《數(shù)學(xué)史》分析時(shí)代

1、,,分析時(shí)代,第七章,第七章 分析時(shí)代,微積分的創(chuàng)立，被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”（恩格斯）．在18世紀(jì)，微積分進(jìn)一步深入發(fā)展，這種發(fā)展與廣泛的應(yīng)用緊密交熾在一起，刺激和推動(dòng)了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生，從而形成了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域．在數(shù)學(xué)史上，18世紀(jì)可以說(shuō)是分析的時(shí)代，也是向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過(guò)渡的重要時(shí)期．,,英國(guó)早期作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家有：泰勒、麥克勞林、棣莫弗、斯特林等。

2、麥克勞林之后，英國(guó)數(shù)學(xué)陷入了長(zhǎng)期停滯的狀態(tài)．微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論滋長(zhǎng)了不列顛數(shù)學(xué)家的民族保守情緒，使他們不能擺脫牛頓微積分學(xué)說(shuō)中弱點(diǎn)的束縛．,7.1 18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家,7.1.1 泰勒和麥克勞林,英格蘭數(shù)學(xué)家泰勒(Brook Taylor,1685—1731)做過(guò)英國(guó)皇家學(xué)會(huì)秘書．他在1715年出版的《正的和反的增量方法》一書中，陳述了他早在1712年就已獲得的著名定理,,泰勒公式使任意單變量函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)成為可能，是微積分進(jìn)一步發(fā)展的

3、有力武器．但泰勒對(duì)該定理的證明很不嚴(yán)謹(jǐn)，也沒有考慮級(jí)數(shù)的收斂性．,泰勒公式在 時(shí)的特殊情形后來(lái)被愛丁堡大學(xué)教授麥克勞林重新得到，現(xiàn)代微積分教科書中一直把x=0時(shí)的泰勒級(jí)數(shù)稱為“麥克勞林級(jí)數(shù)”．,麥克勞林(Colin Maclaurin, 1698—1746, 蘇格蘭)是牛頓微積分學(xué)說(shuō)的竭力維護(hù)者，他在這方面的代表性著作《流數(shù)論》（1742），以純熟卻難讀的幾何語(yǔ)言論證流數(shù)方法，試圖從“若干無(wú)例外的原則”出發(fā)嚴(yán)密推演牛頓

4、的流數(shù)論，這是使微積分形式化的努力，但因囿于幾何傳統(tǒng)而并不成功．,麥克勞林是一位數(shù)學(xué)上的奇才。他11歲就考上了格林斯哥大學(xué)。15歲取得碩士學(xué)位，并且為自己關(guān)于重力的功的論文作了杰出的公開答辯。19歲就主持阿伯丁的馬里沙學(xué)院數(shù)學(xué)系，并于21歲發(fā)表其第一本重要著作《構(gòu)造幾何》。他27歲成為愛丁堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授的代理或助理。,他關(guān)于流數(shù)的論文是在他44歲(只在死前4年)發(fā)表的，這是麥克勞林為了答復(fù)英國(guó)哲學(xué)家、牧師伯克萊對(duì)微積分學(xué)原理的攻擊而寫的

5、，也是牛頓流數(shù)法的第一篇符合邏輯的、系統(tǒng)的解說(shuō)。,,麥克勞林級(jí)數(shù)：,7.1.2 伯努利家族,在數(shù)學(xué)和科學(xué)的歷史上最著名的家族之一是瑞士伯努利家族.從十七世紀(jì)末葉以來(lái)，這個(gè)非凡的瑞士家族在三代時(shí)間里生出了八個(gè)數(shù)學(xué)家(其中三個(gè)是杰出的)，他們又生出了在許多領(lǐng)域里嶄露頭角的成群后代．,這個(gè)家族的記錄開始于雅各布·伯努利(1654—1705)和約翰·伯努利(1667—1748)兄弟。他們都是萊布尼茨忠實(shí)的學(xué)生與朋友．他們的工

6、作，構(gòu)成了現(xiàn)今所謂初等微積分的大部分內(nèi)容．,,,雅各布·伯努利對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是：,△發(fā)表過(guò)無(wú)窮級(jí)數(shù)的論文,△研究過(guò)許多特殊曲線,△推導(dǎo)出平面曲線的曲率半徑公式,△引入伯努利數(shù),△發(fā)明極坐標(biāo),△提出概率論中的伯努利定理或大數(shù)定律,雅各布·伯努利從小喜愛科學(xué)，但父親執(zhí)意要他學(xué)神學(xué)，于是一有機(jī)會(huì)他便盡早放棄了神學(xué)。他自學(xué)了牛頓和萊布尼茲的微積分，從1687年起直到去世任巴塞耳(Basel)大學(xué)數(shù)學(xué)教授．,雅格布?伯努利

7、(瑞，1654-1705),約翰的著作，內(nèi)容很廣泛，它包括：,△與反射和折射有聯(lián)系的光學(xué)問(wèn)題,△曲線族的正交軌線的確定,△用級(jí)數(shù)求曲線的長(zhǎng)和區(qū)域的面積,△解析三角學(xué),△最速降線問(wèn)題和等時(shí)線問(wèn)題,比起哥哥來(lái)，弟弟約翰·伯努利更是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。他原來(lái)也錯(cuò)選了職業(yè)，起先學(xué)醫(yī)，并在1694年獲巴塞耳大學(xué)博士學(xué)位，論文是關(guān)于肌肉收縮問(wèn)題的．受哥哥的影響，他也愛上了微積分，并很快就掌握了它，用它來(lái)解決幾何學(xué)、微分方程和力學(xué)上的許多問(wèn)題

8、．1695年，他任荷蘭格羅寧根(Groningen)大學(xué)數(shù)學(xué)物理學(xué)教授，而在他哥哥雅各布死后繼任巴塞耳大學(xué)教授．,約翰?伯努利(瑞，1667-1748),約翰之子丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli，1700一1782)，起初也像他父親一樣學(xué)醫(yī)，寫了一篇關(guān)于肺的作用的論文獲得醫(yī)學(xué)學(xué)位，并且也像他父親一樣馬上放棄原業(yè)而改攻他天生的專長(zhǎng)，成為彼得堡的數(shù)學(xué)教授．1733年他回巴塞耳，先后任植物學(xué)、解剖學(xué)與物理學(xué)的教授．

9、他獲得法蘭西科學(xué)院的10項(xiàng)獎(jiǎng)．,他在多年內(nèi)發(fā)表了物理學(xué)、概率論、微積分和微分方程方面的許多著作：,△提出倫理道德方面的數(shù)學(xué)期望的概念,△寫過(guò)關(guān)于潮汐的論文,△建立了空氣動(dòng)力學(xué)理論，,△提出流體動(dòng)力學(xué)原理,△研究了弦振動(dòng),許多人認(rèn)為他是第一位真正的數(shù)學(xué)物理學(xué)家。,第一個(gè)把牛頓和萊布尼茨的微積分思想連接起來(lái)的人:,7.1.3 歐拉,18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步是由歐拉(Leonard Euler，瑞士,1707—1783)作出的．,瑞士法郎上

10、的歐拉,18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、分析的化身、“數(shù)學(xué)家之英雄”,,圣彼得堡科學(xué)院(1727-1741, 1766-1783)柏林科學(xué)院(1741-1766)1748年《無(wú)窮小分析引論》、1755年《微分學(xué)原理》、1768-1770年《積分學(xué)原理》最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家、《歐拉全集》84卷李善蘭譯的《代數(shù)學(xué)》（1859）等著作記載了歐拉的學(xué)說(shuō)“讀讀歐拉，他是我們大家的老師”“四杰”：阿基米德、牛頓、歐拉、高斯,歐拉(瑞士, 1707-

11、1783),微積分史上里程碑式的著作 :,△ 1748年出版的《無(wú)限小分析引論》,△ 1755年發(fā)表的《微分學(xué)》,△ 1768—1770 發(fā)表《積分學(xué)》，共3卷,它們?cè)诤荛L(zhǎng)時(shí)間里被當(dāng)作分析課本的典范而普遍使用著。這三部著作包含了歐拉本人在分析領(lǐng)域的大量創(chuàng)造，同時(shí)引進(jìn)了一批標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)如：,一 函數(shù)符號(hào)∑ 一 求和號(hào) 一 自然對(duì)數(shù)底 一 虛數(shù)號(hào),歐拉出生于瑞士巴塞爾一個(gè)牧師家庭，13歲

12、就進(jìn)入巴塞爾大學(xué)，數(shù)學(xué)老師是約翰·伯努利．,,伯努利后來(lái)在給歐拉的一封信中這樣贊許自己這位學(xué)生在分析方面的青出于蘭： “我介紹高等分析時(shí)，它還是個(gè)孩子，而您正在將它帶大成人．”,歐拉主要的科學(xué)生涯是在俄國(guó)圣彼得堡科學(xué)院(1727-1741；1766-1783)和德國(guó)柏林科學(xué)院(1741-1766)度過(guò)的．,,,歐拉是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家．他生前發(fā)表的著作與論文有560余種，死后留下了大量手稿．歐拉自己說(shuō)他未發(fā)表

13、的論文足夠彼得堡科學(xué)院用上20年，結(jié)果是直到1862年即他去世80年后，彼得堡科學(xué)院院報(bào)上還在刊登歐拉的遺作． 1911年瑞士自然科學(xué)協(xié)會(huì)開始出版歐拉全集，現(xiàn)已出版70多卷，計(jì)劃出齊84卷，都是大四開本．歐拉從18歲開始創(chuàng)作，到76歲逝世，因此單是收進(jìn)全集的這些文稿，歐拉平均每天就要寫約1.5頁(yè)大四開紙的東西，而歐拉還有不少手稿在1771年的彼得堡大火中化為灰燼．,歐拉28歲左眼失明，56歲雙目失明，他完全是依靠驚人的

14、記憶和心算能力進(jìn)行研究與寫作．,1783年9月的一天，歐拉在與同事討論了天王星軌道計(jì)算以后疾病發(fā)作，喃喃自語(yǔ)道：“我要死了!”如巴黎科學(xué)院秘書孔多塞(M．Condorcet)形容的那樣，他“停止了計(jì)算，也停止了生命．”,7.1.4 克萊洛和達(dá)朗貝爾,克萊洛(Claude Alexis Clairaut,l713-1765)是數(shù)學(xué)上的神童，11歲就寫了一篇關(guān)于三次曲線的論文。這篇早年的論文和以后的一篇關(guān)于空間撓曲線的微分幾何的奇妙論文，使

15、他未到法定的年齡(18歲)就獲得法國(guó)科學(xué)院的席位。,達(dá)朗貝爾(法, 1717-1783),自學(xué)成才，進(jìn)入巴黎科學(xué)院：院士、終身秘書1751-1757年與狄德羅(1713-1784)共同主編《百科全書》“科學(xué)處于17世紀(jì)的數(shù)學(xué)時(shí)代到18世紀(jì)的力學(xué)時(shí)代，力學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)家的主要興趣。”《動(dòng)力學(xué)》、《數(shù)學(xué)手冊(cè)》 數(shù)學(xué)分析的重要開拓者之一，其成就僅次于歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼爾?伯努利,伯樂,達(dá)朗貝爾對(duì)青年科學(xué)家十分熱情，他非常支

16、持青年科學(xué)家研究工作，也愿意在事業(yè)上幫助他們。 他曾推薦著名科學(xué)家拉格朗日到普魯士科學(xué)院工作，推薦著名科學(xué)家拉普拉斯到巴黎科學(xué)院工作。達(dá)朗貝爾自己也經(jīng)常與青年科學(xué)家進(jìn)行學(xué)術(shù)討論，從中發(fā)現(xiàn)并引導(dǎo)他們的科學(xué)思想發(fā)展。在十八世紀(jì)的法國(guó)，達(dá)朗貝爾不僅燦爛了科學(xué)事業(yè)的今天，也照亮了科學(xué)事業(yè)的明天。,晚年,達(dá)朗貝爾的日常生活非常簡(jiǎn)單，白天工作，晚上去沙龍活動(dòng)。他終生未婚，但有一位患難與共、生死相依的情人——沙龍女主人

17、勒皮納斯。達(dá)朗貝爾與養(yǎng)父母感情一直很好，直到1765年他47歲時(shí)才因病離開養(yǎng)父母，住到了勒皮納斯家里，病愈后他一直居住在她的家里。可是在以后的日子里他在事業(yè)上進(jìn)展緩慢，更使他悲痛欲絕的是勒皮納斯小姐于1776年去世了。在絕望中達(dá)朗貝爾度過(guò)了自己的晚年，1783年10月29日卒于巴黎。 　　 由于達(dá)朗貝爾生前反對(duì)宗教，巴黎市政府拒絕為他舉行葬禮。所以當(dāng)這位科學(xué)巨匠離開這個(gè)世界的時(shí)候，既沒有隆重的葬禮、也沒有緬懷的追悼，只有

18、他一個(gè)人被安靜的埋葬在巴黎市郊的墓地里。,達(dá)朗貝爾(Jean-le-Rond d’Alembert，1717—1783)和克萊洛一樣，出生于巴黎，死于巴黎。但兩人卻是常不友好的、科學(xué)上的對(duì)手。達(dá)朗貝爾原是某貴婦的私生子，出生后被拋棄在巴黎一教堂旁，被一對(duì)窮苦的玻璃匠夫婦收養(yǎng)并接受教育。達(dá)朗貝爾24歲被接納到法國(guó)科學(xué)院，后竟成為巴黎科學(xué)院院士和終身秘書．,△ 1743年發(fā)表了他的《動(dòng)力學(xué)論著》,△ 1744年寫了一篇關(guān)于流體的平衡和運(yùn)動(dòng)的

19、論文,△ 1746年寫了一篇關(guān)于風(fēng)的起因的論文,△ 1747年寫了一篇關(guān)于振動(dòng)弦的論文,在這些文章中，達(dá)朗貝爾導(dǎo)出了偏微分方程，這使他成為研究這種方程的先驅(qū)。,拉格朗日(法, 1736-1813),數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)中都有重大歷史性貢獻(xiàn)，分析學(xué)中僅次于歐位的最大開拓者，論著超過(guò)500篇1754年(18歲)發(fā)現(xiàn)萊布尼茨公式1755年任數(shù)學(xué)教授(都靈時(shí)期: 1754-1766)1788年《分析力學(xué)》(柏林時(shí)期: 1766-1787)

20、1797年《解析函數(shù)論》(巴黎時(shí)期: 1787-1813)分析力學(xué)的創(chuàng)立者、天體力學(xué)的奠基者1799年伯爵，1813年帝國(guó)大十字勛章,7.1.5 拉格朗日,,拉格朗日(Joseph Louis Lagrange，1736—1813)出生于意大利的都靈。19歲就被任命為都靈炮兵學(xué)校數(shù)學(xué)教授。歐拉和達(dá)朗貝爾力薦他到柏林科學(xué)院任職。1766年當(dāng)歐拉離開柏林時(shí)，弗雷德里克大帝在寫給拉格朗日的信中說(shuō)：“歐洲最偉大的國(guó)王”希望有“歐洲最偉大的數(shù)

21、學(xué)家”在他宮里。拉格朗日接受了這個(gè)邀請(qǐng)，擔(dān)任歐拉辭去的職位達(dá)二十年。,在離開柏林幾年之后，拉格朗日接受了新建立的高等師范學(xué)院的教授職位，后來(lái)又到高等工藝學(xué)院任教授。第一個(gè)學(xué)校是短命的，而第二個(gè)學(xué)校在數(shù)學(xué)史上是著名的，因?yàn)楝F(xiàn)代法蘭西的大數(shù)學(xué)家們中有許多在這里受過(guò)教育，而且有許多在這里當(dāng)過(guò)教授。,拉格朗日,拉格朗日的著作對(duì)后來(lái)的數(shù)學(xué)研究有很深的影響，因?yàn)樗钦J(rèn)識(shí)到分析的基礎(chǔ)處于完全不能令人滿意的狀態(tài)，從而試圖使微積分嚴(yán)謹(jǐn)化的最早的第一流數(shù)學(xué)

22、家。今天用得很普遍的記號(hào) ,…就起源于拉格朗日。,拉格朗日嗜好數(shù)論，在這個(gè)領(lǐng)域中也寫了幾篇重要的論文。他在方程論方面的早期工作，使伽羅瓦后來(lái)有可能提出他的群論。,歐拉寫得過(guò)于細(xì)并且隨便憑借直觀，而拉格朗日寫得簡(jiǎn)明并且謀求嚴(yán)格。他在風(fēng)格上是“現(xiàn)代的”，堪稱第一個(gè)真正的分析家。拿破侖與他那個(gè)時(shí)代的許多法國(guó)大數(shù)學(xué)家很親近，他對(duì)拉格朗日總的評(píng)價(jià)是：,“拉格朗日是數(shù)學(xué)科學(xué)方面的高聳的金字塔?！?7.1.6

23、 拉普拉斯和勒讓德,拉普拉斯和勒讓德是拉格朗日的同時(shí)代的人，雖然他們的主要著作發(fā)表于十九世紀(jì)。,拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace，1749-1827) 1749年出生于法國(guó)諾曼底地區(qū)的一個(gè)貧窮的家庭。他的數(shù)學(xué)才能使他較早獲得好的教學(xué)職位。他在天體力學(xué)、概率論、微分方程和測(cè)地學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，都做了杰出的工作。他寫了兩部不朽的著作：,,△ 《天體力學(xué)》（5卷，1799-1825）,△ 《概率的解析理論》（1812）,五卷《天體力

24、學(xué)》使他贏得了“法蘭西的牛頓”的稱號(hào)。,拉普拉斯,拉普拉斯對(duì)數(shù)學(xué)物理的影響是巨大的．通常認(rèn)為他偏愛應(yīng)用而對(duì)純粹數(shù)學(xué)不感興趣．美國(guó)天文學(xué)家鮑迪奇，在他把拉普拉斯的論著譯成英文時(shí)指出：,“每當(dāng)我遇到拉普拉斯在書中說(shuō)‘顯然可知’時(shí)，我就知道該花好多小時(shí)的冥思苦想去補(bǔ)充其脫節(jié)之處并確實(shí)證明它是多么顯然可知。”,但拉普拉斯有自己的想法．他在《概率的解析理論》“緒論”中曾這樣寫道：,“分析和自然哲學(xué)中最重大的發(fā)現(xiàn)都應(yīng)歸功于這種豐富多產(chǎn)的方法，也就是

25、所謂的‘歸納’方法．牛頓二項(xiàng)式定理和萬(wàn)有引力原理就是歸納法的成果”．,與18世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家相比，拉普拉斯更醉心于發(fā)現(xiàn)結(jié)果而淡出證明。不過(guò)無(wú)論如何，數(shù)學(xué)在他心目中有特殊的地位，因?yàn)樗f(shuō)過(guò)：“一切自然現(xiàn)象都是少數(shù)不變定律的數(shù)學(xué)推論”．,拉普拉斯的名字是與宇宙起源的星云學(xué)說(shuō)、勢(shì)論的所謂拉普拉斯方程分不開的，雖然這兩項(xiàng)貢獻(xiàn)沒有—項(xiàng)是起源于拉普拉斯的。他的名字與拉普拉斯變換和行列式的拉普拉斯展開式，也是分不開的。,拉普拉斯曾得到達(dá)朗貝爾的幫助當(dāng)

26、上了巴黎軍事學(xué)校數(shù)學(xué)教授，后來(lái)與拉格朗日(Lagrange)和勒讓德(Legendre)并稱“巴黎三L”．拉普拉斯是一個(gè)政治上的機(jī)會(huì)主義者，在法國(guó)革命動(dòng)蕩不定的日子里，無(wú)論哪個(gè)黨偶然得勢(shì)，他都去逢迎。1827年逝世，正好是牛頓死后100年。據(jù)說(shuō)留下的遺言是：,“我們知道的，是很微小的；我們不知道的，是無(wú)限的．”,勒讓德(Adrien-Marie Legendre，1752—1833)以其很通俗的《幾何學(xué)基本原理》在初等數(shù)學(xué)史上為人們熟知

27、。在其中他試圖以精心排列和簡(jiǎn)化許多命題來(lái)對(duì)歐幾里得《原本》作教學(xué)方法上的改進(jìn)。勒讓德在高等數(shù)學(xué)方面的主要工作集中在數(shù)論，橢圓函數(shù)、最小二乘法和積分上 。,勒讓德的名字，今天是與二階微分方程,聯(lián)系在一起的，這在應(yīng)用數(shù)學(xué)上是相當(dāng)重要的。滿足此微分方程的函數(shù)被稱作勒讓德函數(shù)。這種方程，當(dāng) 為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有特別有趣的所謂勒讓德多項(xiàng)式的多項(xiàng)式解。,7.1.7 蒙日,蒙日(Gaspard Monge，1746—1818)是一位幾何學(xué)者，16歲就

28、在里昂學(xué)院任物理學(xué)講師。1768年，蒙日在梅齊埃爾擔(dān)任數(shù)學(xué)教授，1771年還在那里擔(dān)任物理學(xué)教授；1780年被任命為巴黎利瑟姆動(dòng)力學(xué)講座教授；1795年高等工藝學(xué)校建立，他首任校長(zhǎng)，還在那里擔(dān)任數(shù)學(xué)教授。他在那里開設(shè)的畫法幾何課，聽課人數(shù)每次多達(dá)400余人。,除了創(chuàng)造射影幾何之外，蒙日還被認(rèn)為是微分幾何之父。他寫的《分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用》出了五版，是曲面微分幾何最重要的早期論著之一。,蒙日不象三個(gè)L(Lagrange，Laplace和L

29、egendre)那樣避開法國(guó)革命，蒙日是支持法國(guó)革命的。他擔(dān)任過(guò)革命政府的海軍部長(zhǎng)，并且參加了為軍隊(duì)制造武器和火藥的工作。曾簽署了處決路易十六的報(bào)告書。王政復(fù)辟后，蒙日被剝奪了一切職務(wù)，不久謝世。,他與拿破侖有親密的友誼，是拿破侖軍營(yíng)中最有威信的科學(xué)參謀。他與數(shù)學(xué)家傅立葉(Joseph Fourier，1768—1831)一道隨拿破侖進(jìn)行倒霉的1798年的埃及遠(yuǎn)征。回到法國(guó)后，蒙日繼續(xù)擔(dān)任他在高等工藝學(xué)院的職位，在那里他被證明是一位非凡

30、的、天才的教師。他的演講啟發(fā)了許多后來(lái)有才能的幾何學(xué)者.,7.2 微積分的發(fā)展,18世紀(jì)這些數(shù)學(xué)家雖然不像牛頓、萊布尼茨那樣創(chuàng)立了微積分，但他們?cè)谖⒎e分發(fā)展史上同樣功不可沒，假如沒有他們的奮力開發(fā)與仔細(xì)耕耘，牛頓和萊布尼茨草創(chuàng)的微積分領(lǐng)地就不可能那樣春色滿園，相反也許會(huì)變得荒蕪凋零．以下概要論述這一時(shí)期微積分深入發(fā)展的幾個(gè)主要方面．,(一)積分技術(shù)與橢圓積分,18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們以高度的技巧，將牛頓和萊布尼茨的無(wú)限小算法施行到各類不同的函數(shù)

31、上，不僅發(fā)展了微積分本身，而且作出了許多影響深遠(yuǎn)的新發(fā)現(xiàn)．在這方面，積分技術(shù)的推進(jìn)尤為明顯．,約翰·伯努利和歐拉在他們的論著中使用變量代換和部分分式等方法求出了許多困難的積分，這些方法已經(jīng)成為今天微積分教科書中求函數(shù)積分的常用方法．,當(dāng)18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們考慮無(wú)理函數(shù)的積分時(shí)，他們就在自己面前打開了一片新天地，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)許多這樣的積分不能用已知的初等函數(shù)來(lái)表示．例如雅各布·伯努利在求雙紐線（

32、 ）弧長(zhǎng)時(shí)，得到弧長(zhǎng)積分,,在天文學(xué)中很重要的橢圓弧長(zhǎng)計(jì)算則引導(dǎo)到積分,歐拉在1744年處理彈性問(wèn)題時(shí)也得到積分,,所有這些積分都屬于后來(lái)所說(shuō)的“橢圓積分”的范疇，它們既不能用代數(shù)函數(shù)，也不能用通常的初等超越函數(shù)(如三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)表示出來(lái)．橢圓積分的一般形式是,,(其中 是 的有理函數(shù)， 則是一般的四次多項(xiàng)式)．,,勒讓德后來(lái)將所有的橢圓積分歸結(jié)為三種基本形式．對(duì)橢圓

33、函數(shù)的一般研究在19世紀(jì)20年代被阿貝爾和雅可比(C.G.Jacobi，1804—1851)分別獨(dú)立地從反演的角度發(fā)展為深刻的橢圓函數(shù)理論．,(二)微積分向多元函數(shù)的推廣,雖然微積分的創(chuàng)立者已經(jīng)接觸到了偏微商和重積分的概念，但將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立偏導(dǎo)數(shù)理論和多重積分理論的主要是18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家．,1720年，尼古勞斯·伯努利(Nicolaus BernoulliⅡ)證明了函數(shù) 在一定條件下，

34、對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)其結(jié)果與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)，即相當(dāng)于有,歐拉在1734年的一篇文章中也證明了同樣的事實(shí)．在此基礎(chǔ)上，歐拉在一系列的論文中發(fā)展了偏導(dǎo)數(shù)理論．,達(dá)朗貝爾在1743年的著作《動(dòng)力學(xué)》和1747年關(guān)于弦振動(dòng)的研究中，也推進(jìn)了偏導(dǎo)數(shù)演算．不過(guò)當(dāng)時(shí)一般都用同一個(gè)記號(hào)d表示通常導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)，專門的偏導(dǎo)數(shù)記號(hào),多重積分實(shí)際上已包含在牛頓關(guān)于萬(wàn)有引力的計(jì)算中，但牛頓使用了幾何論述．在18世紀(jì)，牛頓的工作被人以分析的形式推廣．1748年歐

35、拉用累次積分算出了表示一厚度為 的橢圓薄片對(duì)其中心正上方一質(zhì)點(diǎn)的引力的重積分：,,到19世紀(jì)40年代才由雅可比在其行列式理論中正式創(chuàng)用并逐漸普及 。,到1770年左右，歐拉已經(jīng)能給出計(jì)算二重定積分的一般程序．而拉格朗日在關(guān)于旋轉(zhuǎn)橢球的引力的著作中，用三重積分表示引力，并開始了多重積分變換的研究．,,(三)無(wú)窮級(jí)數(shù)理論,微積分的發(fā)展與無(wú)窮級(jí)數(shù)的研究密不可分．牛頓在他的流數(shù)論中自由運(yùn)用無(wú)窮級(jí)數(shù)，他憑藉二項(xiàng)式定理得到了

36、 和 等許多函數(shù)的級(jí)數(shù)．泰勒級(jí)數(shù)則提供了將函數(shù)展成無(wú)窮級(jí)數(shù)的一般方法．在18世紀(jì)，各種初等函數(shù)的級(jí)數(shù)展開陸續(xù)得到，并在解析運(yùn)算中被普遍用來(lái)代表函數(shù)而成為微積分的有力工具．,雅各布·伯努利在1689—1704年間撰寫了5篇關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的論文，使他成為當(dāng)時(shí)這一領(lǐng)域的權(quán)威，這些論文的主題也是關(guān)于函數(shù)的級(jí)數(shù)表示及其在求函數(shù)的微

37、分與積分、求曲線下的面積和曲線長(zhǎng)等方面的應(yīng)用．這些構(gòu)成了雅各布·伯努利對(duì)微積分算法的重要貢獻(xiàn)．,就級(jí)數(shù)理論本身而言，其中一個(gè)很有啟發(fā)性的工作是關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù),的和是無(wú)窮的證明．伯努利首先指出了,故有,這意味著可將原級(jí)數(shù)中的項(xiàng)分組并使每一組的和都大于1，于是我們總可以得到調(diào)和級(jí)數(shù)的有限多項(xiàng)的和，使它大于任何給定的量．,它相當(dāng)于,其中的 叫做“伯努利數(shù)”。利用它可以作 的近似計(jì)算。當(dāng) 很大時(shí)，,調(diào)和

38、級(jí)數(shù)的討論引起了對(duì)發(fā)散級(jí)數(shù)的興趣并產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果，特別是利用發(fā)散級(jí)數(shù)而獲得的一些著名的數(shù)值逼近公式．例如，斯特林在1730年得到一個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)表示：,除了調(diào)和級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)引起熱烈辯論的另一類發(fā)散級(jí)數(shù)是,雅各布·伯努利在1696年的論文中作如下推理：,當(dāng) 時(shí)得到：,但另一方面,伯努利稱這些互相矛盾的結(jié)果為“有趣的悖論”．,1703年，意大利數(shù)學(xué)家格蘭弟(G.Grandi)通過(guò)

39、 的級(jí)數(shù)展開又重新發(fā)現(xiàn)這一悖論：在級(jí)數(shù),中令 ，得,格蘭弟稱之為“無(wú)中生有．”,這類發(fā)散級(jí)數(shù)悖論刺激了人們對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性的思考。18世紀(jì)先后出現(xiàn)了一些級(jí)數(shù)收斂判別法則．如萊布尼茨變號(hào)級(jí)數(shù)收斂定理(1713)；麥克勞林積分判別法(1742)；達(dá)朗貝爾級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂判別法(1754)，等等．,(四)函數(shù)概念的深化,18世紀(jì)微積分發(fā)展的一個(gè)歷史性轉(zhuǎn)析，是將函數(shù)放到了中心的地位，而以往數(shù)學(xué)家們都以曲線作為微積分的主

40、要對(duì)象．這一轉(zhuǎn)折首先也應(yīng)歸功于歐拉，歐拉在《無(wú)限小分析引論》中明確宣布：“數(shù)學(xué)分析是關(guān)于函數(shù)的科學(xué)”，微積分被看作是建立在微分基礎(chǔ)上的函數(shù)理論。,函數(shù)概念在17世紀(jì)已經(jīng)引入，牛頓《原理》中提出的“生成量”就是雛形的函數(shù)概念．萊布尼茨首先使用了“函數(shù)”(function)這一術(shù)語(yǔ)．他把函數(shù)看成是“像曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)度、垂線長(zhǎng)度等所有與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的量”．最先將函數(shù)概念公式化的是約翰·伯努利．歐拉則將伯努利的思想

41、進(jìn)一步解析化，他在《無(wú)限小分析引論》中將函數(shù)定義為：,“變量的函數(shù)是一個(gè)由該變量與一些常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式．”,在這一定義的基礎(chǔ)上，函數(shù)概念本身大大豐富了．歐拉在《引論》中明確區(qū)分了代數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)，將超越函數(shù)看成是以無(wú)限多次算術(shù)運(yùn)算而得到的表達(dá)式，也就是說(shuō)可用無(wú)窮級(jí)數(shù)表示的函數(shù)．歐拉還區(qū)分了顯函數(shù)與隱函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)等．通過(guò)一些積分問(wèn)題的求解，一系列新的超越函數(shù)被納入了函數(shù)的范疇．,除了上面已提到的橢圓積分外，18

42、世紀(jì)得到的最重要的超越函數(shù)還有Γ-函數(shù)、B-函數(shù)：,這兩個(gè)函數(shù)在歐拉《無(wú)限小分析引論》中都有論述，但歐拉早在1730年給哥德巴赫的一封信中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)它們．,Γ-函數(shù)是歐拉用插值法將階乘 概念推廣到非整數(shù)情形時(shí)得到的積分表達(dá)式，“Γ-函數(shù)”的名稱及記號(hào) 是勒讓德后來(lái)(1811)給出的．歐拉在1771年進(jìn)一步建立了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系：,Γ-函數(shù)，B-函數(shù)與橢圓積分等一起，是18世紀(jì)新發(fā)現(xiàn)的超越函數(shù)的

43、重要例子，對(duì)于函數(shù)概念的拓廣多有影響．,在18世紀(jì)，已有的初等函數(shù)包括三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)則被推廣到了復(fù)數(shù)領(lǐng)域，這也是受到了積分計(jì)算的激發(fā)．因?yàn)槔绠?dāng)人們用部分分式法則來(lái)求積分,時(shí)，會(huì)導(dǎo)致形式為,的積分，其中被積式的系數(shù)有可能是復(fù)數(shù)．由于這種積分在形式上可看作是對(duì)數(shù)函數(shù)，這就引起了關(guān)于什么是復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)和負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)的探討．,1714年英國(guó)人柯茨(R．Cotes)得到了關(guān)系：,這一結(jié)果后又被歐拉獨(dú)立得到并寫進(jìn)了《無(wú)限小分析引論》，《

44、引論》中還發(fā)表了著名的公式：,這公式現(xiàn)在也叫“棣莫弗公式”，棣莫弗在1707—1730年曾逐步得到了相當(dāng)于這一公式的結(jié)果 。這些公式不僅使人們能正確回答什么是復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)，更重要的是揭示了三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù) 函數(shù)之間的深刻聯(lián)系而形成了初等函數(shù)的統(tǒng)一理論．,(五)微積分嚴(yán)格化的嘗試,牛頓和萊布尼茨的微積分是不嚴(yán)格的，特別在使用無(wú)限小概念上的隨意與混亂,這使他們的學(xué)說(shuō)從一開始就受到懷疑和批評(píng)．,1695年，荷蘭物理學(xué)家紐汶蒂(B.Nie

45、uwentyt)在其著作《無(wú)限小分析》中指責(zé),牛頓的流數(shù)術(shù)敘述“模糊不清”，萊布尼茨的高階微分“缺乏根據(jù)”,最令人震憾的抨擊是來(lái)自英國(guó)哲學(xué)家、牧師伯克萊，伯克萊(G.Berkeley，1685—1753).1734年擔(dān)任克羅因(在今愛爾蘭境內(nèi))主教的伯克萊，發(fā)表了一本小冊(cè)子《分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家》，副題中“不信神的數(shù)學(xué)家”是指曾幫助牛頓出版《原理》的哈雷(E.Haley)．伯克萊在書中認(rèn)為當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們,以歸納代替演繹，沒有

46、為他們的方法提供合法性證明．,他集中攻擊牛頓流數(shù)論中關(guān)于無(wú)限小量的混亂假設(shè)，例如在首末比方法中，為了求冪 的流數(shù)，牛頓假設(shè) 有一個(gè)增量o，并以它去除 增量得,o +…,然后又讓o“消失”，得到 的流數(shù) 。伯克萊指出這里關(guān)于增量o的假設(shè)前后矛盾，是“分明的詭辯”．他譏諷地問(wèn)道：,“這些消失的增量究竟是什么呢?它們既不是有限量，也不是無(wú)限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄帕康墓砘陠?

47、”,《分析學(xué)家》的主要矛頭是牛頓的流數(shù)術(shù)，但對(duì)萊布尼茨的微積分也同樣竭力非難，認(rèn)為其中的正確結(jié)論，是從錯(cuò)誤的原理出發(fā)通過(guò)“錯(cuò)誤的抵消”而獲得．,,伯克萊主教（愛爾蘭，1985）,伯克萊對(duì)微積分學(xué)說(shuō)的攻擊主要是出于宗教的動(dòng)機(jī)，目的是要證明：,流數(shù)原理并不比基督教義“構(gòu)思更清楚”、“推理更明白”．,但他的許多批評(píng)是切中要害的，在客觀上揭露了早期微積分的邏輯缺陷，刺激了數(shù)學(xué)家們?yōu)榻⑽⒎e分的嚴(yán)格基礎(chǔ)而努力．,為了回答伯克萊的攻擊，在英國(guó)本土產(chǎn)

48、生了許多為牛頓流數(shù)論辯護(hù)的著述，其中以前面已提到的麥克勞林《流數(shù)論》最為典型，但所有這些辯護(hù)都因堅(jiān)持幾何論證而顯得軟弱無(wú)力．歐洲大陸的數(shù)學(xué)家們則力圖以代數(shù)化的途徑來(lái)克服微積分基礎(chǔ)的困難．在18世紀(jì)，這方面的代表人物是達(dá)朗貝爾、歐拉和拉格朗日．,達(dá)朗貝爾在他為《科學(xué)，藝術(shù)和工藝百科全書》撰寫的“微分”(Differentiel，1754)等條目中，討論他所謂的“微分演算的形而上學(xué)”，即微分學(xué)的基礎(chǔ)。他在這里發(fā)展了牛頓的首末比方法，但用極限

49、概念代替了含糊的“最初比”與“最終比”。,達(dá)朗貝爾定義量 的極限為 ，如果“量 可任意逼近 ，這就是說(shuō)， 與 之間的差可任意小”．他指出微分演算“僅僅在于從代數(shù)上確定我們已通過(guò)線段來(lái)表達(dá)的比的極限”，并認(rèn)為“這也許是關(guān)于微分學(xué)的最精確、最簡(jiǎn)潔的定義”。,歐拉在《微分學(xué)》中提出了關(guān)于無(wú)限小的不同階零的理論，歐拉認(rèn)為無(wú)限小就是零，但卻存在著“不同階的零”，也就是不同階的無(wú)限小，而“無(wú)限小演算只不過(guò)是不同

50、無(wú)限小量的幾何比的研究．”他斷言如果采取了這種觀點(diǎn)，“在這門崇高的科學(xué)中，我們就完全能保持最高度的數(shù)學(xué)嚴(yán)格性” 。,拉格朗日則在《解析函數(shù)論》(1797)一書中，主張用泰勒級(jí)數(shù)來(lái)定義導(dǎo)數(shù)，以此作為整個(gè)微分、積分演算的出發(fā)點(diǎn)而將微積分歸結(jié)為“純粹的代數(shù)分析藝術(shù)”．,我們可以說(shuō)，歐拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化觀點(diǎn)，而達(dá)朗貝爾的極限觀點(diǎn)則為微積分的嚴(yán)格表述提供了合理內(nèi)核19世紀(jì)的分析嚴(yán)格化，正是這些不同方向融會(huì)發(fā)展的結(jié)果．,7.3

51、 微積分的應(yīng)用與新分支的形成,18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們一方面努力探索使微積分嚴(yán)格化的途徑；一方面又往往不顧基礎(chǔ)問(wèn)題的困難而大膽前進(jìn)，大大擴(kuò)展了微積分的應(yīng)用范圍，尤其是,與力學(xué)的有機(jī)結(jié)合，已成為18世紀(jì)數(shù)學(xué)的鮮明特征之一。,這種結(jié)合的緊密程度是數(shù)學(xué)史上任何時(shí)期不能比擬的．,當(dāng)時(shí)幾乎所有數(shù)學(xué)家都不同程度地同時(shí)也是力學(xué)家．歐拉的名字同剛體運(yùn)動(dòng)與流體力學(xué)的基本方程相聯(lián)系；拉格朗日最享盛名的著作是《分析力學(xué)》(1788)，它將力學(xué)變成分析的一個(gè)分支;拉普

52、拉斯許多最重要的數(shù)學(xué)成果是包含在他的五大卷《天體力學(xué)》(1799—1825)中.,這種廣泛的應(yīng)用成為新思想的源泉而使數(shù)學(xué)本身大大受惠，一系列新數(shù)學(xué)分支在18世紀(jì)成長(zhǎng)起來(lái)．,(一)常微分方程,常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來(lái)的，牛頓和萊布尼茨的著作中都處理過(guò)與常微分方程有關(guān)的問(wèn)題．從17世紀(jì)末開始，擺的運(yùn)動(dòng)、彈性理論以及天體力學(xué)等實(shí)際問(wèn)題的研究引出了一系列常微分方程，這些問(wèn)題在當(dāng)時(shí)往往以挑戰(zhàn)的形式被提出而在數(shù)學(xué)家之間引起熱烈的討論．有

53、名的如懸鏈線問(wèn)題：,求一根柔軟但不能伸長(zhǎng)的繩子自由懸掛于兩定點(diǎn)而形成的曲線．,這問(wèn)題于1690年由雅各布·伯努利提出，第二年萊布尼茨、惠更斯(C.Huygens，1629—1695)和約翰·伯努利均發(fā)表了自己的解答，其中約翰·伯努利通過(guò)建立懸鏈線方程,解出了曲線,類似的還有與鐘擺運(yùn)動(dòng)有關(guān)的“等時(shí)曲線”方程(1690，雅各布·伯努利),以及與光線路徑問(wèn)題有關(guān)的“正交軌線”方程(1715，萊布尼茨、牛

54、頓)等．,數(shù)學(xué)家們起初是采用特殊的技巧來(lái)對(duì)付特殊的方程，但逐漸開始尋找?guī)毡樾缘姆椒ǎ?萊布尼茨在1691年已用分離變量法解出了形如,的方程．1696年他又用變量替換 將現(xiàn)在所稱的“伯努利方程”(雅各布·伯努利，1695),化成了關(guān)于 的線性微分方程．伯努利兄弟也推進(jìn)了分離變量法與變量代換法．,解一階常微分方程 的所謂“積分因子法”，先后

55、由歐拉(1734—1735年間)和克萊洛(1739—1740年間)獨(dú)立地提出．他們的方法是將方程乘以一個(gè)叫“積分因子”的量而使它化為“恰當(dāng)方程”．,恰當(dāng)方程是指方程左端 恰好是某個(gè)函數(shù) 的全微分,歐拉和克萊洛都給出方程是恰當(dāng)?shù)臈l件：,并指出了如果方程是恰當(dāng)?shù)?，它就可以積分．,到1740年左右，幾乎所有求解—階方程的初等方法都已知道．,在常微分方程早期研究中出現(xiàn)的一類重要的非線

56、性方程是“黎卡提方程”,最先由意大利學(xué)者黎卡提(J.F.Ricatti)導(dǎo)出(1724)．這個(gè)方程本身是一階方程，但黎卡提是通過(guò)變量替換從一個(gè)二階方程“降階”得到它的，這種降階法后來(lái)成為處理高階方程的主要手段．,1728年，歐拉在一篇題為《將二階微分方程化為一階微分方程的新方法》的論文中，引進(jìn)了著名的指數(shù)代換將三類相當(dāng)廣泛的二階常微分方程化為一階方程，這是二階常微分方程系統(tǒng)研究的開始．,高階常微分方程求解的重要突破，是歐拉1743年關(guān)于

57、 階常系數(shù)線性齊次方程的完整解法．,對(duì)于 階常系數(shù)方程,歐拉利用指數(shù)代換 ( 為常數(shù))得到所謂特征方程,當(dāng) 是該方程的一個(gè)實(shí)單根時(shí)，則 是原微分方程的一個(gè)特解．當(dāng) 是特征方程的是重根時(shí)，歐拉用代換 求得,為包含 個(gè)任意常數(shù)的解．歐拉指出： 階方程的通解是其個(gè)特解的線性組合．他是最早明確區(qū)分

58、“通解”與“特解”的數(shù)學(xué)家．,18世紀(jì)常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774—1775年間用參數(shù)變易法解出了一般 階變系數(shù)非齊次常微分方程。簡(jiǎn)單情形的參數(shù)變易法可追溯到牛頓和約翰·伯努利。歐拉在1739年則用此法解出了二階方程,拉格朗日研究一般方程,其中P、Q、R、…、V、X皆為x的函數(shù)．已知相應(yīng)齊次方程的通解為,此處 為積分常數(shù),而 是齊次方程的特解．拉格朗日將

59、 看作 的函數(shù)并利用 的各階微商表達(dá)式及原方程求出 和 ，從而得到非齊次方程解．,參數(shù)變易法來(lái)源于天體力學(xué)中的三體問(wèn)題．三體問(wèn)題為常微分方程理論提供了持久的刺激．在此問(wèn)題中扮演中心角色的是—組二階方程：,分別表示三個(gè)球形物體的質(zhì)量，,表示第 個(gè)物體質(zhì)量中心 的變動(dòng)坐標(biāo)， 為從 到 的距離．由于三體問(wèn)題方程不可能精確地解出，其研究中一個(gè)重要的方向就是尋求近似解，即所謂“攝動(dòng)理

60、論”．,參數(shù)變易法是攝動(dòng)理論的有力工具．拉普拉斯《天體力學(xué)》對(duì)三體問(wèn)題及攝動(dòng)理論也有重大貢獻(xiàn)．,．,常微分方程,包含一個(gè)自變量和它的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的等式,形成和發(fā)展是與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及其他自然科學(xué)技術(shù)的發(fā)展互相促進(jìn)和互相推動(dòng)的,初等解法,,分離變量法 變量代換法 積分因子法 黎卡提方程 降階法 常系數(shù)線性方程,2001年9月6日哈勃拍到的"星體爆發(fā)"星系,微積分對(duì)弦振動(dòng)等力學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用則引

61、導(dǎo)到另一門新的數(shù)學(xué)分支——偏微分方程，一般將達(dá)朗貝爾1747年發(fā)表的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究》看作為偏微分方程論的發(fā)端．雖然在達(dá)朗貝爾之前，泰勒和約翰·伯努利等也曾對(duì)弦振動(dòng)進(jìn)行過(guò)數(shù)學(xué)描述，但他們均未采用偏導(dǎo)數(shù)概念,(二)偏微分方程,拉格朗日(法國(guó), 1958),包含未知函數(shù)以及偏導(dǎo)數(shù)的等式,偏微分方程理論研究一個(gè)方程(組)是否有滿足某些補(bǔ)充條件的解, 有多少個(gè)解, 解的各種性質(zhì)與求解方法, 及其應(yīng)用,達(dá)朗貝爾在上述

62、論文中則明確推導(dǎo)出了弦的振動(dòng)所滿足的偏微分方程：,并給出了形如,的通解．達(dá)朗貝爾還討論了初始條件 ，他堅(jiān)持18世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)概念(即某種解析表達(dá)式)而要求初始函數(shù)和方程的解都是解析的．,在達(dá)朗貝爾發(fā)表他的弦振動(dòng)研究后不久，歐拉也做了這方面的工作并寫成一篇論文《論弦的振動(dòng)》(1749年發(fā)表)，歐拉沿用了達(dá)朗貝爾的方法，但引進(jìn)了初始形狀為正弦級(jí)數(shù),的特解,與達(dá)朗貝爾不同的是，歐拉允許任意種類的初始曲

63、線，這方面的研究促使他對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行新的思考．,幾年之后，約翰·伯努利之子丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli，1700—1782)也發(fā)表了他的《弦振動(dòng)問(wèn)題新思考》(1753)，他假定了所有可能的初始曲線均可表為正弦級(jí)數(shù)，從而弦振動(dòng)問(wèn)題所有可能的解都能是正弦周期模式的迭加：,丹尼爾的做法受到了達(dá)朗貝爾與歐拉的激烈反對(duì)，后二者都認(rèn)為并非每一個(gè)函數(shù)均能表示成無(wú)窮三角級(jí)數(shù)．這場(chǎng)圍繞著用三角級(jí)數(shù)表示任意函數(shù)的曠日

64、持久的爭(zhēng)論，將許多數(shù)學(xué)家卷了進(jìn)來(lái)，直到19世紀(jì)傅里葉級(jí)數(shù)的工作出現(xiàn)以后才告平息．,18世紀(jì)獲得的另一類重要的偏微分方程是位勢(shì)方程，這與當(dāng)時(shí)另一類熱門的力學(xué)問(wèn)題——計(jì)算兩個(gè)物體之間的引力相關(guān)．,拉普拉斯在1785年發(fā)表的論文《球狀物體的引力理論與行星形狀》中，引進(jìn)了標(biāo)量函數(shù)y，它與引力分量 之間有關(guān)系：,稍后(1787)他又給出了這方程直角坐標(biāo)形式,這就是所謂“位勢(shì)方程”，現(xiàn)在通常就稱“拉普拉斯方程”．,歐拉175

65、2年在研究流體內(nèi)部任一點(diǎn)速度問(wèn)題時(shí)也曾得出同樣的方程，但他不知道怎樣求解，拉普拉斯首先用球調(diào)和函數(shù)解出了位勢(shì)方程．位勢(shì)理論主要是經(jīng)拉普拉斯的工作才引起普遍關(guān)注，并由格林、高斯等發(fā)展為數(shù)學(xué)物理的重要部分．,(三)變分法,在18世紀(jì)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)新分支中，變分法的誕生最富有戲劇性．,變分法起源于“最速降線”和其它一些類似的問(wèn)題．所謂最速降線問(wèn)題，就是,求出兩點(diǎn)之間一條曲線，使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿著它由一點(diǎn)至另一點(diǎn)降落最快(即所需時(shí)間最短)．,這問(wèn)

66、題最早由約翰·伯努利提出來(lái)向其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，刊登在1696年6月《教師學(xué)報(bào)》上．問(wèn)題提出后半年未有回音，他遂于1697年發(fā)表著名的元旦《公告》，再次向“全世界最有才能的數(shù)學(xué)家”挑戰(zhàn)．《公告》中有一段話說(shuō)：,“能夠解決這一非凡問(wèn)題的人寥寥無(wú)幾，即使是那些對(duì)自己的方法自視甚高的人也不例外”．,這段話被認(rèn)為是隱射牛頓的．牛頓于1月29日從造幣局回到住所，從一封法國(guó)來(lái)信中看到了伯努利的挑戰(zhàn)，他利用晚飯后的時(shí)間一舉給出了正確的解答——擺

67、線(或稱旋輪線)．牛頓將結(jié)果寫成短文匿名發(fā)表在《哲學(xué)匯刊》上，伯努利看到后拍案驚呼：,“從這鋒利的爪我認(rèn)出了雄獅!”,差不多同時(shí)，萊布尼茨、洛必達(dá)(G.F.A.L’Hospital，1661—1704)、雅各布·伯努利以及約翰·伯努利本人也都得到了正確的解答，他們的解答都刊登在同年5月的《教師學(xué)報(bào)》上．,用現(xiàn)代符號(hào)表示，最速降線問(wèn)題是相當(dāng)于求函數(shù) ，使表示質(zhì)點(diǎn)從 到

68、 下降時(shí)間的積分,取最小值，其中g(shù)是重力加速度，α是與初始坐標(biāo)及速度有關(guān)的常數(shù).,伽利略曾解過(guò)這個(gè)問(wèn)題，但誤認(rèn)為答案是一段圓?。ｎD和雅各布·伯努利等人的研究意義不僅是在于給出了正確的答案擺線，更重要的是揭示了這一問(wèn)題區(qū)別于普通極值問(wèn)題的特征．因此這些工作與同時(shí)期出現(xiàn)的等周問(wèn)題(求具有給定弧長(zhǎng)的曲線，使其所圍面積最大，屬帶附加條件的變分問(wèn)題)，測(cè)地線問(wèn)題(求曲面上兩點(diǎn)之間的最短路徑)等一道標(biāo)志著一門新數(shù)學(xué)分支——變分法的

69、誕生．,變分法處理的是一個(gè)全新的課題：求變量,的極大或極小值，這個(gè)變量(積分)與通常函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，即它的值依賴于未知函數(shù)而不是未知實(shí)數(shù)．也就是說(shuō)，如果將 看作是“函數(shù)”，那么可以說(shuō)它是“函數(shù)的函數(shù)”．歐拉對(duì)于變分問(wèn)題給出了一般的處理．他在1744年發(fā)表的《求某種具有極大或極小性質(zhì)的曲線的技巧》一書中，將上述積分取極值的問(wèn)題看作是求函數(shù),的通常極值當(dāng) 時(shí)的極限情形，從而導(dǎo)出了使積分 達(dá)到