機械電子工程畢業(yè)論文-基于視覺的多軸機械臂的運動控制分析

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　基于視覺的多軸機械臂的運動控制分析</p><p><b>　　誠信聲明</b></p><p>　　本人鄭重聲明：本論文及其研究工作是本人在指導教師的指

2、導下獨立完成的，在完成論文時所利用的一切資料均已在參考文獻中列出。</p><p>　　本人簽名： 年 月 日</p><p><b>　　畢業(yè)設計任務書</b></p><p>　　設計題目： 基于視覺的多軸機械臂的運動控制分析

3、 </p><p>　　1．課題意義及目標</p><p>　　本課題通過研究多軸機械臂底層控制程序的控制策略，基于視覺平臺的相關信號對機械臂實現(xiàn)控制。</p><p><b>　　2．主要內容</b></p><p>　　完成多軸機械臂控制程序的學習，編寫多軸機械臂的控制

4、程序，實現(xiàn)機械臂的特定運動。</p><p>　　完成視覺平臺與機械臂接口的程序編寫及控制，實現(xiàn)視覺平臺的圖像識別。完成在視覺平臺上的圖像變換與機械臂運動的匹配，實現(xiàn)機械臂基于視覺平臺的自動運行。提交設計說明書一份，控制程序及運動仿真過程視頻各一份。</p><p><b>　　3．主要參考資料</b></p><p>　　[1] 姜宏超，劉仕

5、榮，張波濤，等.六自由度模塊化機械臂的逆運動學分析[J].浙江大學學報，2010，44（7）：1349-1353.</p><p>　　[2] 史國振，賈慶軒，孫漢旭，張延恒，等.視覺伺服空間機器人運動硬件仿真研究[J].系統(tǒng)仿真學報，2008，20（13）：3566-3570.</p><p>　　[3]劉金琨，機器人控制系統(tǒng)的設計與MATLAB仿真[M].北京：清華大學出版社，2008

6、.6.</p><p><b>　　4．進度安排</b></p><p>　　審核人： 年 月 日</p><p>　　基于視覺的多軸機械臂的運動控制分析</p><p>　　摘要:機器人技術在工業(yè)生產(chǎn)中運用的越來越多，尤其在一些高危及環(huán)境惡劣的工業(yè)中應用廣泛。但由于其技

7、術不夠成熟，導致現(xiàn)在許多工業(yè)機器人的靈活度差，工作內容單一。視覺機器人相較于一般的機器人，信息獲取量、檢測精度、檢測范圍都有大幅度提升，解決了機器人只能實現(xiàn)點到點工作的問題，使機器人具有自主檢測和判斷的能力。</p><p>　　本文以EF-IRC-I機械臂及機器人手臂視覺識別控制系統(tǒng)為基礎，實現(xiàn)了對基于視覺的七軸機械臂的運動控制分析。首先對機械臂的運動學進行了分析，求解正、逆運動學方程；并通過視覺軟件對目標物進

8、行了標定，用于識別待抓取物體的位置。最終通過目標物體的位置用機械臂控制軟件完成了抓取搬運實驗。</p><p>　　關鍵詞：七自由度機械臂，機器視覺，運動控制，圖像處理</p><p>　　Motion Control Analysis of Multi-axis Mechanical Arm Based on the Visual</p><p>　　Abst

9、ract:More and more robotic technologies are used in industrial production especially in high-risk industries and some harsh environment. Because of its technology is not complete,many industrial robots can only do some s

10、imple works. Compared with general robots ,visual robot does well in gaining the information,improving the accuracy of checking,enlarging the range of detection. Visual robot solved the problem that general robot can onl

11、y work to realize the point-to-point, make robot has the</p><p>　　The realization of seven axis motion control analysis of mechanical arm is based on the EF - IRC - I robot arm manipulator and visual identif

12、ication based control system . First of all, analyses the kinematics of robotic arm, positive and inverse kinematics equation.Then the visual software identify the position of the object.Finally through the location of t

13、he target object,mechanical arm completed the experiment about carrying out and grasping with control software. </p><p>　　Keywords: seven degrees of freedom mechanical arm, machine vision, kinematics a

14、nalysis and image processing .</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1.前言1</b></p><p>　　1.1.選題背景及意義1</p><p>　　1.2國內外研究現(xiàn)狀1</p><p>　　1.

15、2.1國外研究現(xiàn)狀1</p><p>　　1.2.2 國內研究現(xiàn)狀2</p><p>　　2.工業(yè)機器人的組成及運動控制分析4</p><p>　　2.1機器人的組成4</p><p>　　2.2 坐標變換10</p><p>　　2.2.1 坐標正變換公式10</p><p>

16、　　2.2.2 B繞G的坐標軸多次連續(xù)旋轉的坐標正變換11</p><p>　　2.2.3 B繞G的坐標軸旋轉的正變換與逆變換的關系11</p><p>　　2.2.4 剛體運動12</p><p>　　2.2.5 齊次變換13</p><p>　　2.2.6 齊次逆變換14</p><p>　　2.2.7

17、 復合齊次變換14</p><p>　　2.2.8 D-H參數(shù)15</p><p>　　2.3正運動學分析18</p><p>　　2.4逆運動學分析20</p><p>　　2.4.1奇異為姿20</p><p>　　2.4.2數(shù)值迭代方法21</p><p>　　2.4.3 機械

18、臂末端的奇異位姿23</p><p>　　3.機器人路徑規(guī)劃27</p><p>　　3.1機械臂的變量空間27</p><p>　　3.1.1、關節(jié)空間27</p><p>　　3.1.2 操作空間27</p><p>　　3.1.3驅動空間27</p><p>　　3.2關節(jié)空間

19、路徑規(guī)劃的基本方法28</p><p>　　3.2.1三次多項式函數(shù)28</p><p>　　3.2.2點到點的路徑規(guī)劃29</p><p>　　3.2.3關節(jié)空間中的連續(xù)路徑的路徑規(guī)劃問題31</p><p>　　3.3操作空間路徑規(guī)劃的基本方法32</p><p>　　4.目標標定及機械臂抓取35<

20、;/p><p>　　4.1圖像獲取及目標物的識別35</p><p>　　4.1.1圖像獲取35</p><p>　　4.1.2目標物的識別35</p><p>　　4.1.3目標標定36</p><p>　　4.1.4目標物標定具體步驟37</p><p>　　4.2 機械臂抓取40&

21、lt;/p><p>　　4.2.1機械臂抓取動作40</p><p>　　4.2.2機械臂抓取的具體步驟41</p><p>　　4.3 本章小結42</p><p><b>　　結論43</b></p><p><b>　　參考文獻44</b></p>

22、<p><b>　　致謝46</b></p><p><b>　　附錄47</b></p><p><b>　　1.前言</b></p><p>　　1.1.選題背景及意義</p><p>　　隨著計算機技術的發(fā)展，機器人已悄然進入我們生活的各個方面?？梢詭椭祟?/p>

23、完成高危、繁重、以及人本身無法完成的工作。機器人是典型的機、電、控制一體化的產(chǎn)品，經(jīng)過50多年的發(fā)展，機器人在工業(yè)、農業(yè)、國防、醫(yī)療、社會服務等各領域應用廣泛，而且隨著科技日新月異，許多功能在機器人上得以實現(xiàn)，比如：觸覺、視覺與思維能力[1]。機器人的研究已經(jīng)成為一項重要的課題，國內外都在努力研發(fā)更高效、先進的機器人以創(chuàng)造更高的經(jīng)濟效益，同時其研究方向也向大眾化發(fā)展，讓一些簡單的機器人給人們的生活帶來便利，在許多高校中針對機器人的課程以

24、及創(chuàng)新項目也屢見不鮮。</p><p>　　機器人在我們的生活中發(fā)揮了很大的作用，同時我們也應該看到其不足之處，目前工業(yè)生產(chǎn)中用的機器人，大多數(shù)只能實現(xiàn)點到點的動作，靈活性較差。而許多工作要求具有高精度同時機器人可以自主檢測和判斷，所以需要對這類機器人進行研發(fā)。視覺機器人主要計算機通過拍攝的圖像對需要進行的操作進行自我判斷，相較于一般的機器人其靈活性加強了，減少了人工操作，縮短了完成動作的時間，同時通過視覺處理，

25、人們可以做出更準確的判斷。</p><p>　　1.2國內外研究現(xiàn)狀</p><p>　　1.2.1國外研究現(xiàn)狀</p><p>　　機器人技術的迅速發(fā)展，人們開始期望擁有“思維”能力的機器人，能夠在不同的環(huán)境中自己做出判斷，并執(zhí)行相應的動作。上世紀六十年代中期，美國學者 L.R.羅伯茲提出視覺機器人[2]。當時運用的預處理、邊緣檢測、對象建模、匹配等技術，后來一直

26、在機器視覺的研究中繼續(xù)使用。視覺機器人產(chǎn)生于二十世紀八十年代。機器視覺可以為機器人傳送周圍環(huán)境的圖像信息，使機器人更加準確的進行判斷，提高其靈活性并拓寬了其工作范圍。目前，美國的機器人技術處于世界領先地位，而日本的機器人生產(chǎn)數(shù)量居世界首位[3]。</p><p>　　美國斯坦福研究所（Stanford Research Institute）很早就研制成功了一個做SHAKRY 的機器人[4]，這是典型的“眼—車”系

27、統(tǒng)。該機器人主要用于識別周圍的目標物體，通過計算得到最優(yōu)路徑，從而達到識別和跟蹤目標物體的目的。SHAKRY 還能在房間中自由穿行，進行一些“智能”操作。</p><p>　　圖 1.1 IRB 340 工業(yè)機器人</p><p>　　ABB 公司研發(fā)了一款 IRB 340 機器人，和一套名叫 FlexPicker 的視覺系統(tǒng)[5]。這款工業(yè)機器人是并聯(lián)型分揀機器人，只有4個軸，但是卻可以

28、每分鐘做150 次分揀活動。在 FlexPicker 視覺系統(tǒng)的引導下，利用安裝在末端的真空手爪，機器人可以抓取傳送帶上的移動物體并將物體放到預先設定好的位置。</p><p>　　1.2.2 國內研究現(xiàn)狀</p><p>　　相較于國外的機器人技術而言，我國機器視覺技術發(fā)展緩慢。隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展，我國生產(chǎn)行業(yè)對機器人的需求不斷增加，但是我國本土的機器人在性能與功能上都還不夠完善，這

29、引起了我國的重視，國家鼓勵機器人的開發(fā)與研究，同時積極與國外的先進技術接軌，。視覺機器人在發(fā)展的過程中展現(xiàn)了其重要性，并帶來了巨大的經(jīng)濟效益，成為我國機器人研究的重要方向。東華大學與德國 TreiBoos 公司共同研制了一款雞蛋拾取機器人[6]。雞蛋拾取夾具的制造運用了 3D 增量制造技術，夾具上配備具有力矩控制功能的 SMC 電缸，能夠設定拾取力矩，方便機器人在高速拾取的過程中感知和控制夾具的力矩。該機器人是在視覺系統(tǒng)的引導下完成的，

30、視覺系統(tǒng)對雞蛋進行識別定位，實現(xiàn)自動拾取和放置。</p><p>　　圖 1.3 電缸力矩控制雞蛋拾取機器人</p><p>　　2.工業(yè)機器人的組成及運動控制分析</p><p><b>　　2.1機器人的組成</b></p><p>　　工業(yè)機器人應用最廣泛的形式是機械臂（Mechanical Manipulator

31、），其主要應用于工業(yè)裝配領域（Assembly）。在工業(yè)應用中，機器人分為固定基座的機器人手臂（Robot Manipulator）和移動基座的移動機器人（Mobile Robot）。</p><p>　　機器人手臂與人的手臂類似，由臂（arm）、腕（Wrist）、末端工具（End-Effector）三部分組成。</p><p>　　機器人的臂：一端安裝在固定的基座上，另一端連接機器人的腕

32、。</p><p>　　機器人的腕：一端連接在機器人的臂上，另一端安裝末端工具。</p><p>　　末端工具：可以在空間中自由運動，執(zhí)行機器人的工作任務。</p><p>　　機器人的臂和腕，均由連桿和關節(jié)組成。</p><p><b>　　連桿（Link）</b></p><p>　　機器人手

33、臂由多個連桿（Link）組成，連桿之間通過關節(jié)（Joint）連接，關節(jié)能夠使得兩個相鄰連桿產(chǎn)生相對運動。連桿可以視為剛體（即運動時不會變形）。相鄰關節(jié)之間的部分即為連桿。</p><p><b>　　關節(jié)（Joint）</b></p><p>　　兩個相鄰的連桿通過關節(jié)連接，關節(jié)運動導致連桿之間產(chǎn)生相對運動。典型關節(jié)有旋轉關節(jié)（revolute）和平移關節(jié)（prism

34、atic）兩種。</p><p>　　圖2.1，給出了旋轉關節(jié)和平移關節(jié)的幾何示意圖。</p><p>　　旋轉關節(jié)（用R表示）能夠使得兩個連桿之間沿著關節(jié)軸線產(chǎn)生相對旋轉；平移關節(jié)（用P表示）能夠使得兩個連桿之間沿著關節(jié)軸線產(chǎn)生相對位移。描述兩個相鄰連桿的相對位置的量，稱為關節(jié)變量。對于旋轉關節(jié)，該關節(jié)變量是角度；對于平移關節(jié)，該關節(jié)變量是位移[7]。機器人一般在關節(jié)處安裝有傳感器（Se

35、nsor），用于測量關節(jié)變量的具體數(shù)值。</p><p>　?。╝）旋轉關節(jié) （b）平移關節(jié)</p><p>　　圖2.1 旋轉關節(jié)和平移關節(jié)</p><p>　　在機器人建模中，兩種關節(jié)的圖形分別如圖2.2（a-c）和圖2.3(a-c)所示。</p><p>　　圖2.2 旋轉關節(jié)在機器人模型中的示意圖</p&

36、gt;<p>　　圖2.3 平移關節(jié)在機器人模型中的示意圖</p><p>　　機器人手臂自由度的個數(shù)等于獨立關節(jié)變量的個數(shù)。機器人手臂的每個關節(jié)提供了一個自由度，因此，機器人手臂關節(jié)的數(shù)量就是該機器人手臂自由度的個數(shù)。</p><p>　　典型的機器人手臂應該至少擁有6個自由度，3個自由度用于定末端工具的位置、3個自由度用于定末端工具的方向。如果機器人手臂多于6個自由度，

37、則稱其為具有運動學冗余的機器人手臂。</p><p>　　7軸智能化機器人手臂，有7個自由度，因此是具有運動學冗余的機器人手臂。</p><p>　　機器人的臂（Manipulator或Arm）</p><p>　　機器人的臂，是機器人的主體，由連桿（Link）、關節(jié)（Joint）構成。當將腕（Wrist）和末端工具（End-Effector）加在臂上，并具有相應的

38、控制系統(tǒng)時，就構成了機器人。</p><p>　　圖2.4給出了具有3個旋轉關節(jié)的機器人的臂。</p><p>　　圖2.4 具有3個旋轉關節(jié)的機器人的臂</p><p>　　機器人的腕（Wrist）</p><p>　　在機器人的前臂和末端工具之間的所有關節(jié)，構成了機器人的腕（Wrist）。通常設計為球形腕關節(jié)（Spherical Wris

39、t），其由3個旋轉關節(jié)組成，這3個旋轉關節(jié)的關節(jié)軸線相交于同一點，該點稱為腕關節(jié)點（Wrist Point）。圖2.5給出了球形腕關節(jié)示意圖。</p><p>　　圖2.5 球形腕關節(jié)示意圖</p><p>　　球形腕關節(jié)能夠大大簡化機器人的運動學分析，能夠很方便的解耦末端工具的位置和方向。因此，一般來說，機器人的臂（有3個自由度）用于定末端工具的位置，末端工具方向的自由度取決于機器人的腕

40、。腕的自由度可以是1、2或3，取決于工業(yè)應用的要求。</p><p>　　末端工具（End-Effector）</p><p>　　末端工具附著在機器人的腕的最后一個連桿上。最簡單的末端工具是夾子，其只有兩個動作：打開和閉合。</p><p>　　取決于機器人應用要求，末端工具可以是夾子、焊槍等。</p><p>　　致動器（Actuator

41、）</p><p>　　致動器相當于機器人的肌肉，為機器人的運動提供力量。致動器提供的力量用于克服重力、慣性以及其他外力，從而改變末端工具的位置和方向。致動器也稱為舵機。</p><p>　　致動器有電子、液壓和氣動三種。液壓和氣動型致動器主要應用于力矩特別大、精度要求低的場合，電子型致動器用于高精度應用[8]。</p><p>　　傳感器（Sensor）</

42、p><p>　　關節(jié)位置、速度、加速度、以及力，是最需要檢測的量。傳感器集成在機器人中，用于檢測這些量，并將檢測到的值傳送到控制器中用于運動控制。</p><p>　　控制器（Controller）</p><p><b>　　控制器的作用有：</b></p><p>　?。?）信息處理：收集及處理機器人傳感器送來信息（關節(jié)

43、位置、速度、加速度、力）。</p><p>　　（2）位置伺服控制：綜合速度、加速度，實現(xiàn)關節(jié)精確的位置伺服控制。</p><p>　　（3）通信：能夠與計算機進行通信，實現(xiàn)對機器人的控制。</p><p>　　圖2.6 7軸智能化機器人手臂實物圖</p><p>　　如圖2.6所示，兩個肩關節(jié)、兩個肘關節(jié)及連桿構成了機器人的臂（Arm），

44、三個腕關節(jié)及連桿構成了機器人的腕（Wrist），末端工具由兩個手指的夾子構成，用于夾取物體。</p><p>　　7軸智能化機器人手臂的所有關節(jié)，均為旋轉關節(jié)。</p><p>　　旋轉動作：關節(jié)軸線與其下一級連桿在同一直線上。當關節(jié)旋轉時，連桿也跟著旋轉。一個關節(jié)連接兩個連桿，一個連桿位于基座一邊，另一個連桿位于末端工具一邊。下一級連桿指的是末端工具一邊的連桿。</p>&

45、lt;p>　　俯仰動作：關節(jié)軸線與其下一級連桿垂直。關節(jié)旋轉時，導致連桿上下作俯仰動作。</p><p>　　偏航動作：關節(jié)軸線與其下一級連桿垂直。關節(jié)旋轉時，導致連桿左右擺動。</p><p>　　7軸智能化機器人手臂的關節(jié)編號與連桿編號，如圖2.7所示。關節(jié)編號通常與下一級連桿的編號相同。</p><p>　　圖2.7 7軸智能化機器人手臂的關節(jié)編號與連

46、桿編號</p><p>　　圖2.7中的尺寸單位為：毫米。圖2.7中手臂中的白線表示關節(jié)軸線。</p><p><b>　　技術參數(shù)：</b></p><p>　　機械手臂垂直最大長度: 53.4cm (從基座到頂端)</p><p>　　機械手臂水平最大長度: 48cm</p><p>　　重復

47、性位置精度：+/-0.5mm</p><p>　　手指最大張度：3.5cm</p><p><b>　　角度限制，見表1。</b></p><p>　　表2.1 關節(jié)角度限制</p><p>　　說明：傳感器將一個圓周分為4096份，因此，已知傳感器的角度數(shù)字量，轉換成度或孤度的系數(shù)為：</p><p

48、>　　系數(shù)C=360÷4096（單位：度） （2.1） </p><p>　　系數(shù)R=2×π÷4096（單位：rad） （2.2）</p><p>　　7軸智能化機器人手臂，有8個舵機。其中7個舵機構成機器人的臂

49、和腕，令1個舵機為末端工具，即夾子（或手爪、手指）。</p><p>　　位置傳感器將旋轉關節(jié)旋轉的位置分成4096份（12位表示212=4096，即將360度分成了4096等份），因此，關節(jié)旋轉的角度位置，通常用角度位置的數(shù)字量表示，該數(shù)字量與角度位置的關系為：</p><p><b>　　（2.3）</b></p><p>　　每個關節(jié)的旋

50、轉角度，是有限制的。見表1 關節(jié)角度限制。</p><p>　　計算機與機器人的各個舵機構成一個主從式通信網(wǎng)絡，計算機是主機，舵機是從機[9]。每個從機都有一個唯一的編號，稱為ID。主機可以通過舵機的ID準確控制指定的舵機。計算機既可以單獨控制一個舵機，也可以同時控制多個舵機或所有舵機，因此，控制非常靈活，功能強大，這個特點對于提高機器人的控制性能來講，是非常重要的一個特色與功能。</p><

51、p>　　圖2.8機器人與計算機的連接</p><p><b>　　2.2 坐標變換</b></p><p>　　機器人的運動學是描述機器人運動的幾何學[10]。在機器人固定不動的基座，建立固定坐標系G；在機器人的每個連桿都建立一個局部坐標系B，連桿的運動，導致局部坐標系B也運動。將點P在B中的坐標，變換成在G中的坐標，稱為坐標正變換；反之稱為坐標逆變換。<

52、;/p><p>　　2.2.1 坐標正變換公式</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　Br：點P在B中的坐標列向量。</p><p>　　Gr：點P在G中的坐標列向量。</p><p>　　GdB：將B的原點平移到G的某個點，并用該點在G中的坐標列向量表示。</p

53、><p>　　GRB：B和G剛開始重合，將B旋轉后，B中的點的坐標，變換為G中的點的坐標的旋轉變換矩陣。R表示Rotation，旋轉。</p><p>　　2.2.2 B繞G的坐標軸多次連續(xù)旋轉的坐標正變換</p><p>　　B繞G的坐標軸連續(xù)多次旋轉，如何得到B到G的旋轉矩陣?如果已知點P在B中的坐標，怎么計算點P在G中的坐標?現(xiàn)進行如下介紹：</p>

54、<p>　　如果B繞G的坐標軸連續(xù)多次旋轉，旋轉矩陣按旋轉的先后順序分別為：Q1，Q2，…，Qn，則將點P在B中的坐標，轉換為G中的坐標，公式為：</p><p><b>　?。?.5）</b></p><p><b>　　這里，</b></p><p><b>　　（2.6）</b>&

55、lt;/p><p>　　Gr：點P在G中的坐標。</p><p>　　Br：點P在B中的坐標。</p><p>　　GQB：B到G的旋轉矩陣。將點P在B中的坐標，變換為G中的坐標。</p><p>　　因為矩陣的乘法不滿足交換律，因此，執(zhí)行旋轉的順序是重要的。旋轉矩陣是正交矩陣，其轉置矩陣與其逆矩陣，是相等的。</p><p&

56、gt;<b>　?。?.7）</b></p><p>　　正交矩陣一般用字母Q表示。</p><p>　　因此，多次旋轉，計算旋轉變換矩陣時，一定要注意矩陣的乘法與旋轉順序的關系。</p><p>　　2.2.3 B繞G的坐標軸旋轉的正變換與逆變換的關系</p><p>　　B繞G的坐標軸旋轉，已知點P在B中的坐標，計算

57、點P在G中的坐標，這種B到G的旋轉變換，稱為旋轉正變換[11]。反過來，已知點P在G中的坐標，計算點P在B中的坐標，這種G到B旋轉變換，稱為旋轉逆變換。</p><p>　　設B到G的旋轉矩陣為GRB，G到B的旋轉矩陣為BRG，兩者的關系有：</p><p><b>　?。?.8）</b></p><p>　　即：GRB的轉置矩陣，即為BRG，

58、同樣，BRG的轉置矩陣，即為GRB。</p><p>　　2.2.4 剛體運動</p><p>　　設固定坐標系G（OXYZ），局部坐標系B（Oxyz）。</p><p>　　設G和B剛開始是重合的。B先繞G的坐標軸旋轉，然后B的原點又相對于G的原點平移到G中的某個點。如下圖所示：</p><p>　　圖2.9剛體運動示例圖</p>

59、;<p>　　如果用Gd表示將B的原點平移到G中的某個點， B中點P的坐標變換到G中的坐標的公式為：</p><p><b>　?。?.9）</b></p><p><b>　　這里，</b></p><p>　　Gd：B相對于G平移后， B的原點在G中的坐標。</p><p>　　G

60、RB：Gd是當=0時，將B變換到G的旋轉矩陣。</p><p>　　Br：點P在B中的坐標，列向量。</p><p>　　GrP：點P在G中的坐標。</p><p>　　剛體旋轉和平移的組合，稱為剛體的運動。</p><p>　　將剛體的運動分解成先旋轉再平移，是表示空間位移最簡單的方法。</p><p>　　2.2.

61、5 齊次變換</p><p>　　剛體的運動由旋轉和平移兩部分組成，旋轉矩陣是 3 × 3 的矩陣，平移是坐標列向量，將這兩者綜合成一個矩陣，可以完整描述剛體的運動。該矩陣稱為齊次變換矩陣，是一個 4 × 4 的矩陣。</p><p><b>　?。?.10）</b></p><p><b>　　這里，</b

62、></p><p><b>　?。?.11）</b></p><p><b>　　且，</b></p><p>　　Gr,Br,Gd稱為齊次坐標。</p><p>　　任意一個齊次變換矩陣，總能分解成平移齊次變換矩陣乘以旋轉齊次變換矩陣。</p><p><b&g

63、t;　?。?.12）</b></p><p>　　2.2.6 齊次逆變換</p><p>　　已知GTB，求BTG，這樣，就能夠根據(jù)點P在G中的坐標，計算點P在B中的坐標。</p><p><b>　?。?.13）</b></p><p>　　2.2.7 復合齊次變換</p><p>

64、　　假設有3個坐標系A,B,C。有如下齊次變換矩陣：</p><p><b>　　（2.14）</b></p><p><b>　?。?.15）</b></p><p><b>　　則有，</b></p><p><b>　?。?.16）</b></

65、p><p><b>　　其逆變換為，</b></p><p><b>　?。?.17）</b></p><p>　　一般，多個坐標系與固定坐標系的齊次變換公式，如下：</p><p><b>　　（2.18）</b></p><p>　　2.2.8 D-H參

66、數(shù)</p><p>　　對于實際的機械臂，其連桿之間的幾何關系是給定的。只要知道了各個關節(jié)變量的值，總是能夠確定機械臂每個連桿相對于固定參考坐標系的位置與朝向。</p><p>　　在機器人學中，描述兩個相鄰連桿坐標系之間的幾何關系，通常使用D-H參數(shù)。這種方法是由Jacques Denavit 和 Ri-chard S. Hargenberg 兩人在1955年發(fā)明的，因此，稱為D-H參數(shù)

67、，確定D-H參數(shù)的方法，稱為D-H方法[12]。</p><p>　　在3維空間中，要確定一個3維的坐標系，只需要確定其中兩個坐標軸，另一個坐標軸可以使用右手螺旋定則確定[13]。如，只需要確定3維坐標系的Z軸和X軸，Y軸可用右手螺旋定則確定。用右手握住坐標系的Z軸，大拇指指向Z軸的正方向，四指的繞向即是X軸的正方向繞向Y軸的正方向，繞過的角度為90度。</p><p>　　因此，要描述兩

68、個坐標系之間的相對關系，只需要描述兩個坐標系中兩對坐標軸之間的相對關系。D-H參數(shù)描述了兩個坐標系中兩個Z軸之間的相對關系和兩個X軸之間的相對關系。</p><p>　　設機械臂中，兩個相鄰連桿的幾何關系以及指定的坐標系，如下圖所示。</p><p>　　圖2.10兩個相鄰連桿的幾何關系以及指定的坐標系</p><p>　　D-H參數(shù)名稱及含義：</p>

69、<p>　　Link length ɑi：連桿長度。描述了兩個相鄰坐標系{i}和{i-1}的兩個Z軸之間的距離。</p><p>　　Link twist αi：連桿扭角。描述了兩個相鄰坐標系{i}和{i-1}的兩個Z軸之間的夾角。特別注意夾角如何取值：坐標系｛i-1｝的Z軸的正方向，繞坐標系｛i｝的X軸的正方向，按右手螺旋法則旋轉，使坐標系{i}和{i-1}的兩個Z軸正方向一致。繞X軸正方向按右手

70、螺旋法則旋轉，角度為正值；繞X軸負方向按右手螺旋法則旋轉，角度為負值。</p><p>　　Joint distance di：關節(jié)距離。也稱為連桿偏移。描述了兩個相鄰坐標系{i}和{i-1}的兩個X軸之間的距離。</p><p>　　Joint angle θi：描述了兩個相鄰坐標系{i}和{i-1}的兩個X軸之間的夾角。</p><p>　　特別注意夾角如何取值

71、：坐標系｛i-1｝的X軸的正方向，繞坐標系｛i-1｝的Z軸的正方向，按右手螺旋法則旋轉，使坐標系{i}和{i-1}的兩個X軸正方向一致[14]。繞Z軸正方向按右手螺旋法則旋轉，角度為正值；繞Z軸負方向按右手螺旋法則旋轉，角度為負值。</p><p>　　D-H參數(shù)描述了兩個相鄰坐標系｛i｝與固定參考坐標系｛i-1｝之間的幾何位置關系。在機器人學中，通常用D-H參數(shù)表來描述機器人的幾何結構。</p>

72、<p>　　坐標系｛i｝到坐標系｛i-1｝齊次變換矩陣為：</p><p><b>　?。?.19）</b></p><p>　　方程左邊的符號，表示坐標系｛i}到｛i-1}的齊次變換矩陣；方程右邊，第1項表示沿坐標系｛i-1}的Z軸，平移d的齊次變換矩陣；第2項表示沿坐標系｛i-1}的Z軸，旋轉角度θ的齊次變換矩陣；第3項表示沿坐標系｛i}的X軸，平移a的

73、齊次變換矩陣；第4項表示沿坐標系｛i}的X軸，旋轉角度α的齊次變換矩陣。</p><p><b>　　其中，</b></p><p><b>　?。?.20） </b></p><p><b>　?。?.21） </b></p><p><b>　　（2.22） &l

74、t;/b></p><p><b>　?。?.23）</b></p><p>　　因此，坐標系｛i｝中點的坐標變換到坐標系｛i-1｝中的坐標，公式為：</p><p><b>　?。?.24） </b></p><p><b>　　這里，</b></p>

75、<p><b>　?。?.25）</b></p><p>　　i-1Ti也能夠分解為兩部分：旋轉矩陣和平移部分。</p><p><b>　?。?.26）</b></p><p><b>　　這里，</b></p><p><b>　　（2.27）<

76、/b></p><p><b>　　（2.28）</b></p><p>　　i-1Ti的逆矩陣為：</p><p><b>　?。?.29）</b></p><p>　　根據(jù)公式：計算相鄰坐標系的齊次矩陣，可以用函數(shù)。</p><p><b>　?。?.30

77、）</b></p><p><b>　　2.3正運動學分析</b></p><p>　　正運動學的主要問題是：根據(jù)各個關節(jié)旋轉的角度，確定末端工具在笛卡爾坐標系中的位置（即坐標）和朝向。</p><p>　　在機器人學中，使用D-H方法為每個連桿及末端工具建立一個坐標系，根據(jù)D-H參數(shù)能夠得到相鄰兩個坐標系的齊次矩陣；然后通過復合齊

78、次變換，就能夠得到末端工具坐標系到固定參考坐標系的齊次變換矩陣。</p><p>　　設機械臂有n個關節(jié)，則末端工具坐標系到固定參考坐標系的齊次矩陣為</p><p><b>　　（2.31）</b></p><p>　　0T1(q1)表示關節(jié)1的關節(jié)變量取值為q1時，坐標系1到坐標系0的齊次矩陣。</p><p>　　

79、1T2(q2)表示關節(jié)2的關節(jié)變量取值為q2時，坐標系2到坐標系1的齊次矩陣。</p><p><b>　　以此類推，</b></p><p>　　n-1Tn(qn)表示關節(jié)n的關節(jié)變量取值為qn時，坐標系n到坐標系n-1的齊次矩陣。</p><p>　　這樣，通過復合齊次變換，就可以得到坐標系n到坐標系0（即固定參考坐標系）的齊次矩陣。<

80、;/p><p>　　每對相鄰坐標系i和i-1的齊次矩陣，可用以下公式得到：</p><p><b>　?。?.32）</b></p><p>　　右邊各個齊次矩陣的公式為：</p><p><b>　?。?.33）</b></p><p><b>　?。?.34）<

81、;/b></p><p><b>　?。?.35）</b></p><p><b>　?。?.36）</b></p><p>　　注意： 這種坐標變換，稱為齊次坐標變換。必須使用齊次坐標。</p><p>　　當?shù)玫烬R次矩陣0Tn后，</p><p>　　坐標系n的原點

82、在坐標系0中的坐標，其X,Y,Z值對應為0Tn第4列的第1行到第3行的元素值。</p><p>　　也能夠得到坐標系n的x,y,z三個坐標軸，相對于坐標系0的三個坐標軸的方向余弦，從而確定其方向。</p><p>　　坐標系n的x軸與坐標系0的x,y,z三個坐標軸的方向余弦，分別為：0Tn第1列的第1行到第3行的元素值。</p><p>　　坐標系n的y軸與坐標系0

83、的x,y,z三個坐標軸的方向余弦，分別為：0Tn第2列的第1行到第3行的元素值。</p><p>　　坐標系n的z軸與坐標系0的x,y,z三個坐標軸的方向余弦，分別為：0Tn第3列的第1行到第3行的元素值。</p><p>　　設末端工具坐標系B與固定參考坐標系G的的齊次矩陣如下，可完成正運動學分析。</p><p>　　第一列前三個數(shù)從上到下為B的X軸與C的X,Y

84、,Z軸的方向余弦。</p><p>　　第二列前三個數(shù)從上到下為B的Y軸與C的X,Y,Z軸的方向余弦。</p><p>　　第三列前三個數(shù)從上到下為B的Z軸與C的X,Y,Z軸的方向余弦。</p><p>　　第四列前三個數(shù)為B的原點在G中的坐標。</p><p><b>　　2.4逆運動學分析</b></p>

85、<p>　　已知末端工具在固定參考坐標系中的位置與姿態(tài)，計算各個關節(jié)變量的值。這種分析稱為逆運動學分析。</p><p><b>　　2.4.1奇異為姿</b></p><p>　　如果對于機械臂某個特別的位姿，逆解不存在，稱這個位姿為奇異位姿。機械臂的奇異性可能是由于機械臂中某些坐標軸的重合，或位置不能達到引起的。</p><p&g

86、t;　　機械臂的奇異位姿分為兩類：</p><p><b>　?。?）邊界奇異位姿</b></p><p>　　當機械臂的關節(jié)全部展開或折起時，使得末端處于操作空間的邊界或邊界附近，雅克比矩陣奇異，機械臂的運動受到物理結構的約束，這時機械臂的奇異位姿稱為邊界奇異位姿[15]。</p><p><b>　?。?）內部奇異位姿</b

87、></p><p>　　兩個或兩個以上的關節(jié)軸線重合時，機械臂各個關節(jié)的運動相互抵消，不產(chǎn)生操作運動，這時機械臂的奇異位姿稱為內部奇異位姿。</p><p>　　如果機械臂的關節(jié)變量的個數(shù)大于6，稱為冗余機械臂，這時，對于機械臂末端的一個位置與姿態(tài)，可能有無窮多個關節(jié)值與之對應。因此，對于冗余的機械臂的逆解可能有無窮多個，實驗中采用的機械臂為七自由度。</p><

88、p>　　2.4.2數(shù)值迭代方法</p><p>　　數(shù)值解是當機械臂的末端位置與姿態(tài)已知時，用迭代的方法得到機械臂的各個關節(jié)角度的值，一般是近似的，本實驗采用數(shù)值迭代法。</p><p>　　一般來說，機械臂的逆運動學解qk(k=1,2,…n)可以通過求解以下非線性方程組得到。</p><p><b>　　(2.37）</b></p

89、><p>　　該方程是一個超越方程，可以使用數(shù)值方法得到方程的零點。然而，一般來</p><p>　　要使用迭代算法[16]。最常用的是Newton-Raphson方法。</p><p>　　為了用迭代算法從求解運動學方程T(q)=0中求出未知數(shù)q，首先要給出一個迭代</p><p><b>　　的初始值</b></p

90、><p><b>　?。?.38）</b></p><p>　　利用正運動學方程得到</p><p><b>　?。?.39）</b></p><p><b>　　（2.40） </b></p><p><b>　　由泰勒級數(shù)展開得到</b&

91、gt;</p><p><b>　　（2.41）</b></p><p>　　略去高次項，得到一個線性方程組</p><p><b>　　（2.42）</b></p><p><b>　　其中因此</b></p><p><b>　?。?.43

92、）</b></p><p><b>　　寫成迭代公式</b></p><p><b>　?。?.44）</b></p><p>　　實現(xiàn)該公式的算法如下</p><p>　　設k=0,給出關節(jié)的初始值；</p><p><b>　　計算</b

93、></p><p><b>　　計算；</b></p><p>　　如果，計算結束，就是希望的迭代解；</p><p>　　取k=k+1,轉（2）繼續(xù)計算。</p><p>　　例如，考慮兩個自由度的平面機械臂</p><p><b>　?。?.45） </b><

94、/p><p><b>　?。?.46） </b></p><p><b>　　（2.47） </b></p><p><b>　　它的雅克比矩陣是</b></p><p><b>　　（2.48）</b></p><p><b&

95、gt;　　雅克比矩陣的逆矩陣</b></p><p><b>　　（2.49）</b></p><p>　　所以，迭代公式2.44表示為</p><p><b>　?。?.50） </b></p><p><b>　　取</b></p><p&g

96、t;<b>　　，</b></p><p>　　雅克比矩陣和它的逆矩陣分別是</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　迭代4次，得到</b></p><p>　　2.4.3 機械臂末端的奇異位姿</p><p>　　考慮圖2

97、.11中的兩個自由度的平面機械臂的逆運動學問題</p><p>　　圖2.11 兩個自由度的平面機械臂</p><p>　　根據(jù)機械臂的正向運動學，這個機械臂的傳遞矩陣是</p><p>　　（2.51） </p><p>　　由（式2.50）中第1,2行，第4列可知，機械臂末端的位置是</p>&l

98、t;p><b>　?。?.52）</b></p><p><b>　?。?.53）</b></p><p><b>　　由</b></p><p><b>　?。?.54）</b></p><p><b>　　得到</b><

99、;/p><p><b>　?。?.55）</b></p><p><b>　　應用半角公式</b></p><p><b>　　（2.56）</b></p><p><b>　　得到</b></p><p><b>　?。?.

100、57）</b></p><p><b>　?。?.58）</b></p><p>　　注意由θ2求θ1時正負號的順序。</p><p>　　對（2.51）兩邊微分后寫成矩陣形式得到</p><p><b>　?。?.59）</b></p><p><b>

101、;　　記</b></p><p>　?。?.58）簡寫成 ，式中J就稱為機械臂的雅可比（Jacobian）矩陣，它由函數(shù)x，y的偏微分組成，反映了關節(jié)微小位移dθ與機械臂末端微小運動dp之間的關系。 將兩邊同除以dt得到：dp/dt=Jdθ/dt, 因此機械臂的雅可比矩陣也可以看做是操作空間中的速度與關節(jié)空間中速度的線性變換。dp/dt稱為機械臂末端在操作空間中的廣義速度，簡稱操作

102、速度[18]，dθ/dt為關節(jié)速度。可以看出，雅可比矩</p><p>　　陣的每一列表示其它關節(jié)不動而某一關節(jié)以單位速度運動產(chǎn)生的末端速度。從</p><p>　　可以看出，J的值隨末端位置的不同而不同，θ1和θ2的改變會導致J的變化。對于關節(jié)空間的某些位姿，機械臂的雅可比矩陣的秩減少，這些位姿稱為機械臂的奇異位姿。不難看出，機械臂雅可比矩陣的行列式為，當θ2=0°或θ2=18

103、0°時，機械臂的雅可比行列式為0，矩陣的秩為1，這時機械臂處于奇異位姿。機械臂在操作空間的自由度將減少。</p><p>　　如果機械臂的雅可比矩陣J是滿秩的方陣，相應的關節(jié)速度即可求出，即，機械臂的逆雅可比矩陣是</p><p><b>　?。?.60）</b></p><p>　　顯然，當θ2趨于0°（或180°

104、;）時，機械臂接近奇異位姿，相應的關節(jié)速度將趨于無窮大。</p><p><b>　　3.機器人路徑規(guī)劃</b></p><p>　　3.1機械臂的變量空間</p><p>　　機械臂的三個變量空間：關節(jié)空間，操作空間和驅動空間</p><p>　　3.1.1、關節(jié)空間</p><p>　　n個自

105、由度的機械臂的末端位姿由n個關節(jié)變量所決定，這n個關節(jié)變量統(tǒng)稱為n維關節(jié)矢量，記為q。所有的關節(jié)矢量構成的空間稱為關節(jié)空間。由于機械臂各個關節(jié)的旋轉受到物理條件的約束，每個關節(jié)的轉動被限制在一定的范圍內。本實驗所用的機械臂有7個關節(jié)，所以有7個自由度，受到物理結構的限制，它們的轉動范圍分別是（單位是度）</p><p>　　最小值 300 690 300 690 690 740 300

106、 </p><p>　　最大值 3290 2910 3290 2910 2910 2850 3290 </p><p>　　3.1.2 操作空間</p><p>　　機械臂末端的位姿用6個變量描述，3個平移(x,y,z)和3個旋轉(x, y, z)，記 d=(x,y,z, x, y, z)</p>&

107、lt;p>　　d是機械臂末端在基坐標空間中的坐標，所有的矢量d構成的空間稱為操作空間或作業(yè)定向空間。操作空間是操作臂的末端能夠到達的空間范圍，即末端能夠到達的目標點集合。值得指出的是，工作空間應該嚴格地說，可以分為兩類： </p><p>　　(1) 靈活（操作）空間指機械臂末端能夠以任意方位到達的目標點集合。因此，在靈活空間的每個點上，手爪的指向可任意規(guī)定。 </p><p

108、>　　(2) 可達（操作）空間 指機械臂末端至少在一個方位上能夠到達的目標點集合。</p><p><b>　　3.1.3驅動空間</b></p><p>　　機械臂各關節(jié)驅動器的位置組成的矢量稱為驅動矢量s，由這些矢量構成的空間稱為驅動空間。本實驗所用的機械臂有7個旋轉關節(jié)，每個關節(jié)分別由一個舵機驅動，根據(jù)舵機的特性，換算關系1=0.088度，所以</

109、p><p>　　最小值 348 788 348 788 788 848 348 </p><p>　　最大值 3748 3308 3748 3308 3308 3248 3748 </p><p>　　舵機的速度可以設置，設置的范圍是 (1-1023), 換算關系1=0.114轉/分鐘。</p><

110、;p>　　3.2關節(jié)空間路徑規(guī)劃的基本方法</p><p>　　關節(jié)空間中的路徑規(guī)劃是指，在關節(jié)空間中，給定關節(jié)的起點和終點，確定一條連接這兩點的曲線。這條曲線稱為路徑函數(shù)。路徑規(guī)劃又可以分為點到點（Point-to-Point Motion）的路徑規(guī)劃問題和連續(xù)路徑(Continuous-Path Motion )路徑規(guī)劃問題[19]。點到點路徑規(guī)劃問題是指在給定關節(jié)的起點和終點，求出一個路徑函數(shù)，在指定

111、的時間，使關節(jié)從起點移動到終點。連續(xù)路徑路徑規(guī)劃問題，是指在起點與終點之間，還有一些中間點，求出一個路徑函數(shù)，使得關節(jié)在指定的時間段內從起點移動到終點的同時，還要求關節(jié)在指定的時刻，通過這些中間點。</p><p>　　3.2.1三次多項式函數(shù)</p><p>　　三次多項式函數(shù)是一種最簡單點到點（Point-to-Point Motion）的路徑函數(shù)。在關節(jié)空間中，三次多項式函數(shù)描述了機

112、械臂的關節(jié)在兩個點q(t0) 和q(tf )之間隨時間變化的過程，用q(t)表示</p><p><b>　?。?.1）</b></p><p><b>　?。?.2）</b></p><p><b>　　滿足約束條件</b></p><p>　　利用以上方程和約束條件得到求解

113、q(t)各個系數(shù)的方程組</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　解這個方程組可以得到</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　?。?.5） （3.6）</p><p><b>

114、　?。?.7）</b></p><p>　　3.2.2點到點的路徑規(guī)劃</p><p>　　(1)規(guī)劃一條點到點路徑，要求在路徑的中間段t1 <t<t2保持勻速運動。</p><p>　　這里 t0 <t1 <t2 <tf 。約束條件是</p><p>　　這個路徑分為加速段，勻速段和減速段。<

115、/p><p><b>　　加速段</b></p><p><b>　?。?.8）</b></p><p><b>　　勻速段</b></p><p><b>　?。?.9）</b></p><p><b>　　（3.10）&l

116、t;/b></p><p>　　其中，積分常數(shù)C可以t=t1時的位置確定。</p><p><b>　?。?.11）</b></p><p><b>　　（3.12）</b></p><p><b>　　減速段</b></p><p>　　對于減速

117、段，所以可以用一個三次多項式表示</p><p><b>　?。?.13） </b></p><p><b>　　（3.14）</b></p><p>　　滿足有4個約束條件，</p><p>　　這些條件用以下方程表示</p><p><b>　?。?.15）&

118、lt;/b></p><p>　　(2)在關節(jié)空間中規(guī)劃一條路徑，在路徑的兩個端點處具有指定的位置，速度和加速度。</p><p>　　要能同時滿足6個條件的多項式至少是5次多項式。</p><p><b>　?。?.16）</b></p><p>　　利用以上方程和約束條件可以得到5個方程組成的線性方程組<

119、/p><p><b>　?。?.17）</b></p><p>　　求解此線性方程組可以得到5次多項式的各個系數(shù)。</p><p>　　3.2.3關節(jié)空間中連續(xù)路徑的路徑規(guī)劃問題</p><p>　　在機械臂的控制中，經(jīng)常要求一個路徑要在特定的時間經(jīng)過一系列的中間點。考慮一個路徑由4個點q0, q1, q2,和 q3組成，到

120、達這些點的時間分別為t0, t1, t2和 t3，同時，要限制路徑起始和終止時的速度和加速度。限制條件表示為</p><p>　　要能同時滿足8個條件的多項式至少是7次多項式。</p><p><b>　?。?.18） </b></p><p>　　利用以上方程和約束條件可以得到8個方程組成的線性方程組</p><p>

121、<b>　?。?.19）</b></p><p>　　可求解此線性方程組可以得到7次多項式的各個系數(shù)。</p><p>　　上述方法中，如果中間點是兩個，如果中間點較多，需要用更高次的多項式實現(xiàn)。在計算上不方便。在機械臂的路徑規(guī)劃中，另外一種常用的路徑函數(shù)是樣條函數(shù)?？紤]一個路徑由n+1個點q0, q1, …qn組成，到達這些點的時間分別為t0, t1, … tn，同

122、時，指定路徑起始和終止時的速度或加速度。構造一個函數(shù)S(t) 滿足以下條件</p><p>　?。?）S(t i)= q i (i =0,1,2,,n); （2）在區(qū)間 (t 0, t n) 內S(t) 具有連續(xù)的二階導數(shù); （3）在每個子區(qū)間 [t i1, t i] 上S(t)的表達式為S i (t)，是一個三次多項式。</p><p>　　滿足以上條件S(t) 稱為三次樣條

123、插值多項式。它是一種分段三次多項式函數(shù)?？梢杂孟旅婀降玫?，記t i -t i1=h i</p><p><b>　?。?.20）</b></p><p>　　上式中M0 , M1,, Mn 是線性方程組ai Mi-1+ 2 Mi+ bi Mi+1 = di (i =1,2,,n-1) 的解。</p><p><b>　　其中，&

124、lt;/b></p><p>　　共有n-1個方程，n+1個位知數(shù)，所有需要補充兩個條件，稱為邊界條件，常見的是以下兩種</p><p>　?。?）給定路徑起點和終點的加速度</p><p>　?。?）給定路徑起點和終點的速度這時有</p><p>　　3.3操作空間路徑規(guī)劃的基本方法</p><p>　　操作空

125、間中的路徑規(guī)劃是指，在操作空間中，給定機械臂末端的起點和終點，確定一條連接這兩點的曲線。這條曲線稱為路徑函數(shù)。因為機械臂末端的位置與姿態(tài)一般是以直角坐標系描述，所以，操作空間的路徑規(guī)劃又稱為直角坐標空間的路徑規(guī)劃(Cartesian path planning)。一般操作空間中的路徑規(guī)劃又可以分為點到點（Point-to-Point Motion）的路徑規(guī)劃問題和連續(xù)路徑(Continuous-Path Motion )規(guī)劃問題[19]

126、。點到點路徑規(guī)劃問題是指給定機械臂末端的起點和終點，求出一個路徑函數(shù)，在指定的時間，使機械臂末端從起點移動到終點。連續(xù)路徑路徑規(guī)劃問題是指在機械臂末端起點與終點之間，還要求機械臂末端經(jīng)過中間點，求出一個路徑函數(shù)，使得機械臂末端在指定的時間段內從起點移動到終點的同時，還要求機械臂末端在指定的時刻，通過或接近這些中間點。特別要注意的在操作空間中的路徑規(guī)劃中，有些中間點只是要求接近而不是嚴格的通過。從數(shù)學的角度來說，操作空間中的路徑規(guī)劃和關節(jié)