振動(dòng)和機(jī)械波-習(xí)題

1、機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波,1 . 諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和判據(jù),f =-kx,線諧運(yùn)動(dòng)(定義兼判據(jù)),角諧運(yùn)動(dòng),一、機(jī)械振動(dòng),2 . 諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程, 速度、加速度表達(dá)式,3 . 諧運(yùn)動(dòng)中的各物理量,振幅A、周期T、頻率?、角頻率?、相位(?t+ ?),初相位 ?,4 . 諧運(yùn)動(dòng)中的三要素的確定,5、阻尼運(yùn)動(dòng)與受迫振動(dòng),β----阻尼系數(shù)；ω0 ----振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率,阻尼運(yùn)動(dòng)：過(guò)阻尼、欠阻尼以及臨界阻尼運(yùn)動(dòng),受迫振動(dòng),共振現(xiàn)象,幅頻特性和相頻

2、特性,6 .同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成,仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其中:,同相:,k=0,±1, ±2, ±3…...,反相:,k=0,±1, ±2, ±3…...,7 .簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量,（1）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。 圍繞描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)物理量：振幅、角頻率和初相建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式，或者從振動(dòng)曲線建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。,（2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 對(duì)物體進(jìn)行受力分

3、析，根據(jù)牛頓定律建立方程，判斷是否符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征，然后根據(jù)初始條件，建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。,（3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成。,本章的習(xí)題可以分為三方面的問(wèn)題：,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題：,判斷振動(dòng)物體是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。,采用動(dòng)力學(xué)的方法的步驟：（1）確定振動(dòng)系統(tǒng)，找出平衡位置并且作為坐標(biāo)原點(diǎn)，規(guī)定坐標(biāo)軸的正方向；（2）分析處于任意位置處系統(tǒng)各物體所受的力；（3）列出各物體的運(yùn)動(dòng)方程，與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程進(jìn)行比較，即可判斷物體是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。,采用能

4、量法的步驟：（1）確定振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒；（2）找出平衡位置并將它選為坐標(biāo)原點(diǎn)，規(guī)定坐標(biāo)軸的正方向；（3）寫(xiě)出任意位置處的機(jī)械能表達(dá)式，并且對(duì)這一表達(dá)式進(jìn)行時(shí)間微分，將求得的結(jié)果與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程進(jìn)行比較，判斷是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。,1 . 波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過(guò)程 各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)的差別僅在于，后開(kāi)始振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)比先開(kāi)始振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在步調(diào)上落后一段時(shí)間。,2 . 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的傳播過(guò)程形成簡(jiǎn)諧波,當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)x=0m 處簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方

5、程為,當(dāng)波以波速u向x正方向傳播,則平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù):,二、機(jī)械波,3 . 波動(dòng)過(guò)程是能量的傳播過(guò)程,單位體積內(nèi)波的能量,即能量密度為:,單位體積內(nèi)波的平均能量, 即平均能量密度為:,平均能流密度——波的強(qiáng)度為:,在波動(dòng)中，每個(gè)質(zhì)元都起著能量轉(zhuǎn)換的作用--------不斷地吸取能量，又不斷地放出能量。因此說(shuō)振動(dòng)的傳播過(guò)程也就是能量的傳播過(guò)程。,4 . 波的干涉,(1) 波的干涉條件:,頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定.,(2)相干區(qū)域

6、各點(diǎn)振動(dòng)的振幅,其中: k=0,1,2,3? ?,(3)相干加強(qiáng)和減弱的條件,當(dāng)?1 = ? 2時(shí),干涉點(diǎn)的相位差??由波程差?=r2- r1決定。,,(1)合成以后各點(diǎn)振幅不同,波腹波節(jié),5.駐波：兩列振幅相同的相干波,在同一直線上,沿相反方向傳播時(shí)所產(chǎn)生的疊加：,相鄰波節(jié)間的各點(diǎn)步調(diào)一致（即相位相同）, 波節(jié)兩邊各點(diǎn)的步調(diào)正好相反（相位相反）。,(2)合成以后各點(diǎn)的振動(dòng)：,(3)駐波進(jìn)行中沒(méi)有能量的定向傳播，總能流密度為零。能

7、量在波腹和波節(jié)之間轉(zhuǎn)換。,當(dāng)各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)達(dá)到平衡位置時(shí)，動(dòng)能集中在波腹。當(dāng)各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)達(dá)到最大位移時(shí)，勢(shì)能集中在波節(jié)。,,,,,觀察者接收到的頻率有賴于波源或觀察者運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象，稱為多普勒效應(yīng)。,相對(duì)于媒質(zhì)，波源和觀察者同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí),即為觀察者接收到的頻率與波源的頻率之間的關(guān)系,6 . 多普勒效應(yīng),例1 一勁度系數(shù)為 k 的輕彈簧截成三等分，取出其中的兩根，將它們并聯(lián)在一起，下面掛一質(zhì)量為 m 的物體，則振動(dòng)系統(tǒng)的頻率為,解: 設(shè)每一

8、等分彈簧的勁度系數(shù)為 k0 ，,因此由彈簧串聯(lián)關(guān)系，有,兩個(gè)同樣的彈簧并聯(lián)，有,振動(dòng)頻率為,答案：( B),例2、如圖所示，一勁度系數(shù)為k的彈簧，一端固定，另一端系一輕繩，輕繩通過(guò)滑輪連接一個(gè)質(zhì)量為m的物體，滑輪的質(zhì)量為M，半徑為R。若繩與滑輪之間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，試證明物體的微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求出其振動(dòng)周期。設(shè)t=0時(shí)，彈簧沒(méi)有伸縮、物體也沒(méi)有初速度，寫(xiě)出物體的振動(dòng)表達(dá)式。,分析：該系統(tǒng)由彈簧、滑輪和物體組成。畫(huà)出隔離體受力圖，對(duì)質(zhì)點(diǎn)

9、應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，從而進(jìn)行判斷。,解法一 動(dòng)力學(xué)法,系統(tǒng)的受力圖如圖所示。選取物體平衡時(shí)的位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以豎直向下為x軸的正方向。因?yàn)槲矬w在平衡位置時(shí)已經(jīng)伸長(zhǎng)x0，所以有：,當(dāng)物體偏離平衡位置x時(shí)，物體的動(dòng)力學(xué)方程為：,此時(shí)，滑輪和彈簧的運(yùn)動(dòng)方程為：,而物體的加速度和滑輪的角速度之間的關(guān)系為：,聯(lián)立上述方程可以得到：,顯然上面的式子符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以該系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其角頻率

10、為：,所以周期為：,其中，,代入后可以得到：,根據(jù)初始條件：當(dāng)t=0時(shí)，,所以,所以，其振動(dòng)表達(dá)式為：,解法二 能量法,由彈簧、物體、滑輪和地球組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。,物體在任一位置x時(shí)，取平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，于是系統(tǒng)的機(jī)械能為：,將上式兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，可以得到：,其中，,代入上面式子，可以得到：,這與用動(dòng)力學(xué)法解得的結(jié)果相同。,例3、有三個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程分別為：,試求合振動(dòng)方程

11、。,解：方法一（旋轉(zhuǎn)矢量法）,取坐標(biāo)Ox，每一振動(dòng)相位差為π/3，三個(gè)分振動(dòng)以及合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量位置，如圖可以表示出來(lái)。,由圖可以求出合振動(dòng)的振幅為：,合振動(dòng)的初始位相為：,所以，合振動(dòng)的振動(dòng)方程為：,方法二、（解析法）,直接利用三角函數(shù)的計(jì)算，可以求出合振動(dòng)方程為：,例4.一列波長(zhǎng)為? 的平面簡(jiǎn)諧波沿x 軸正方向傳播。 已知在 x = ? /2 處 振動(dòng)表達(dá)式為 y =A cos ? t ,,（1）求該平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)

12、;,（2）若在波線上 處反射,反射點(diǎn)為一固定端，,求反射波的波函數(shù)。,【解】,（1）入射波的波函數(shù),畫(huà)出示意圖,找任意一點(diǎn) x,反射有半波損失，,到達(dá)L處的振動(dòng)方程為,已求得入射波的波函數(shù),L處反射的振動(dòng)方程,反射波的波函數(shù),得,例5: 如圖所示，波源位于O處，由波源向左右兩邊發(fā)出振幅為A，角頻率為ω，波速為u的簡(jiǎn)諧波。若波密介質(zhì)的反射面 BB` 與點(diǎn) O 的距離為 d=5λ/4,

13、 試討論合成波的性質(zhì)。,解：,設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為正方向。,自 O 點(diǎn)向右的波：,自 O 點(diǎn)向左的波：,反射點(diǎn) p 處入射波引起的振動(dòng)：,反射波在 p 點(diǎn)的振動(dòng)（有半波損失）：,反射波的波函數(shù),,例6、如圖所示，地面上一波源S，與一高頻率探測(cè)器D之間的距離為d，從S直接發(fā)出的波與從S發(fā)出經(jīng)高度為H的水平層反射后的波，在D處加強(qiáng)。當(dāng)水平層逐漸升高h(yuǎn)距離時(shí)，在D處沒(méi)有測(cè)到訊號(hào)，如果不考慮大氣對(duì)波能量吸收，試求波源S發(fā)出波的波長(zhǎng)λ。,解

14、：自S發(fā)出的波，經(jīng)過(guò)高度為H的水平層反射后至D，全程設(shè)為d1，經(jīng)高度為（H+h)的水平層至D，全程設(shè)為d2。直達(dá)波與經(jīng)過(guò)高度為H的水平層反射的波在D處同相。,由于在B，C處反射的情況是相同的，所以兩次測(cè)量不會(huì)由于反射引起不同的效果，所以可以假設(shè)在B、C處反射時(shí)都有半波損失，根據(jù)題意：,直達(dá)波與經(jīng)過(guò)高度為（H+h）的水平層反射的波在D處反相，則,由（1）、（2）式可以得到：,由圖中幾何關(guān)系可以看出：,另外：,從（3）、（4）解出d1和d2