《數(shù)學史》分析時代

1、,,分析時代,第七章,第七章 分析時代,微積分的創(chuàng)立，被譽為“人類精神的最高勝利”（恩格斯）．在18世紀，微積分進一步深入發(fā)展，這種發(fā)展與廣泛的應用緊密交熾在一起，刺激和推動了許多數(shù)學新分支的產(chǎn)生，從而形成了“分析”這樣一個在觀念和方法上都具有鮮明特點的數(shù)學領(lǐng)域．在數(shù)學史上，18世紀可以說是分析的時代，也是向現(xiàn)代數(shù)學過渡的重要時期．,,英國早期作出重要貢獻的數(shù)學家有：泰勒、麥克勞林、棣莫弗、斯特林等。

2、麥克勞林之后，英國數(shù)學陷入了長期停滯的狀態(tài)．微積分發(fā)明權(quán)的爭論滋長了不列顛數(shù)學家的民族保守情緒，使他們不能擺脫牛頓微積分學說中弱點的束縛．,7.1 18世紀的數(shù)學家,7.1.1 泰勒和麥克勞林,英格蘭數(shù)學家泰勒(Brook Taylor,1685—1731)做過英國皇家學會秘書．他在1715年出版的《正的和反的增量方法》一書中，陳述了他早在1712年就已獲得的著名定理,,泰勒公式使任意單變量函數(shù)展為冪級數(shù)成為可能，是微積分進一步發(fā)展的

3、有力武器．但泰勒對該定理的證明很不嚴謹，也沒有考慮級數(shù)的收斂性．,泰勒公式在 時的特殊情形后來被愛丁堡大學教授麥克勞林重新得到，現(xiàn)代微積分教科書中一直把x=0時的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林級數(shù)”．,麥克勞林(Colin Maclaurin, 1698—1746, 蘇格蘭)是牛頓微積分學說的竭力維護者，他在這方面的代表性著作《流數(shù)論》（1742），以純熟卻難讀的幾何語言論證流數(shù)方法，試圖從“若干無例外的原則”出發(fā)嚴密推演牛頓

4、的流數(shù)論，這是使微積分形式化的努力，但因囿于幾何傳統(tǒng)而并不成功．,麥克勞林是一位數(shù)學上的奇才。他11歲就考上了格林斯哥大學。15歲取得碩士學位，并且為自己關(guān)于重力的功的論文作了杰出的公開答辯。19歲就主持阿伯丁的馬里沙學院數(shù)學系，并于21歲發(fā)表其第一本重要著作《構(gòu)造幾何》。他27歲成為愛丁堡大學數(shù)學教授的代理或助理。,他關(guān)于流數(shù)的論文是在他44歲(只在死前4年)發(fā)表的，這是麥克勞林為了答復英國哲學家、牧師伯克萊對微積分學原理的攻擊而寫的

5、，也是牛頓流數(shù)法的第一篇符合邏輯的、系統(tǒng)的解說。,,麥克勞林級數(shù)：,7.1.2 伯努利家族,在數(shù)學和科學的歷史上最著名的家族之一是瑞士伯努利家族.從十七世紀末葉以來，這個非凡的瑞士家族在三代時間里生出了八個數(shù)學家(其中三個是杰出的)，他們又生出了在許多領(lǐng)域里嶄露頭角的成群后代．,這個家族的記錄開始于雅各布·伯努利(1654—1705)和約翰·伯努利(1667—1748)兄弟。他們都是萊布尼茨忠實的學生與朋友．他們的工

6、作，構(gòu)成了現(xiàn)今所謂初等微積分的大部分內(nèi)容．,,,雅各布·伯努利對數(shù)學的主要貢獻是：,△發(fā)表過無窮級數(shù)的論文,△研究過許多特殊曲線,△推導出平面曲線的曲率半徑公式,△引入伯努利數(shù),△發(fā)明極坐標,△提出概率論中的伯努利定理或大數(shù)定律,雅各布·伯努利從小喜愛科學，但父親執(zhí)意要他學神學，于是一有機會他便盡早放棄了神學。他自學了牛頓和萊布尼茲的微積分，從1687年起直到去世任巴塞耳(Basel)大學數(shù)學教授．,雅格布?伯努利

7、(瑞，1654-1705),約翰的著作，內(nèi)容很廣泛，它包括：,△與反射和折射有聯(lián)系的光學問題,△曲線族的正交軌線的確定,△用級數(shù)求曲線的長和區(qū)域的面積,△解析三角學,△最速降線問題和等時線問題,比起哥哥來，弟弟約翰·伯努利更是一位多產(chǎn)的數(shù)學家。他原來也錯選了職業(yè)，起先學醫(yī)，并在1694年獲巴塞耳大學博士學位，論文是關(guān)于肌肉收縮問題的．受哥哥的影響，他也愛上了微積分，并很快就掌握了它，用它來解決幾何學、微分方程和力學上的許多問題

8、．1695年，他任荷蘭格羅寧根(Groningen)大學數(shù)學物理學教授，而在他哥哥雅各布死后繼任巴塞耳大學教授．,約翰?伯努利(瑞，1667-1748),約翰之子丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli，1700一1782)，起初也像他父親一樣學醫(yī)，寫了一篇關(guān)于肺的作用的論文獲得醫(yī)學學位，并且也像他父親一樣馬上放棄原業(yè)而改攻他天生的專長，成為彼得堡的數(shù)學教授．1733年他回巴塞耳，先后任植物學、解剖學與物理學的教授．

9、他獲得法蘭西科學院的10項獎．,他在多年內(nèi)發(fā)表了物理學、概率論、微積分和微分方程方面的許多著作：,△提出倫理道德方面的數(shù)學期望的概念,△寫過關(guān)于潮汐的論文,△建立了空氣動力學理論，,△提出流體動力學原理,△研究了弦振動,許多人認為他是第一位真正的數(shù)學物理學家。,第一個把牛頓和萊布尼茨的微積分思想連接起來的人:,7.1.3 歐拉,18世紀微積分最重大的進步是由歐拉(Leonard Euler，瑞士,1707—1783)作出的．,瑞士法郎上

10、的歐拉,18世紀最偉大的數(shù)學家、分析的化身、“數(shù)學家之英雄”,,圣彼得堡科學院(1727-1741, 1766-1783)柏林科學院(1741-1766)1748年《無窮小分析引論》、1755年《微分學原理》、1768-1770年《積分學原理》最多產(chǎn)的數(shù)學家、《歐拉全集》84卷李善蘭譯的《代數(shù)學》（1859）等著作記載了歐拉的學說“讀讀歐拉，他是我們大家的老師”“四杰”：阿基米德、牛頓、歐拉、高斯,歐拉(瑞士, 1707-

11、1783),微積分史上里程碑式的著作 :,△ 1748年出版的《無限小分析引論》,△ 1755年發(fā)表的《微分學》,△ 1768—1770 發(fā)表《積分學》，共3卷,它們在很長時間里被當作分析課本的典范而普遍使用著。這三部著作包含了歐拉本人在分析領(lǐng)域的大量創(chuàng)造，同時引進了一批標準的符號如：,一 函數(shù)符號∑ 一 求和號 一 自然對數(shù)底 一 虛數(shù)號,歐拉出生于瑞士巴塞爾一個牧師家庭，13歲

12、就進入巴塞爾大學，數(shù)學老師是約翰·伯努利．,,伯努利后來在給歐拉的一封信中這樣贊許自己這位學生在分析方面的青出于蘭： “我介紹高等分析時，它還是個孩子，而您正在將它帶大成人．”,歐拉主要的科學生涯是在俄國圣彼得堡科學院(1727-1741；1766-1783)和德國柏林科學院(1741-1766)度過的．,,,歐拉是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學家．他生前發(fā)表的著作與論文有560余種，死后留下了大量手稿．歐拉自己說他未發(fā)表

13、的論文足夠彼得堡科學院用上20年，結(jié)果是直到1862年即他去世80年后，彼得堡科學院院報上還在刊登歐拉的遺作． 1911年瑞士自然科學協(xié)會開始出版歐拉全集，現(xiàn)已出版70多卷，計劃出齊84卷，都是大四開本．歐拉從18歲開始創(chuàng)作，到76歲逝世，因此單是收進全集的這些文稿，歐拉平均每天就要寫約1.5頁大四開紙的東西，而歐拉還有不少手稿在1771年的彼得堡大火中化為灰燼．,歐拉28歲左眼失明，56歲雙目失明，他完全是依靠驚人的

14、記憶和心算能力進行研究與寫作．,1783年9月的一天，歐拉在與同事討論了天王星軌道計算以后疾病發(fā)作，喃喃自語道：“我要死了!”如巴黎科學院秘書孔多塞(M．Condorcet)形容的那樣，他“停止了計算，也停止了生命．”,7.1.4 克萊洛和達朗貝爾,克萊洛(Claude Alexis Clairaut,l713-1765)是數(shù)學上的神童，11歲就寫了一篇關(guān)于三次曲線的論文。這篇早年的論文和以后的一篇關(guān)于空間撓曲線的微分幾何的奇妙論文，使

15、他未到法定的年齡(18歲)就獲得法國科學院的席位。,達朗貝爾(法, 1717-1783),自學成才，進入巴黎科學院：院士、終身秘書1751-1757年與狄德羅(1713-1784)共同主編《百科全書》“科學處于17世紀的數(shù)學時代到18世紀的力學時代，力學應該是數(shù)學家的主要興趣?！薄秳恿W》、《數(shù)學手冊》 數(shù)學分析的重要開拓者之一，其成就僅次于歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼爾?伯努利,伯樂,達朗貝爾對青年科學家十分熱情，他非常支

16、持青年科學家研究工作，也愿意在事業(yè)上幫助他們。 他曾推薦著名科學家拉格朗日到普魯士科學院工作，推薦著名科學家拉普拉斯到巴黎科學院工作。達朗貝爾自己也經(jīng)常與青年科學家進行學術(shù)討論，從中發(fā)現(xiàn)并引導他們的科學思想發(fā)展。在十八世紀的法國，達朗貝爾不僅燦爛了科學事業(yè)的今天，也照亮了科學事業(yè)的明天。,晚年,達朗貝爾的日常生活非常簡單，白天工作，晚上去沙龍活動。他終生未婚，但有一位患難與共、生死相依的情人——沙龍女主人

17、勒皮納斯。達朗貝爾與養(yǎng)父母感情一直很好，直到1765年他47歲時才因病離開養(yǎng)父母，住到了勒皮納斯家里，病愈后他一直居住在她的家里?？墒窃谝院蟮娜兆永锼谑聵I(yè)上進展緩慢，更使他悲痛欲絕的是勒皮納斯小姐于1776年去世了。在絕望中達朗貝爾度過了自己的晚年，1783年10月29日卒于巴黎。 　　 由于達朗貝爾生前反對宗教，巴黎市政府拒絕為他舉行葬禮。所以當這位科學巨匠離開這個世界的時候，既沒有隆重的葬禮、也沒有緬懷的追悼，只有

18、他一個人被安靜的埋葬在巴黎市郊的墓地里。,達朗貝爾(Jean-le-Rond d’Alembert，1717—1783)和克萊洛一樣，出生于巴黎，死于巴黎。但兩人卻是常不友好的、科學上的對手。達朗貝爾原是某貴婦的私生子，出生后被拋棄在巴黎一教堂旁，被一對窮苦的玻璃匠夫婦收養(yǎng)并接受教育。達朗貝爾24歲被接納到法國科學院，后竟成為巴黎科學院院士和終身秘書．,△ 1743年發(fā)表了他的《動力學論著》,△ 1744年寫了一篇關(guān)于流體的平衡和運動的

19、論文,△ 1746年寫了一篇關(guān)于風的起因的論文,△ 1747年寫了一篇關(guān)于振動弦的論文,在這些文章中，達朗貝爾導出了偏微分方程，這使他成為研究這種方程的先驅(qū)。,拉格朗日(法, 1736-1813),數(shù)學、力學和天文學中都有重大歷史性貢獻，分析學中僅次于歐位的最大開拓者，論著超過500篇1754年(18歲)發(fā)現(xiàn)萊布尼茨公式1755年任數(shù)學教授(都靈時期: 1754-1766)1788年《分析力學》(柏林時期: 1766-1787)

20、1797年《解析函數(shù)論》(巴黎時期: 1787-1813)分析力學的創(chuàng)立者、天體力學的奠基者1799年伯爵，1813年帝國大十字勛章,7.1.5 拉格朗日,,拉格朗日(Joseph Louis Lagrange，1736—1813)出生于意大利的都靈。19歲就被任命為都靈炮兵學校數(shù)學教授。歐拉和達朗貝爾力薦他到柏林科學院任職。1766年當歐拉離開柏林時，弗雷德里克大帝在寫給拉格朗日的信中說：“歐洲最偉大的國王”希望有“歐洲最偉大的數(shù)

21、學家”在他宮里。拉格朗日接受了這個邀請，擔任歐拉辭去的職位達二十年。,在離開柏林幾年之后，拉格朗日接受了新建立的高等師范學院的教授職位，后來又到高等工藝學院任教授。第一個學校是短命的，而第二個學校在數(shù)學史上是著名的，因為現(xiàn)代法蘭西的大數(shù)學家們中有許多在這里受過教育，而且有許多在這里當過教授。,拉格朗日,拉格朗日的著作對后來的數(shù)學研究有很深的影響，因為他是認識到分析的基礎(chǔ)處于完全不能令人滿意的狀態(tài)，從而試圖使微積分嚴謹化的最早的第一流數(shù)學

22、家。今天用得很普遍的記號 ,…就起源于拉格朗日。,拉格朗日嗜好數(shù)論，在這個領(lǐng)域中也寫了幾篇重要的論文。他在方程論方面的早期工作，使伽羅瓦后來有可能提出他的群論。,歐拉寫得過于細并且隨便憑借直觀，而拉格朗日寫得簡明并且謀求嚴格。他在風格上是“現(xiàn)代的”，堪稱第一個真正的分析家。拿破侖與他那個時代的許多法國大數(shù)學家很親近，他對拉格朗日總的評價是：,“拉格朗日是數(shù)學科學方面的高聳的金字塔?！?7.1.6

23、 拉普拉斯和勒讓德,拉普拉斯和勒讓德是拉格朗日的同時代的人，雖然他們的主要著作發(fā)表于十九世紀。,拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace，1749-1827) 1749年出生于法國諾曼底地區(qū)的一個貧窮的家庭。他的數(shù)學才能使他較早獲得好的教學職位。他在天體力學、概率論、微分方程和測地學領(lǐng)域內(nèi)，都做了杰出的工作。他寫了兩部不朽的著作：,,△ 《天體力學》（5卷，1799-1825）,△ 《概率的解析理論》（1812）,五卷《天體力

24、學》使他贏得了“法蘭西的牛頓”的稱號。,拉普拉斯,拉普拉斯對數(shù)學物理的影響是巨大的．通常認為他偏愛應用而對純粹數(shù)學不感興趣．美國天文學家鮑迪奇，在他把拉普拉斯的論著譯成英文時指出：,“每當我遇到拉普拉斯在書中說‘顯然可知’時，我就知道該花好多小時的冥思苦想去補充其脫節(jié)之處并確實證明它是多么顯然可知?！?但拉普拉斯有自己的想法．他在《概率的解析理論》“緒論”中曾這樣寫道：,“分析和自然哲學中最重大的發(fā)現(xiàn)都應歸功于這種豐富多產(chǎn)的方法，也就是

25、所謂的‘歸納’方法．牛頓二項式定理和萬有引力原理就是歸納法的成果”．,與18世紀的其他數(shù)學家相比，拉普拉斯更醉心于發(fā)現(xiàn)結(jié)果而淡出證明。不過無論如何，數(shù)學在他心目中有特殊的地位，因為他說過：“一切自然現(xiàn)象都是少數(shù)不變定律的數(shù)學推論”．,拉普拉斯的名字是與宇宙起源的星云學說、勢論的所謂拉普拉斯方程分不開的，雖然這兩項貢獻沒有—項是起源于拉普拉斯的。他的名字與拉普拉斯變換和行列式的拉普拉斯展開式，也是分不開的。,拉普拉斯曾得到達朗貝爾的幫助當

26、上了巴黎軍事學校數(shù)學教授，后來與拉格朗日(Lagrange)和勒讓德(Legendre)并稱“巴黎三L”．拉普拉斯是一個政治上的機會主義者，在法國革命動蕩不定的日子里，無論哪個黨偶然得勢，他都去逢迎。1827年逝世，正好是牛頓死后100年。據(jù)說留下的遺言是：,“我們知道的，是很微小的；我們不知道的，是無限的．”,勒讓德(Adrien-Marie Legendre，1752—1833)以其很通俗的《幾何學基本原理》在初等數(shù)學史上為人們熟知

27、。在其中他試圖以精心排列和簡化許多命題來對歐幾里得《原本》作教學方法上的改進。勒讓德在高等數(shù)學方面的主要工作集中在數(shù)論，橢圓函數(shù)、最小二乘法和積分上 。,勒讓德的名字，今天是與二階微分方程,聯(lián)系在一起的，這在應用數(shù)學上是相當重要的。滿足此微分方程的函數(shù)被稱作勒讓德函數(shù)。這種方程，當 為非負整數(shù)時，有特別有趣的所謂勒讓德多項式的多項式解。,7.1.7 蒙日,蒙日(Gaspard Monge，1746—1818)是一位幾何學者，16歲就

28、在里昂學院任物理學講師。1768年，蒙日在梅齊埃爾擔任數(shù)學教授，1771年還在那里擔任物理學教授；1780年被任命為巴黎利瑟姆動力學講座教授；1795年高等工藝學校建立，他首任校長，還在那里擔任數(shù)學教授。他在那里開設(shè)的畫法幾何課，聽課人數(shù)每次多達400余人。,除了創(chuàng)造射影幾何之外，蒙日還被認為是微分幾何之父。他寫的《分析在幾何學上的應用》出了五版，是曲面微分幾何最重要的早期論著之一。,蒙日不象三個L(Lagrange，Laplace和L

29、egendre)那樣避開法國革命，蒙日是支持法國革命的。他擔任過革命政府的海軍部長，并且參加了為軍隊制造武器和火藥的工作。曾簽署了處決路易十六的報告書。王政復辟后，蒙日被剝奪了一切職務，不久謝世。,他與拿破侖有親密的友誼，是拿破侖軍營中最有威信的科學參謀。他與數(shù)學家傅立葉(Joseph Fourier，1768—1831)一道隨拿破侖進行倒霉的1798年的埃及遠征。回到法國后，蒙日繼續(xù)擔任他在高等工藝學院的職位，在那里他被證明是一位非凡

30、的、天才的教師。他的演講啟發(fā)了許多后來有才能的幾何學者.,7.2 微積分的發(fā)展,18世紀這些數(shù)學家雖然不像牛頓、萊布尼茨那樣創(chuàng)立了微積分，但他們在微積分發(fā)展史上同樣功不可沒，假如沒有他們的奮力開發(fā)與仔細耕耘，牛頓和萊布尼茨草創(chuàng)的微積分領(lǐng)地就不可能那樣春色滿園，相反也許會變得荒蕪凋零．以下概要論述這一時期微積分深入發(fā)展的幾個主要方面．,(一)積分技術(shù)與橢圓積分,18世紀數(shù)學家們以高度的技巧，將牛頓和萊布尼茨的無限小算法施行到各類不同的函數(shù)

31、上，不僅發(fā)展了微積分本身，而且作出了許多影響深遠的新發(fā)現(xiàn)．在這方面，積分技術(shù)的推進尤為明顯．,約翰·伯努利和歐拉在他們的論著中使用變量代換和部分分式等方法求出了許多困難的積分，這些方法已經(jīng)成為今天微積分教科書中求函數(shù)積分的常用方法．,當18世紀的數(shù)學家們考慮無理函數(shù)的積分時，他們就在自己面前打開了一片新天地，因為他們發(fā)現(xiàn)許多這樣的積分不能用已知的初等函數(shù)來表示．例如雅各布·伯努利在求雙紐線（

32、 ）弧長時，得到弧長積分,,在天文學中很重要的橢圓弧長計算則引導到積分,歐拉在1744年處理彈性問題時也得到積分,,所有這些積分都屬于后來所說的“橢圓積分”的范疇，它們既不能用代數(shù)函數(shù)，也不能用通常的初等超越函數(shù)(如三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)表示出來．橢圓積分的一般形式是,,(其中 是 的有理函數(shù)， 則是一般的四次多項式)．,,勒讓德后來將所有的橢圓積分歸結(jié)為三種基本形式．對橢圓

33、函數(shù)的一般研究在19世紀20年代被阿貝爾和雅可比(C.G.Jacobi，1804—1851)分別獨立地從反演的角度發(fā)展為深刻的橢圓函數(shù)理論．,(二)微積分向多元函數(shù)的推廣,雖然微積分的創(chuàng)立者已經(jīng)接觸到了偏微商和重積分的概念，但將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立偏導數(shù)理論和多重積分理論的主要是18世紀的數(shù)學家．,1720年，尼古勞斯·伯努利(Nicolaus BernoulliⅡ)證明了函數(shù) 在一定條件下，

34、對 求偏導數(shù)其結(jié)果與求導順序無關(guān)，即相當于有,歐拉在1734年的一篇文章中也證明了同樣的事實．在此基礎(chǔ)上，歐拉在一系列的論文中發(fā)展了偏導數(shù)理論．,達朗貝爾在1743年的著作《動力學》和1747年關(guān)于弦振動的研究中，也推進了偏導數(shù)演算．不過當時一般都用同一個記號d表示通常導數(shù)與偏導數(shù)，專門的偏導數(shù)記號,多重積分實際上已包含在牛頓關(guān)于萬有引力的計算中，但牛頓使用了幾何論述．在18世紀，牛頓的工作被人以分析的形式推廣．1748年歐

35、拉用累次積分算出了表示一厚度為 的橢圓薄片對其中心正上方一質(zhì)點的引力的重積分：,,到19世紀40年代才由雅可比在其行列式理論中正式創(chuàng)用并逐漸普及 。,到1770年左右，歐拉已經(jīng)能給出計算二重定積分的一般程序．而拉格朗日在關(guān)于旋轉(zhuǎn)橢球的引力的著作中，用三重積分表示引力，并開始了多重積分變換的研究．,,(三)無窮級數(shù)理論,微積分的發(fā)展與無窮級數(shù)的研究密不可分．牛頓在他的流數(shù)論中自由運用無窮級數(shù)，他憑藉二項式定理得到了

36、 和 等許多函數(shù)的級數(shù)．泰勒級數(shù)則提供了將函數(shù)展成無窮級數(shù)的一般方法．在18世紀，各種初等函數(shù)的級數(shù)展開陸續(xù)得到，并在解析運算中被普遍用來代表函數(shù)而成為微積分的有力工具．,雅各布·伯努利在1689—1704年間撰寫了5篇關(guān)于無窮級數(shù)的論文，使他成為當時這一領(lǐng)域的權(quán)威，這些論文的主題也是關(guān)于函數(shù)的級數(shù)表示及其在求函數(shù)的微

37、分與積分、求曲線下的面積和曲線長等方面的應用．這些構(gòu)成了雅各布·伯努利對微積分算法的重要貢獻．,就級數(shù)理論本身而言，其中一個很有啟發(fā)性的工作是關(guān)于調(diào)和級數(shù),的和是無窮的證明．伯努利首先指出了,故有,這意味著可將原級數(shù)中的項分組并使每一組的和都大于1，于是我們總可以得到調(diào)和級數(shù)的有限多項的和，使它大于任何給定的量．,它相當于,其中的 叫做“伯努利數(shù)”。利用它可以作 的近似計算。當 很大時，,調(diào)和

38、級數(shù)的討論引起了對發(fā)散級數(shù)的興趣并產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果，特別是利用發(fā)散級數(shù)而獲得的一些著名的數(shù)值逼近公式．例如，斯特林在1730年得到一個發(fā)散的級數(shù)表示：,除了調(diào)和級數(shù)，當時引起熱烈辯論的另一類發(fā)散級數(shù)是,雅各布·伯努利在1696年的論文中作如下推理：,當 時得到：,但另一方面,伯努利稱這些互相矛盾的結(jié)果為“有趣的悖論”．,1703年，意大利數(shù)學家格蘭弟(G.Grandi)通過

39、 的級數(shù)展開又重新發(fā)現(xiàn)這一悖論：在級數(shù),中令 ，得,格蘭弟稱之為“無中生有．”,這類發(fā)散級數(shù)悖論刺激了人們對無窮級數(shù)收斂性的思考。18世紀先后出現(xiàn)了一些級數(shù)收斂判別法則．如萊布尼茨變號級數(shù)收斂定理(1713)；麥克勞林積分判別法(1742)；達朗貝爾級數(shù)絕對收斂判別法(1754)，等等．,(四)函數(shù)概念的深化,18世紀微積分發(fā)展的一個歷史性轉(zhuǎn)析，是將函數(shù)放到了中心的地位，而以往數(shù)學家們都以曲線作為微積分的主

40、要對象．這一轉(zhuǎn)折首先也應歸功于歐拉，歐拉在《無限小分析引論》中明確宣布：“數(shù)學分析是關(guān)于函數(shù)的科學”，微積分被看作是建立在微分基礎(chǔ)上的函數(shù)理論。,函數(shù)概念在17世紀已經(jīng)引入，牛頓《原理》中提出的“生成量”就是雛形的函數(shù)概念．萊布尼茨首先使用了“函數(shù)”(function)這一術(shù)語．他把函數(shù)看成是“像曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長度、垂線長度等所有與曲線上的點有關(guān)的量”．最先將函數(shù)概念公式化的是約翰·伯努利．歐拉則將伯努利的思想

41、進一步解析化，他在《無限小分析引論》中將函數(shù)定義為：,“變量的函數(shù)是一個由該變量與一些常數(shù)以任何方式組成的解析表達式．”,在這一定義的基礎(chǔ)上，函數(shù)概念本身大大豐富了．歐拉在《引論》中明確區(qū)分了代數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)，將超越函數(shù)看成是以無限多次算術(shù)運算而得到的表達式，也就是說可用無窮級數(shù)表示的函數(shù)．歐拉還區(qū)分了顯函數(shù)與隱函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)等．通過一些積分問題的求解，一系列新的超越函數(shù)被納入了函數(shù)的范疇．,除了上面已提到的橢圓積分外，18

42、世紀得到的最重要的超越函數(shù)還有Γ-函數(shù)、B-函數(shù)：,這兩個函數(shù)在歐拉《無限小分析引論》中都有論述，但歐拉早在1730年給哥德巴赫的一封信中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)它們．,Γ-函數(shù)是歐拉用插值法將階乘 概念推廣到非整數(shù)情形時得到的積分表達式，“Γ-函數(shù)”的名稱及記號 是勒讓德后來(1811)給出的．歐拉在1771年進一步建立了這兩個函數(shù)之間的關(guān)系：,Γ-函數(shù)，B-函數(shù)與橢圓積分等一起，是18世紀新發(fā)現(xiàn)的超越函數(shù)的

43、重要例子，對于函數(shù)概念的拓廣多有影響．,在18世紀，已有的初等函數(shù)包括三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)則被推廣到了復數(shù)領(lǐng)域，這也是受到了積分計算的激發(fā)．因為例如當人們用部分分式法則來求積分,時，會導致形式為,的積分，其中被積式的系數(shù)有可能是復數(shù)．由于這種積分在形式上可看作是對數(shù)函數(shù)，這就引起了關(guān)于什么是復數(shù)的對數(shù)和負數(shù)的對數(shù)的探討．,1714年英國人柯茨(R．Cotes)得到了關(guān)系：,這一結(jié)果后又被歐拉獨立得到并寫進了《無限小分析引論》，《

44、引論》中還發(fā)表了著名的公式：,這公式現(xiàn)在也叫“棣莫弗公式”，棣莫弗在1707—1730年曾逐步得到了相當于這一公式的結(jié)果 。這些公式不僅使人們能正確回答什么是復數(shù)的對數(shù)，更重要的是揭示了三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù) 函數(shù)之間的深刻聯(lián)系而形成了初等函數(shù)的統(tǒng)一理論．,(五)微積分嚴格化的嘗試,牛頓和萊布尼茨的微積分是不嚴格的，特別在使用無限小概念上的隨意與混亂,這使他們的學說從一開始就受到懷疑和批評．,1695年，荷蘭物理學家紐汶蒂(B.Nie

45、uwentyt)在其著作《無限小分析》中指責,牛頓的流數(shù)術(shù)敘述“模糊不清”，萊布尼茨的高階微分“缺乏根據(jù)”,最令人震憾的抨擊是來自英國哲學家、牧師伯克萊，伯克萊(G.Berkeley，1685—1753).1734年擔任克羅因(在今愛爾蘭境內(nèi))主教的伯克萊，發(fā)表了一本小冊子《分析學家，或致一位不信神的數(shù)學家》，副題中“不信神的數(shù)學家”是指曾幫助牛頓出版《原理》的哈雷(E.Haley)．伯克萊在書中認為當時的數(shù)學家們,以歸納代替演繹，沒有

46、為他們的方法提供合法性證明．,他集中攻擊牛頓流數(shù)論中關(guān)于無限小量的混亂假設(shè)，例如在首末比方法中，為了求冪 的流數(shù)，牛頓假設(shè) 有一個增量o，并以它去除 增量得,o +…,然后又讓o“消失”，得到 的流數(shù) 。伯克萊指出這里關(guān)于增量o的假設(shè)前后矛盾，是“分明的詭辯”．他譏諷地問道：,“這些消失的增量究竟是什么呢?它們既不是有限量，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄帕康墓砘陠?

47、”,《分析學家》的主要矛頭是牛頓的流數(shù)術(shù)，但對萊布尼茨的微積分也同樣竭力非難，認為其中的正確結(jié)論，是從錯誤的原理出發(fā)通過“錯誤的抵消”而獲得．,,伯克萊主教（愛爾蘭，1985）,伯克萊對微積分學說的攻擊主要是出于宗教的動機，目的是要證明：,流數(shù)原理并不比基督教義“構(gòu)思更清楚”、“推理更明白”．,但他的許多批評是切中要害的，在客觀上揭露了早期微積分的邏輯缺陷，刺激了數(shù)學家們?yōu)榻⑽⒎e分的嚴格基礎(chǔ)而努力．,為了回答伯克萊的攻擊，在英國本土產(chǎn)

48、生了許多為牛頓流數(shù)論辯護的著述，其中以前面已提到的麥克勞林《流數(shù)論》最為典型，但所有這些辯護都因堅持幾何論證而顯得軟弱無力．歐洲大陸的數(shù)學家們則力圖以代數(shù)化的途徑來克服微積分基礎(chǔ)的困難．在18世紀，這方面的代表人物是達朗貝爾、歐拉和拉格朗日．,達朗貝爾在他為《科學，藝術(shù)和工藝百科全書》撰寫的“微分”(Differentiel，1754)等條目中，討論他所謂的“微分演算的形而上學”，即微分學的基礎(chǔ)。他在這里發(fā)展了牛頓的首末比方法，但用極限

49、概念代替了含糊的“最初比”與“最終比”。,達朗貝爾定義量 的極限為 ，如果“量 可任意逼近 ，這就是說， 與 之間的差可任意小”．他指出微分演算“僅僅在于從代數(shù)上確定我們已通過線段來表達的比的極限”，并認為“這也許是關(guān)于微分學的最精確、最簡潔的定義”。,歐拉在《微分學》中提出了關(guān)于無限小的不同階零的理論，歐拉認為無限小就是零，但卻存在著“不同階的零”，也就是不同階的無限小，而“無限小演算只不過是不同

50、無限小量的幾何比的研究．”他斷言如果采取了這種觀點，“在這門崇高的科學中，我們就完全能保持最高度的數(shù)學嚴格性” 。,拉格朗日則在《解析函數(shù)論》(1797)一書中，主張用泰勒級數(shù)來定義導數(shù)，以此作為整個微分、積分演算的出發(fā)點而將微積分歸結(jié)為“純粹的代數(shù)分析藝術(shù)”．,我們可以說，歐拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化觀點，而達朗貝爾的極限觀點則為微積分的嚴格表述提供了合理內(nèi)核19世紀的分析嚴格化，正是這些不同方向融會發(fā)展的結(jié)果．,7.3

51、 微積分的應用與新分支的形成,18世紀數(shù)學家們一方面努力探索使微積分嚴格化的途徑；一方面又往往不顧基礎(chǔ)問題的困難而大膽前進，大大擴展了微積分的應用范圍，尤其是,與力學的有機結(jié)合，已成為18世紀數(shù)學的鮮明特征之一。,這種結(jié)合的緊密程度是數(shù)學史上任何時期不能比擬的．,當時幾乎所有數(shù)學家都不同程度地同時也是力學家．歐拉的名字同剛體運動與流體力學的基本方程相聯(lián)系；拉格朗日最享盛名的著作是《分析力學》(1788)，它將力學變成分析的一個分支;拉普

52、拉斯許多最重要的數(shù)學成果是包含在他的五大卷《天體力學》(1799—1825)中.,這種廣泛的應用成為新思想的源泉而使數(shù)學本身大大受惠，一系列新數(shù)學分支在18世紀成長起來．,(一)常微分方程,常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來的，牛頓和萊布尼茨的著作中都處理過與常微分方程有關(guān)的問題．從17世紀末開始，擺的運動、彈性理論以及天體力學等實際問題的研究引出了一系列常微分方程，這些問題在當時往往以挑戰(zhàn)的形式被提出而在數(shù)學家之間引起熱烈的討論．有

53、名的如懸鏈線問題：,求一根柔軟但不能伸長的繩子自由懸掛于兩定點而形成的曲線．,這問題于1690年由雅各布·伯努利提出，第二年萊布尼茨、惠更斯(C.Huygens，1629—1695)和約翰·伯努利均發(fā)表了自己的解答，其中約翰·伯努利通過建立懸鏈線方程,解出了曲線,類似的還有與鐘擺運動有關(guān)的“等時曲線”方程(1690，雅各布·伯努利),以及與光線路徑問題有關(guān)的“正交軌線”方程(1715，萊布尼茨、牛

54、頓)等．,數(shù)學家們起初是采用特殊的技巧來對付特殊的方程，但逐漸開始尋找?guī)毡樾缘姆椒ǎ?萊布尼茨在1691年已用分離變量法解出了形如,的方程．1696年他又用變量替換 將現(xiàn)在所稱的“伯努利方程”(雅各布·伯努利，1695),化成了關(guān)于 的線性微分方程．伯努利兄弟也推進了分離變量法與變量代換法．,解一階常微分方程 的所謂“積分因子法”，先后

55、由歐拉(1734—1735年間)和克萊洛(1739—1740年間)獨立地提出．他們的方法是將方程乘以一個叫“積分因子”的量而使它化為“恰當方程”．,恰當方程是指方程左端 恰好是某個函數(shù) 的全微分,歐拉和克萊洛都給出方程是恰當?shù)臈l件：,并指出了如果方程是恰當?shù)?，它就可以積分．,到1740年左右，幾乎所有求解—階方程的初等方法都已知道．,在常微分方程早期研究中出現(xiàn)的一類重要的非線

56、性方程是“黎卡提方程”,最先由意大利學者黎卡提(J.F.Ricatti)導出(1724)．這個方程本身是一階方程，但黎卡提是通過變量替換從一個二階方程“降階”得到它的，這種降階法后來成為處理高階方程的主要手段．,1728年，歐拉在一篇題為《將二階微分方程化為一階微分方程的新方法》的論文中，引進了著名的指數(shù)代換將三類相當廣泛的二階常微分方程化為一階方程，這是二階常微分方程系統(tǒng)研究的開始．,高階常微分方程求解的重要突破，是歐拉1743年關(guān)于

57、 階常系數(shù)線性齊次方程的完整解法．,對于 階常系數(shù)方程,歐拉利用指數(shù)代換 ( 為常數(shù))得到所謂特征方程,當 是該方程的一個實單根時，則 是原微分方程的一個特解．當 是特征方程的是重根時，歐拉用代換 求得,為包含 個任意常數(shù)的解．歐拉指出： 階方程的通解是其個特解的線性組合．他是最早明確區(qū)分

58、“通解”與“特解”的數(shù)學家．,18世紀常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774—1775年間用參數(shù)變易法解出了一般 階變系數(shù)非齊次常微分方程。簡單情形的參數(shù)變易法可追溯到牛頓和約翰·伯努利。歐拉在1739年則用此法解出了二階方程,拉格朗日研究一般方程,其中P、Q、R、…、V、X皆為x的函數(shù)．已知相應齊次方程的通解為,此處 為積分常數(shù),而 是齊次方程的特解．拉格朗日將

59、 看作 的函數(shù)并利用 的各階微商表達式及原方程求出 和 ，從而得到非齊次方程解．,參數(shù)變易法來源于天體力學中的三體問題．三體問題為常微分方程理論提供了持久的刺激．在此問題中扮演中心角色的是—組二階方程：,分別表示三個球形物體的質(zhì)量，,表示第 個物體質(zhì)量中心 的變動坐標， 為從 到 的距離．由于三體問題方程不可能精確地解出，其研究中一個重要的方向就是尋求近似解，即所謂“攝動理

60、論”．,參數(shù)變易法是攝動理論的有力工具．拉普拉斯《天體力學》對三體問題及攝動理論也有重大貢獻．,．,常微分方程,包含一個自變量和它的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導數(shù)的等式,形成和發(fā)展是與力學、天文學、物理學及其他自然科學技術(shù)的發(fā)展互相促進和互相推動的,初等解法,,分離變量法 變量代換法 積分因子法 黎卡提方程 降階法 常系數(shù)線性方程,2001年9月6日哈勃拍到的"星體爆發(fā)"星系,微積分對弦振動等力學問題的應用則引

61、導到另一門新的數(shù)學分支——偏微分方程，一般將達朗貝爾1747年發(fā)表的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》看作為偏微分方程論的發(fā)端．雖然在達朗貝爾之前，泰勒和約翰·伯努利等也曾對弦振動進行過數(shù)學描述，但他們均未采用偏導數(shù)概念,(二)偏微分方程,拉格朗日(法國, 1958),包含未知函數(shù)以及偏導數(shù)的等式,偏微分方程理論研究一個方程(組)是否有滿足某些補充條件的解, 有多少個解, 解的各種性質(zhì)與求解方法, 及其應用,達朗貝爾在上述

62、論文中則明確推導出了弦的振動所滿足的偏微分方程：,并給出了形如,的通解．達朗貝爾還討論了初始條件 ，他堅持18世紀標準的函數(shù)概念(即某種解析表達式)而要求初始函數(shù)和方程的解都是解析的．,在達朗貝爾發(fā)表他的弦振動研究后不久，歐拉也做了這方面的工作并寫成一篇論文《論弦的振動》(1749年發(fā)表)，歐拉沿用了達朗貝爾的方法，但引進了初始形狀為正弦級數(shù),的特解,與達朗貝爾不同的是，歐拉允許任意種類的初始曲

63、線，這方面的研究促使他對函數(shù)概念進行新的思考．,幾年之后，約翰·伯努利之子丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli，1700—1782)也發(fā)表了他的《弦振動問題新思考》(1753)，他假定了所有可能的初始曲線均可表為正弦級數(shù)，從而弦振動問題所有可能的解都能是正弦周期模式的迭加：,丹尼爾的做法受到了達朗貝爾與歐拉的激烈反對，后二者都認為并非每一個函數(shù)均能表示成無窮三角級數(shù)．這場圍繞著用三角級數(shù)表示任意函數(shù)的曠日

64、持久的爭論，將許多數(shù)學家卷了進來，直到19世紀傅里葉級數(shù)的工作出現(xiàn)以后才告平息．,18世紀獲得的另一類重要的偏微分方程是位勢方程，這與當時另一類熱門的力學問題——計算兩個物體之間的引力相關(guān)．,拉普拉斯在1785年發(fā)表的論文《球狀物體的引力理論與行星形狀》中，引進了標量函數(shù)y，它與引力分量 之間有關(guān)系：,稍后(1787)他又給出了這方程直角坐標形式,這就是所謂“位勢方程”，現(xiàn)在通常就稱“拉普拉斯方程”．,歐拉175

65、2年在研究流體內(nèi)部任一點速度問題時也曾得出同樣的方程，但他不知道怎樣求解，拉普拉斯首先用球調(diào)和函數(shù)解出了位勢方程．位勢理論主要是經(jīng)拉普拉斯的工作才引起普遍關(guān)注，并由格林、高斯等發(fā)展為數(shù)學物理的重要部分．,(三)變分法,在18世紀出現(xiàn)的數(shù)學新分支中，變分法的誕生最富有戲劇性．,變分法起源于“最速降線”和其它一些類似的問題．所謂最速降線問題，就是,求出兩點之間一條曲線，使質(zhì)點在重力作用下沿著它由一點至另一點降落最快(即所需時間最短)．,這問

66、題最早由約翰·伯努利提出來向其他數(shù)學家挑戰(zhàn)，刊登在1696年6月《教師學報》上．問題提出后半年未有回音，他遂于1697年發(fā)表著名的元旦《公告》，再次向“全世界最有才能的數(shù)學家”挑戰(zhàn)．《公告》中有一段話說：,“能夠解決這一非凡問題的人寥寥無幾，即使是那些對自己的方法自視甚高的人也不例外”．,這段話被認為是隱射牛頓的．牛頓于1月29日從造幣局回到住所，從一封法國來信中看到了伯努利的挑戰(zhàn)，他利用晚飯后的時間一舉給出了正確的解答——擺

67、線(或稱旋輪線)．牛頓將結(jié)果寫成短文匿名發(fā)表在《哲學匯刊》上，伯努利看到后拍案驚呼：,“從這鋒利的爪我認出了雄獅!”,差不多同時，萊布尼茨、洛必達(G.F.A.L’Hospital，1661—1704)、雅各布·伯努利以及約翰·伯努利本人也都得到了正確的解答，他們的解答都刊登在同年5月的《教師學報》上．,用現(xiàn)代符號表示，最速降線問題是相當于求函數(shù) ，使表示質(zhì)點從 到

68、 下降時間的積分,取最小值，其中g(shù)是重力加速度，α是與初始坐標及速度有關(guān)的常數(shù).,伽利略曾解過這個問題，但誤認為答案是一段圓?。ｎD和雅各布·伯努利等人的研究意義不僅是在于給出了正確的答案擺線，更重要的是揭示了這一問題區(qū)別于普通極值問題的特征．因此這些工作與同時期出現(xiàn)的等周問題(求具有給定弧長的曲線，使其所圍面積最大，屬帶附加條件的變分問題)，測地線問題(求曲面上兩點之間的最短路徑)等一道標志著一門新數(shù)學分支——變分法的

69、誕生．,變分法處理的是一個全新的課題：求變量,的極大或極小值，這個變量(積分)與通常函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，即它的值依賴于未知函數(shù)而不是未知實數(shù)．也就是說，如果將 看作是“函數(shù)”，那么可以說它是“函數(shù)的函數(shù)”．歐拉對于變分問題給出了一般的處理．他在1744年發(fā)表的《求某種具有極大或極小性質(zhì)的曲線的技巧》一書中，將上述積分取極值的問題看作是求函數(shù),的通常極值當 時的極限情形，從而導出了使積分 達到