楊輝三角的規(guī)律以及推導(dǎo)公式

1、楊輝三角的規(guī)律以及定理李博洋摘要摘要楊輝三角中的一些規(guī)律關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞楊輝三角冪二項(xiàng)式引言引言楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家。在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項(xiàng)式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”，它是世界的一大重要研究成果。我們則來對“楊輝三角”的規(guī)律進(jìn)行探討和研究。內(nèi)容1二項(xiàng)式定理與楊輝三角與楊輝三角聯(lián)系最緊密的是二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，即二項(xiàng)式定理。楊輝三角我們首先從一

2、個(gè)二次多項(xiàng)式(ab)2的展開式來探討。由上式得出：(ab)2＝a22abb2此代數(shù)式的系數(shù)為：121則(ab)3的展開式是什么呢？答案為：a33a2b3ab2b3由此可發(fā)現(xiàn)，此代數(shù)式的系數(shù)為：1331但似乎沒有什么規(guī)律，所以讓我們再來看看(ab)4的展開式。展開式為：a44a3b6a2b24ab3b4由此又可發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式的系數(shù)為：14641似乎發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，就可以發(fā)現(xiàn)以下呈三角形的數(shù)列：1(110)11(111)121(112)133

3、1(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)因此可得出二項(xiàng)式定理的公式為：(ab)n=C(n0)a^nb^0C(n1)a^(n1)b^1...C(nr)a^(nr)b^r...C(nn)a^0b^n因此，二項(xiàng)式定理與楊輝三角形是一對天然的數(shù)形趣遇，它把數(shù)形結(jié)合帶進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué)。求二項(xiàng)式展開式系數(shù)的問題，實(shí)際上是一種組合數(shù)的計(jì)算問題。用系數(shù)通項(xiàng)公式來計(jì)算，稱為“式算”；用楊輝三角形來計(jì)算，稱作“圖

4、算”。151010511615201561由上面可得：楊輝三角中n行中的第i個(gè)數(shù)是i1中前n1個(gè)數(shù)之和，即第n行的數(shù)分別為1、(1)中第n行之前的數(shù)字之和、(2)中第n行之前的數(shù)字之和、(3)中第n行之前的數(shù)字之和、(4)中第n行之前的數(shù)字之和、…、(n3)中第n行之前的數(shù)字之和、1?？偨Y(jié)楊輝三角對于我們好理解的規(guī)律，如下六點(diǎn)：1、每個(gè)數(shù)等于它上方兩數(shù)之和。2、每行數(shù)字左右對稱，由1開始逐漸變大。3、第n行的數(shù)字有n1項(xiàng)。4、第n行數(shù)字