>　　5 92.40000 0.000000</p><p>　　6 12.00000 0.000000</p><p>　　7

60、 0.000000 0.2000000</p><p>　　8 0.000000 0.000000</p><p>　　9 0.000000 0.6666667E-01</p><p>　　10 25.33333 0.000000</p