概率統(tǒng)計總復(fù)習(xí)浙江大學(xué)盛驟

1、《概率統(tǒng)計》復(fù)習(xí),復(fù)習(xí),復(fù)習(xí)2,各 章 要 點,第一章,,1. 概率性質(zhì) 古典概率,2.條件概率,,乘法公式,全、貝公式,3.事件獨立性,第二章,,1.分布律分布函數(shù)定義性質(zhì),2.七個常用分布,3.隨機變量的函數(shù)的分布,一二章,例1,例1,(1) 在古典概型的隨機試驗中,,Ø,( ),√,(2) 若事件 A, B, C , D 相互獨立, 則,√,事件,若事件 A1, A2, …, An 相互獨立, 將

2、它 們?nèi)我夥殖?k 組, 同一事件不能同時 屬于兩個不同的組, 則對每組事件進 行求和、積、差、逆 等運算所得到 的 k 個事件也相互獨立.,(3) 若事件 A 與 B獨立, B 與 C獨立,,則事件 A與 C 也相互獨立. ( ),事件相互獨立不具有傳遞性.,,例2,例2,對任意事件A, B下列結(jié)論正確的是,( ),(a),(b),(c),(d),解,,選b. d, c

3、顯然錯,,可證 b 是對的.,b,例3 小王忘了朋友家電話號碼的最后一位,數(shù), 故只能隨意撥最后一個號, 則他撥三次,由乘法公式,設(shè)事件 表示“三次撥號至少一次撥通”,表示“第 i 次撥通”,則,解,例3,可撥通朋友家的概率為,0.3,例4 小王忘了朋友家電話號碼的最后一位,數(shù), 他只能隨意撥最后一個號, 他連撥三次，,由乘法公式,設(shè),表示“第 i 次撥通”,解一,例4,求第三次才撥通的概率.,解二,√,從題目敘

4、述看要求的是無條件概率.,,,產(chǎn)生誤解的原因是未能仔細讀題，,未能分清條件概率與無條件概率的區(qū)別.,本題若改敘為：… 他連撥三次，已,知前兩次都未撥通,求第三次撥通的概率.,此時，求的才是條件概率.,,例5,例5 10件產(chǎn)品中有3 件次品, 從中任取 2 件.,在所取 2 件中有一件是次品的條件下, 求,另一件也是次品的概率.,解1,設(shè)事件 表示“所取 2 件中有一件次品”,事件 表示“ 另一件也是次品”. 則,解2,某廠卡

5、車運送防“非典”用品下鄉(xiāng)，頂層裝10個紙箱，其中5箱民用口罩、2箱醫(yī)用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失1箱，不知丟失哪一箱. 現(xiàn)從剩下 9箱中任意打開2箱，結(jié)果都是民用口罩，求丟失的一箱也是民用口罩的概率.,例6,例6,表示事件“丟失的一箱為 k ”,,表示事件“任取 2 箱都是民用口罩”,解,,分別表示民用口罩，醫(yī)用,口罩，消毒棉花.,,,,由全概率公式,由貝葉斯公式,解二,（縮減樣本空間法）,去掉打開的 2 箱民用

6、口罩，,解二比解一簡單十倍！,基本事件總數(shù),有利的基本事件數(shù),例7 (1) 是 的密度函數(shù) 則 . ( ),(2) 若 , 則 ( ),事實上由§2.4 得 非均勻分布函數(shù),(3) 若 , 則

7、 ( ),√,例7,例8,內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率,例8 設(shè)隨機變量 的絕對值不大于 1 ；,在事件 出現(xiàn)的條件下，,與該子區(qū)間的長度成正比.,(1) 的分布函數(shù),(2) 取負值的概率,解,(1),(2),,在,試求,,①,的三性質(zhì)都不滿足,單調(diào)減,②,③,右不連續(xù),未定義,,分布函數(shù) 三性質(zhì),②,,解,當,當

8、 推導(dǎo)較復(fù)雜先做準備工作.,由題設(shè)知,設(shè),于是,上式中令 得,,又,于是當 時，,,,(2),,由題設(shè) 得,[附] k 的另一求法,落入?yún)^(qū)間( 1 , 3 )的概率最大.,例9 設(shè) 當

9、 時,,令,解,例9,第三章,2. 邊緣分布 條件分布,3. 隨機變量的獨立性,第四章,,1. 期望 方差定義 性質(zhì),2. 相關(guān)系數(shù) 相關(guān)性,3. 期望的應(yīng)用,,1.聯(lián)合分布律 分布函數(shù)定義性質(zhì),4. 隨機變量的函數(shù)的分布,三四章,二維隨機變量的函數(shù)的分布,~,的 p.d.f.,,,例12,例12 設(shè)隨機變量 X、Y 相互獨立, 且都服,. 求,從,解,當 時，由獨立性,當

10、 時，,所以,( ),由于X、Y 的隨機性, 故不能保證恒有,或,,解,由于相互獨立的正態(tài)變量的線性組合,仍是正態(tài)變量，故,本題設(shè) 是關(guān)鍵.若不然,雖能算出 但很難算,,例13 卡車裝運水泥, 設(shè)每袋重量(gk) X 服從,例13,問裝多少袋水泥, 使總重量,超過2000的概率不大于0.05.,解一,設(shè)裝m 袋水泥,總重量為mX, 據(jù)題設(shè)有,所以至多裝43袋水泥.,?,要學(xué)會對答案的粗略檢驗,解二

11、,設(shè)裝m 袋水泥,總重量為mX, 據(jù)題設(shè)有,所以至多裝37袋水泥.,?,要徹底的隨機！,解,設(shè)裝m 袋水泥, 表示第 袋水泥重量.,于是總重量為,所以至多裝39袋水泥.,第五章,,1. 切貝雪夫不等式,2. 中心極限定理的應(yīng)用,第六章,1. 統(tǒng)計量 總體 樣本及其空間,2. 常用“三抽樣分布”定義 性質(zhì) 各分布分位點定義 及 相互 關(guān)系,,五六章,例14,例14,某大賣場某種商品價格波動為隨

12、機,變量.設(shè)第 i 天(較前一天)的價格變化為,獨立同分布,,為,(元/斤) 為現(xiàn)在的,價格.,第 n 天的價格，,解,①,②,應(yīng)用,(應(yīng)用題),備一筆現(xiàn)金, 已知這批債券共發(fā)放了500張,每張須付本息1000元, 設(shè)持券人(一人一券),銀行為支付某日即將到期的債券須準,到期日到銀行領(lǐng)取本息的概率為 0.4, 問銀,行于該日應(yīng)準備多少現(xiàn)金才能以 99.9% 的,把握滿足客戶的兌換.,解,設(shè),1 第 i 個持券人到期日來兌換,0

13、 第 i 個持券人到期日未兌換,,則到期日來銀行兌換的總?cè)藬?shù)為,設(shè)銀行需準備1000 m 元 ,,兌換總額為 ,,由中心極限定理,所以銀行需準備23.4萬元.,例15 一本書有1000000個印刷符號, 排版,時每個符號被排錯的概率為千分之一.校,對時,每個排版錯誤被改正的概率為0.99，,求在校對后錯誤不多于15個的概率.,解,設(shè),1 第 i 個印刷符號被排錯,0 第 i 個印刷符號未排錯,,則總

14、的被排錯的印刷符號個數(shù),且,例15,設(shè)校對后錯誤個數(shù)為 ,,則近似有,由中心極限定理,于是,則,解,令,1 第 i 個符號被排錯校對后仍錯,0 其 他,,由于排版與校對是兩個獨立的工作, 因而,設(shè)校對后錯誤個數(shù)為 , 則,,由中心極限定理,例16 一保險公司有10000人投保，每人每年,付12元保險費，已知一年內(nèi)投保人死亡率,為0.00

15、6.若死亡公司給死者家屬1000元.求,(1) 保險公司年利潤為 0 的概率；,(2) 保險公司年利潤大于60000元 的概率；,解,例16,設(shè) 為投保的10000人中一年內(nèi)死亡的,人數(shù).則,利用泊松定理，取,(1) 設(shè)保險公司年利潤為 , 則,(2) 由中心極限定理,例17 從正態(tài)總體 N (? ,? 2 ) 中取容量為16 的樣本, S2 為樣本方差,則D (S2) = ( ),解,例17,例18

16、 設(shè) 是來自正態(tài)總體 X,的簡單隨機樣本.,證明,證,,從而,例18,第七章,,點估計的三種方法 及評價標準,2. 參數(shù)的區(qū)間估計,第八章,1. 假設(shè)檢驗的有關(guān)概念,2.參數(shù)的假設(shè)檢驗,,七八章,例19,例19 設(shè)總體 X 的分布密度函數(shù)為,求 的矩估計量 ,并計算,解,估計量是樣本的函數(shù),令,例20,例20 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為,解,的極大似然估計量.,為

17、 X 的一個樣本,求參數(shù),,任一樣本函數(shù),,似然方程組為,本題 的估計并不能通過似然方程求得,解,由題設(shè)，若 必須,即,越大， 越大，故,的極大似然估計可通過似然方程求得.,,是取自對數(shù)正態(tài)分布,,例21,設(shè),求 的極大似然估計.,解,例21,的密度函數(shù),的密度函數(shù),由極大似然估計的不變性得：,其中,一般正態(tài) 參數(shù)的極大似然估計是：,則對數(shù)正態(tài)參數(shù)的極大似然估計是：,設(shè)