控制系統(tǒng)模型及基本定義

1、控制系統(tǒng)模型及基本定義,控制系統(tǒng)模型,數(shù)學(xué)模型,控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在控制系統(tǒng)的研究中有著相當(dāng)重要的地位，要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真處理，首先應(yīng)當(dāng)知道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后才可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模擬。同樣，如果知道了系統(tǒng)的模型，才可以在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制器，使得系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到預(yù)期的效果，從而符合工程實(shí)際的需要。數(shù)學(xué)模型是描述元素之間、子系統(tǒng)之間、層次之間相互作用以及系統(tǒng)與環(huán)境相互作用的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 原則上講，現(xiàn)代數(shù)學(xué)所提供的一切數(shù)學(xué)表達(dá)形式，包

2、括幾何圖形、代數(shù)結(jié)構(gòu)等，均可以作為一定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,數(shù)學(xué)模型,列寫系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的步驟:確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；根據(jù)物理定律或化學(xué)定律（機(jī)理），依此列寫各元件的運(yùn)動(dòng)方程，在條件允許的情況下忽略次要因素，適當(dāng)簡(jiǎn)化；消去中間變量，得到只含輸入、輸出量的標(biāo)準(zhǔn)形式。,兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子,,由質(zhì)量、彈簧和空氣阻尼器組成的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子,,RLC串聯(lián)電路,系統(tǒng)的兩種數(shù)學(xué)描述,方塊以外的部分為系統(tǒng)環(huán)境，環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的作用為系統(tǒng)輸入，系統(tǒng)

3、對(duì)環(huán)境的作用為系統(tǒng)輸出，分別用u1 , u2 , … up和y1 , y2 , … yq表示，稱為系統(tǒng)的外部變量。系統(tǒng)的內(nèi)部變量用x1 , x2 , … xn表示，用以刻劃系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)刻所處狀況。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述就是反映系統(tǒng)變量間因果關(guān)系和變換關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。,x1 , x2 , … xn,,,,,,,,,u1u2up,y1y2yq,系統(tǒng)的方塊圖表示,系統(tǒng)的兩種數(shù)學(xué)描述,系統(tǒng)的外部描述 又稱輸入－輸出描述，是將系統(tǒng)

4、看成一個(gè)“黑箱”，不去表征系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量，只是反映外部變量組間的因果關(guān)系，即輸出和輸入間的因果關(guān)系。例如對(duì)于對(duì)于單輸入單輸出線性系統(tǒng)，可用以下微分方程描述:,用傳遞函數(shù)可表示為:,系統(tǒng)的兩種數(shù)學(xué)描述,系統(tǒng)的內(nèi)部描述 又稱狀態(tài)空間描述，是基于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析的一類數(shù)學(xué)模型，由兩個(gè)數(shù)學(xué)方程組成。一個(gè)是反映系統(tǒng)內(nèi)部變量組x1 , x2 , … xn和輸入變量組u1 , u2 , … up間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，常具有微分方

5、程或差分方程的形式，稱為狀態(tài)方程。另一個(gè)是表征系統(tǒng)內(nèi)部變量組x1 , x2 , … xn及輸入變量組u1 , u2 , … up和輸出變量組間y1 , y2 , … yq間轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，具有代數(shù)方程的形式，稱為輸出方程。由狀態(tài)變量構(gòu)成的列向量:,稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，簡(jiǎn)稱為狀態(tài)。狀態(tài)空間則定義為狀態(tài)向量取值的一個(gè)向量空間。,系統(tǒng)的兩種數(shù)學(xué)描述,外部描述是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全描述，它不能反映黑箱內(nèi)部的特性，系統(tǒng)輸出的變化是由輸入引起的

6、；內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述，它能完全表征系統(tǒng)的一切動(dòng)力學(xué)特性，它把系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的描述考慮為一個(gè)更為細(xì)致的過程：輸入引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化，而狀態(tài)和輸入共同決定了輸出的變化。,系統(tǒng)的分類,線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)；時(shí)變系統(tǒng)和時(shí)不變系統(tǒng)；連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)；確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)；,系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述可分為以下幾類：,線性系統(tǒng),,線性系統(tǒng)必須滿足下列兩個(gè)條件：,a、齊次性,,線性系統(tǒng),,,線性系統(tǒng),,,線性系統(tǒng),,x1(t),y1(t

7、),x2(t),y2(t),ax1(t),ay1(t),若 x1(t)?y1(t)則 ax1(t)?ay1(t),b、迭加性,,線性系統(tǒng),,x1(t),y1(t),,線性系統(tǒng),,x1(t) +x2(t),y1(t)+y2(t),若 x1(t)?y1(t) x2(t)?y2(t)則 x1(t)+ x2(t) ?y1(t)+y2(t),線性系統(tǒng)的齊次性與疊加行可以統(tǒng)一地表示為：,a1x1(t)+ a2x2(t) ?a1y1(

8、t)+a2y2(t),非線性系統(tǒng),,不滿足線性條件中的任一條，或者說，在一自動(dòng)控制裝置中只要包含由非線性的環(huán)節(jié)（元件或部件）時(shí)，就是非線性系統(tǒng)。幾乎所有系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的一種粗略的簡(jiǎn)化模型。但是相當(dāng)多的實(shí)際系統(tǒng)都可按線性系統(tǒng)處理，其分析結(jié)果在足夠的精度下接近于系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。而對(duì)非線性項(xiàng)不能忽略的系統(tǒng)，只能作為非線性系統(tǒng)來處理。對(duì)非線性方程的求解，至今沒有普遍有效的數(shù)學(xué)工具與方法。,實(shí)例分析：登月艙的軟著陸,

9、定義狀態(tài)變量為x1=y,x2=dy/dt,x3=m，控制為u=dm/dt，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為,,,,,,,,,,,y,mg,推進(jìn)力＝kdm/dt,艙體,月球表面,頻域模型,,,,,,u,y,串聯(lián)系統(tǒng)傳遞函數(shù),,,結(jié)論：串聯(lián)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積。,,G1(s),,,G2(s),,G2(s)G1(s),,u,u,y,y,并聯(lián)系統(tǒng)傳遞函數(shù),,,,G1(s),,,G2(s),y,,,,,,,,,G1(s)+G2(s),,結(jié)

10、論：并聯(lián)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。,y,u,u,反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù),,,,,,,,,,,,,-,G(s),K(s),u,y,前饋通道：由偏差信號(hào)至輸出信號(hào)的通道；反饋通道：由輸出信號(hào)至反饋信號(hào)的通道。,反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù),,,,,,,,,,,,,+,G(s),K(s),u,y,結(jié)論：,當(dāng)為正反饋時(shí),時(shí)域模型,x代表狀態(tài)，u代表輸入，y代表輸出，A、B、C分別為維數(shù)相容的矩陣從u到y(tǒng)的傳遞函數(shù)為,,,－狀態(tài)方程,－輸出方程,兩

11、類模型之間的轉(zhuǎn)化,等價(jià)于,,,,,引入兩個(gè)狀態(tài)變量：,則,設(shè),即,輸出變量：,則,則狀態(tài)方程為,輸出方程為,如RLC電路：,給定系統(tǒng)狀態(tài)方程,系統(tǒng)的特征值定義為如下特征方程,的根。則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是其特征值全部落在左半平面。,能控性與能觀性,對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)來說，如果我們已知其狀態(tài)方程和輸出方程，那么就會(huì)產(chǎn)生這樣的問題：在對(duì)輸出經(jīng)過一段適當(dāng)時(shí)間的觀測(cè)之后，能否據(jù)此得知系統(tǒng)的狀態(tài)？這是能觀測(cè)性問題。其次，如果我們知道了系統(tǒng)的

12、狀態(tài)，那么，當(dāng)我們加入適當(dāng)?shù)妮斎胫?，這個(gè)系統(tǒng)能不能達(dá)到我們所預(yù)期的狀態(tài)？這是能控性問題。,,x1,,,x2,y1,,,,u,x1,,x2,y1,,,,u,,y2,不能觀測(cè)的系統(tǒng),不能控制的系統(tǒng),能控性,對(duì)于系統(tǒng) 的一個(gè)初始狀態(tài)x(0)=x0?0，如果存在一個(gè)時(shí)刻t1>0和一個(gè)允許控制u(t)，t?[0, t1]使得狀態(tài)x0轉(zhuǎn)移到 t1時(shí)x(t1)=0，則稱狀態(tài)x0是能控的。如果該系統(tǒng)的任意非

13、零狀態(tài)均可控，則稱該系統(tǒng)是完全能控的。,,能控性表明存在輸入在有限時(shí)間內(nèi)將狀態(tài)引導(dǎo)至零。,能控性的幾點(diǎn)說明,定義中只要求在可找到的輸入u的作用下，使非零狀態(tài)x0在有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，而對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡并不加以限制和規(guī)定；上述定義規(guī)定由非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，如果將其變更為由零狀態(tài)達(dá)到非零狀態(tài)，則稱狀態(tài)能達(dá)。對(duì)于連續(xù)的線性定常系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性是等價(jià)的；系統(tǒng)為不完全能控的情況是一種“奇異”的情況，系統(tǒng)中組成元件的參數(shù)值的很小的

14、變動(dòng)都可使其成為完全能控。所以，對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，系統(tǒng)為能控的概率幾乎等于1；,,能觀性,對(duì)系統(tǒng) 的一個(gè)非零初始狀態(tài)x0，如果存在一個(gè)有限時(shí)刻t1使得對(duì)所有的t?[0, t1]都有y(t)＝0，則稱狀態(tài)x0是不能觀測(cè)的。如果該系統(tǒng)的所有非零初始狀態(tài)都不是不能觀測(cè)的，則稱該系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的。,,能觀性表明由任何有限時(shí)間區(qū)間上的輸出信息可唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0。,實(shí)例分析：

15、不能控和不能觀測(cè)的電路,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,R,R,R,R,C,x,+,-,u(t),+,-,y,系統(tǒng)的狀態(tài)變量為電容端電壓x，輸入為電壓源u(t)，輸出為電壓y。,能控性和能觀性的代數(shù)判據(jù),系統(tǒng) 完全能控當(dāng)且僅當(dāng)?shù)闹葹閚。該系統(tǒng)完全能觀當(dāng)且僅當(dāng) 的秩為n。,,,,例子,判斷雙輸入系統(tǒng)的能控性 其能控性矩陣

16、是,,,,可知rankQc=3，因此系統(tǒng)能控。,沒有閉卷考試。采用口頭報(bào)告的形式，以 PowerPoint 形式在課堂上匯報(bào)，每人15分鐘。報(bào)告內(nèi)容為運(yùn)用在本課上所學(xué)的理論和方法，全面介紹問題分析、解決方案和結(jié)果，并盡可能利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真。鼓勵(lì)同學(xué)結(jié)合自己的專業(yè)或興趣，自己查找資料和尋找題目。本課程設(shè)立的目的是為了培養(yǎng)學(xué)生對(duì)具體問題的分析研究能力。希望各位同學(xué)深入分析研究問題的本質(zhì)，靈活運(yùn)用系統(tǒng)與控制課程中介紹的概念、思想和方法