excel回歸分析結果的詳細闡釋

1、<p>　　Excel?回歸分析結?果的詳細闡?釋</p><p>　　利用Exc?el的數(shù)據(jù)?分析進行回?歸，可以得到一?系列的統(tǒng)計?參量。下面以連續(xù)?10年積雪?深度和灌溉?面積序列（圖1）為例給予詳?細的說明。</p><p>　　圖1 連續(xù)10年?的最大積雪?深度與灌溉?面積（1971－1980）</p><p>　　回歸結果摘?要（Summa?r

2、y Outpu?t）如下（圖2）：</p><p>　　圖2 利用數(shù)據(jù)分?析工具得到?的回歸結果?</p><p>　　第一部分：回歸統(tǒng)計表?</p><p>　　這一部分給?出了相關系?數(shù)、測定系數(shù)、校正測定系?數(shù)、標準誤差和?樣本數(shù)目如?下（表1）：</p><p><b>　　表1 回歸統(tǒng)計表?</b></p

3、><p><b>　　逐行說明如?下：</b></p><p>　　Multi?ple對應?的數(shù)據(jù)是相?關系數(shù)(corre?latio?n coeff?icien?t)，即R=0.98941?6。</p><p>　　R Squar?e對應的數(shù)?值為測定系?數(shù)(deter?minat?ion coeff?icien?t)，或稱擬合優(yōu)?度(goodn

4、?ess of fit)，它是相關系?數(shù)的平方，即有R2=0.98941?62=0.97894?4。</p><p>　　Adjus?ted對應?的是校正測?定系數(shù)(adjus?ted deter?minat?ion coeff?icien?t)，計算公式為?</p><p>　　式中n為樣?本數(shù)，m為變量數(shù)?，R2為測定?系數(shù)。對于本例，n=10，m=1，R2=0.97894?4，代入上

5、式得?</p><p>　　標準誤差（stand?ard error?）對應的即所?謂標準誤差?，計算公式為?</p><p>　　這里SSe?為剩余平方?和，可以從下面?的方差分析?表中讀出，即有SSe?=16.10676?，代入上式可?得</p><p>　　最后一行的?觀測值對應?的是樣本數(shù)?目，即有n=10。</p><p>　　第二

6、部分，方差分析表?</p><p>　　方差分析部?分包括自由?度、誤差平方和?、均方差、F值、P值等（表2）。</p><p>　　表2 方差分析表?（ANOVA?）</p><p>　　逐列、分行說明如?下：</p><p>　　第一列df?對應的是自?由度（degre?e of freed?om），第一行是回?歸自由度d?fr，等于變量

7、數(shù)?目，即dfr=m；第二行為殘?差自由度d?fe，等于樣本數(shù)?目減去變量?數(shù)目再減1?，即有dfe?=n-m-1；第三行為總?自由度df?t，等于樣本數(shù)?目減1，即有dft?=n-1。對于本例，m=1，n=10，因此，dfr=1，dfe=n-m-1=8，dft=n-1=9。</p><p>　　第二列SS?對應的是誤?差平方和，或稱變差。第一行為回?歸平方和或?稱回歸變差?SSr，即有</p>&

8、lt;p>　　它表征的是?因變量的預?測值對其平?均值的總偏?差。</p><p>　　第二行為剩?余平方和（也稱殘差平?方和）或稱剩余變?差SSe，即有</p><p>　　它表征的是?因變量對其?預測值的總?偏差，這個數(shù)值越?大，意味著擬合?的效果越差?。上述的y的?標準誤差即?由SSe給?出。</p><p>　　第三行為總?平方和或稱?總變差SS?t，

9、即有</p><p>　　它表示的是?因變量對其?平均值的總?偏差。容易驗證7?48.8542+16.10676?=764.961，即有</p><p>　　而測定系數(shù)?就是回歸平?方和在總平?方和中所占?的比重，即有</p><p>　　顯然這個數(shù)?值越大，擬合的效果?也就越好。</p><p>　　第四列MS?對應的是均?方差，它是誤差平

10、?方和除以相?應的自由度?得到的商。第一行為回?歸均方差M?Sr，即有</p><p>　　第二行為剩?余均方差M?Se，即有</p><p>　　顯然這個數(shù)?值越小，擬合的效果?也就越好。</p><p>　　第四列對應?的是F值，用于線性關?系的判定。對于一元線?性回歸，F(xiàn)值的計算?公式為</p><p>　　式中R2=0.97894?4

11、，dfe=10-1-1=8，因此</p><p>　　第五列Si?gnifi?cance? F對應的是?在顯著性水?平下的Fα?臨界值，其實等于P?值，即棄真概率?。所謂“棄真概率”即模型為假?的概率，顯然1-P便是模型?為真的概率??？梢?，P值越小越?好。對于本例，P=0.00000?00542?<0.0001，故置信度達?到99.99%以上。</p><p>　　第三部分，回歸參

12、數(shù)表?</p><p>　　回歸參數(shù)表?包括回歸模?型的截距、斜率及其有?關的檢驗參?數(shù)（表3）。</p><p><b>　　表3 回歸參數(shù)表?</b></p><p>　　第一列Co?effic?ients?對應的模型?的回歸系數(shù)?，包括截距a?=2.35643?7929和?斜率b=1.81292?1065，由此可以建?立回歸模型?<

13、/p><p><b>　　或</b></p><p>　　第二列為回?歸系數(shù)的標?準誤差（用或表示），誤差值越小?，表明參數(shù)的?精確度越高?。這個參數(shù)較?少使用，只是在一些?特別的場合?出現(xiàn)。例如L. Bengu?igui等?人在Whe?n and where? is a city fract?al?一文中將斜?率對應的標?準誤差值作?為分形演化?的標準，建議采用0?.0

14、4作為分?維判定的統(tǒng)?計指標（參見EPB?2000）。</p><p>　　不常使用標?準誤差的原?因在于：其統(tǒng)計信息?已經包含在?后述的t檢?驗中。</p><p>　　第三列t Stat對?應的是統(tǒng)計?量t值，用于對模型?參數(shù)的檢驗?，需要查表才?能決定。t值是回歸?系數(shù)與其標?準誤差的比?值，即有</p><p><b>　　，</b>&

15、lt;/p><p>　　根據(jù)表3中?的數(shù)據(jù)容易?算出：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　對于一元線?性回歸，t值可用相?關系數(shù)或測?定系數(shù)計算?，公式如下</p><p>　　將R=0.98941?6、n=10、m=1代入上式?得到</p><p>　　對于一元線?性回歸，

16、F值與t值?都與相關系?數(shù)R等價，因此，相關系數(shù)檢?驗就已包含?了這部分信?息。但是，對于多元線?性回歸，t檢驗就不?可缺省了。</p><p>　　第四列P value?對應的是參?數(shù)的P值（雙側）。當P<0.05時，可以認為模?型在α=0.05的水平?上顯著，或者置信度?達到95%；當P<0.01時，可以認為模?型在α=0.01的水平?上顯著，或者置信度?達到99%；當P<0.001時，可以

17、認為模?型在α=0.001的水?平上顯著，或者置信度?達到99.9%。對于本例，P=0.00000?00542?<0.0001，故可認為在?α=0.0001的?水平上顯著?，或者置信度?達到99.99%。P值檢驗與?t值檢驗是?等價的，但P值不用?查表，顯然要方便?得多。</p><p>　　最后幾列給?出的回歸系?數(shù)以95%為置信區(qū)間?的上限和下?限?？梢钥闯?，在α=0.05的顯著?水平上，截距的變化?上

18、限和下限?為-1.85865?和6.57153?，即有</p><p>　　斜率的變化?極限則為1?.59615?和2.02969?，即有</p><p>　　第四部分，殘差輸出結?果</p><p>　　這一部分為?選擇輸出內?容，如果在“回歸”分析選項框?中沒有選中?有關內容，則輸出結果?不會給出這?部分結果。</p><p>　　殘差輸

19、出中?包括觀測值?序號（第一列，用i表示），因變量的預?測值（第二列，用表示），殘差（resid?uals，第三列，用ei表示?）以及標準殘?差（表4）。</p><p>　　表4 殘差輸出結?果</p><p>　　預測值是用?回歸模型</p><p>　　計算的結果?，式中xi即?原始數(shù)據(jù)的?中的自變量?。從圖1可見?，x1=15.2，代入上式，得</p&

20、gt;<p><b>　　其余依此類?推。</b></p><p>　　殘差ei的?計算公式為?</p><p>　　從圖1可見?，y1=28.6，代入上式，得到</p><p><b>　　其余依此類?推。</b></p><p>　　標準殘差即?殘差的數(shù)據(jù)?標準化結果?，借助均值命

21、?令aver?age和標?準差命令s?tdev容?易驗證，殘差的算術?平均值為0?，標準差為1?.33777?4。利用求平均?值命令st?andar?dize(殘差的單元?格范圍，均值，標準差)立即算出表?4中的結果?。當然，也可以利用?數(shù)據(jù)標準化?公式</p><p>　　逐一計算。將殘差平方?再求和，便得到殘差?平方和即剩?余平方和，即有</p><p>　　利用Exc?el的求平?方

22、和命令s?umsq容?易驗證上述?結果。</p><p>　　以最大積雪?深度xi為?自變量，以殘差ei?為因變量，作散點圖，可得殘差圖?（圖3）。殘差點列的?分布越是沒?有趨勢（沒有規(guī)則，即越是隨機?），回歸的結果?就越是可靠?。</p><p>　　用最大積雪?深度xi為?自變量，用灌溉面積?yi及其預?測值為因變?量，作散點圖，可得線性擬?合圖（圖4）。</p><

23、;p><b>　　圖3 殘差圖</b></p><p><b>　　圖4 線性擬合圖?</b></p><p>　　第五部分，概率輸出結?果</p><p>　　在選項輸出?中，還有一個概?率輸出（Proba?bilit?y Outpu?t）表（表5）。第一列是按?等差數(shù)列設?計的百分比?排位，第二列則是?原始數(shù)據(jù)因

24、?變量的自下?而上排序（即從小到大?）——選中圖1中?的第三列（C列）數(shù)據(jù)，用鼠標點擊?自下而上排?序按鈕，立即得到表?5中的第二?列數(shù)值。當然，也可以沿著?主菜單的“數(shù)據(jù)(D)→排序(S)”路徑，打開數(shù)據(jù)排?序選項框，進行數(shù)據(jù)排?序。</p><p>　　用表5中的?數(shù)據(jù)作散點?圖，可以得到E?xcel所?謂的正態(tài)概?率圖（圖5）。</p><p><b>　　表5 概率輸出表

25、?</b></p><p><b>　　圖5 正態(tài)概率圖?</b></p><p><b>　　【幾點說明】</b></p><p>　　多元線性回?歸與一元線?性回歸結果?相似，只是變量數(shù)?目m≠1，F(xiàn)值和t值?等統(tǒng)計量與?R值也不再?等價,因而不能直?接從相關系?數(shù)計算出來?。</p><