附錄002-統(tǒng)計(jì)知識(shí)基礎(chǔ)

1、附錄2 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ),——復(fù)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué),2024/3/18,1,問(wèn)題的提出,首先，假定現(xiàn)在開(kāi)始選學(xué)《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》課程的同學(xué)們都已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)《數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)》了。即便通過(guò)了《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的學(xué)分考試，也意識(shí)到數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)在大學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)中，屬于比較困難的一部分。況且，同學(xué)們對(duì)《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的掌握可能不是很完備的。其次，大多數(shù)人對(duì)數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號(hào)的健忘，也提醒我們?cè)谶M(jìn)一步討論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)內(nèi)容之前，必須對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本內(nèi)容進(jìn)行一些

2、溫習(xí)與回顧。,2024/3/18,2,解決問(wèn)題的思路,1．請(qǐng)同學(xué)們將數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的書籍拿出來(lái)進(jìn)行復(fù)習(xí)。2．在老師講授的內(nèi)容的同時(shí)，加強(qiáng)回顧，多思考，多提問(wèn)。一邊聽(tīng)課一邊在教科書上進(jìn)行批注，并把教科書上的印刷錯(cuò)誤（忒多）改正。3．懇請(qǐng)同學(xué)們到圖書館借閱計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的參考書。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的分類號(hào)是“F224”，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論基礎(chǔ)——統(tǒng)計(jì)學(xué)的分類號(hào)是“O212”。4．在大三下以前掌握Windows 9x以及Office97及其以上的應(yīng)用，為畢

3、業(yè)論文和大四謀業(yè)面試打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。4．熟悉Internet的使用。，逐步養(yǎng)成通過(guò)網(wǎng)絡(luò)了解世界與世界同步。,2024/3/18,3,主要內(nèi)容,第一節(jié) 總體、樣本和隨機(jī)函數(shù)第二節(jié) 對(duì)總體的描述——隨機(jī)變量的數(shù)字特征第三節(jié) 對(duì)樣本的描述——樣本分布的數(shù)字特征第四節(jié) 隨機(jī)變量的分布——總體和樣本的連接點(diǎn),2024/3/18,4,為什么要復(fù)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué),假設(shè)同學(xué)們都已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)。即便如此，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

4、中，屬于比較難的部分，而且是研修高級(jí)課程必不可少的準(zhǔn)備。而且許多同學(xué)或許對(duì)于大部分同學(xué)，他們對(duì)于數(shù)學(xué)公式與數(shù)學(xué)符號(hào)的健忘，也提醒我們有必要在展開(kāi)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)討論之前，對(duì)本課程中經(jīng)常使用到的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)基本內(nèi)容事先進(jìn)行一些溫習(xí)和回顧。,2024/3/18,5,數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的地位,事實(shí)上不懂得數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)就不可能學(xué)習(xí)和研究計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，它為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)提供了唯一而有效的方法。此外，從某種意義上來(lái)說(shuō)，計(jì)量

5、經(jīng)濟(jì)學(xué)就是使數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)在建立經(jīng)濟(jì)模型中得以應(yīng)用的一門科學(xué)。,2024/3/18,6,復(fù)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)必須注意,建議同學(xué)們將已經(jīng)學(xué)過(guò)的《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)》、 《數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)》、《線性代數(shù)》和《Windows 95》進(jìn)行一次認(rèn)真地復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)時(shí)，注重西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的宏觀部分，注重?cái)?shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)科體系的邏輯結(jié)構(gòu)分析、注重?cái)?shù)理統(tǒng)計(jì)方法的闡述、注重?cái)?shù)理統(tǒng)計(jì)公式、定義和定理的內(nèi)在涵義及其相互關(guān)系，注重線性代數(shù)的求逆和相似形部分，注重Windows 95的基本操作部

6、分。在今后的學(xué)習(xí)中，注意經(jīng)濟(jì)學(xué)基本理論及其應(yīng)用，注意數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的聯(lián)系與活用，注意線性代數(shù)與統(tǒng)計(jì)量的計(jì)量與檢驗(yàn)。,2024/3/18,7,第一節(jié) 總體、樣本和隨機(jī)函數(shù),四個(gè)基本定義與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)一、隨機(jī)變量的分布二、二元隨機(jī)變量三、獨(dú)立性四、隨機(jī)變量函數(shù)和分布,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

7、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2024/3/18,8,四個(gè)基本定義與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu),總體和個(gè)體樣本和樣本容量隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)量數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu),2024/3/18,9,總體（集合）和個(gè)體（構(gòu)成集合的元素）,研究對(duì)象的全體稱為總體或母體，組成總體的每個(gè)基本單位稱為個(gè)體。注意：（1）按組成總體個(gè)體的多寡分為：有限總體和無(wú)限總體；（

8、2）總體具有同質(zhì)性：每個(gè)個(gè)體具有共同的觀察特征，而與其它總體相區(qū)別；（3）度量同一對(duì)象得到的數(shù)據(jù)也構(gòu)成總體，數(shù)據(jù)之間的差異是絕對(duì)的，因?yàn)榇嬖诓豢上碾S機(jī)測(cè)量誤差；（4）個(gè)體表現(xiàn)為某個(gè)數(shù)值是隨機(jī)的，但是，它們?nèi)〉媚硞€(gè)數(shù)值的機(jī)會(huì)是不同的，即它們按一定的規(guī)律取值，即它們的取值與確定的概率相對(duì)應(yīng)。,2024/3/18,10,樣本和樣本容量,總體中抽出若干個(gè)個(gè)體組成的集體稱為樣本。樣本中包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本的容量，又稱為樣本的大小。注

9、意：抽樣是按隨機(jī)原則選取的，即總體中每個(gè)個(gè)體有同樣的機(jī)會(huì)被選入樣本。,2024/3/18,11,隨機(jī)變量,根據(jù)概率不同而取不同數(shù)值的變量稱為隨機(jī)變量（Random Variable）。注意：（1）一個(gè)隨機(jī)變量具有下列特性：RV可以取許多不同的數(shù)值，取這些數(shù)值的概率為p，p滿足：0<=p<=1。（2）隨機(jī)變量以一定的概率取到各種可能值，按其取值情況隨機(jī)變量可分為兩類：離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的取值最

10、多可列多個(gè)；連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿整個(gè)數(shù)軸或者某個(gè)區(qū)間。（3）本書中，隨機(jī)變量用x、y、?、?等符號(hào)表示,2024/3/18,12,離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量,,,,,10 20 30 40 50,,,,,,,,,1.0,概率,概率,x,x,1.0,離散型隨機(jī)變量,連續(xù)型隨機(jī)變量,2024/3/18,13,總體與隨機(jī)變量的關(guān)系,表示總體狀況的數(shù)量特征，在總體中是參差不齊的，往往以一定的概率取不同的數(shù)值，顯然對(duì)于這

11、樣的數(shù)值我們采用一般的變量是無(wú)法加以描述的。但是?？梢圆捎靡环N特殊的變量來(lái)表示它們。這個(gè)特殊變量就是隨機(jī)變量。因?yàn)椋鶕?jù)隨機(jī)變量的定義，隨機(jī)變量以一定的概率取許多不同的值，而且概率p滿足：0<=p<=1。例如，一批燈泡的壽命可以取許多不同的數(shù)值，每個(gè)燈泡的取值不一定完全相同，但它們是按一定概率進(jìn)行分布的，但它們卻是以一定的概率取某個(gè)壽命值。由此看來(lái)，隨機(jī)變量并不是一個(gè)隨便變的量。由于我們主要研究總體的數(shù)量特征，可以直接用隨

12、機(jī)變量來(lái)表示所研究的總體。,2024/3/18,14,總體、隨機(jī)變量、樣本間的聯(lián)系,總體就是一個(gè)隨機(jī)變量，所謂樣本就是n個(gè)（樣本容量n）相互獨(dú)立且與總體有相同分布的隨機(jī)變量x1，……，xn。每一次具體抽樣所得的數(shù)據(jù)，就是n元隨機(jī)變量的一個(gè)觀察值，記為（X1，……，Xn）。通過(guò)總體的分布可以把總體和樣本連接起來(lái)。,2024/3/18,15,從兩個(gè)角度來(lái)描述總體（隨機(jī)變量）中個(gè)體的取值,（1）動(dòng)態(tài)——概率——隨機(jī)地選取一個(gè)個(gè)體取某個(gè)具體

13、數(shù)值的可能性；（2）靜態(tài)——分布——個(gè)體取某個(gè)數(shù)值，從全局來(lái)看這個(gè)具體的數(shù)值（可能不只一個(gè)個(gè)體取這同一個(gè)數(shù)值）出現(xiàn)的次數(shù)占全體個(gè)體個(gè)數(shù)的比例，形象地說(shuō)就是這個(gè)具體的數(shù)值在數(shù)軸的這個(gè)位置上分布了多少。分布也好、概率也好它們?cè)诙攘可鲜且恢碌摹＿@只是就離散型隨機(jī)變量的通俗示意。,2024/3/18,16,總體分布是總體和樣本的連接點(diǎn),所謂分布，它是從全局而言的。通俗地說(shuō)，分布就是某個(gè)對(duì)象在什么地方，堆積了多少。任何一個(gè)隨機(jī)變量都有自己

14、的分布，這個(gè)什么地方就是在數(shù)軸上取什么值，堆積多少就是在那里占有的比例是多少或者概率有多大?？傮w可以表示為隨機(jī)變量，并具有自身的分布。樣本則是相互獨(dú)立與總體具有相同分布的n元隨機(jī)變量。因此，總體分布是總體和樣本的連接點(diǎn)。從而，可以通過(guò)對(duì)樣本特征的研究達(dá)到對(duì)總體進(jìn)行研究的目的。因?yàn)樗鼈兙哂邢嗤姆植?。須知，如果?duì)于一個(gè)隨機(jī)變量完全掌握了它的分布規(guī)律，就完全明白無(wú)誤了。,2024/3/18,17,為什么樣本是與所來(lái)自的總體具有相同的分

15、布的隨機(jī)變量,因?yàn)闃颖揪哂卸匦裕阂皇侵改骋淮尉唧w的抽樣的具體的數(shù)值（X1，……，Xn）；二是指一次抽樣的可能結(jié)果，它的每一次觀察都是隨機(jī)地從總體中（每一個(gè)個(gè)體有同樣的機(jī)會(huì)被選入）抽取一個(gè)，所以它是一組隨機(jī)變量（x1，x2，……，xn） 而且，每一次抽樣都來(lái)自同一總體（分布），也就是每一次抽樣都帶來(lái)了與總體一樣的分布信息。所以，樣本與所來(lái)自的總體分布相同。由于總體分布完整的描述了總體的信息，有時(shí)我們也直呼總體為分布，不加區(qū)別地使

16、用總體或分布。,2024/3/18,18,統(tǒng)計(jì)量,設(shè)（x1，x2，……，xn）為一組樣本觀察值，函數(shù)f（ x1，x2，……，xn ）若不含有未知參數(shù)，則稱為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量一般是連續(xù)函數(shù)。由于樣本是隨機(jī)變量，因而它的函數(shù)也是隨機(jī)變量，所以，統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)量一般用它來(lái)提取或壓榨由樣本帶來(lái)的總體信息。,2024/3/18,19,樣本與總體之間的關(guān)系,樣本是總體的一部分，是對(duì)總體隨機(jī)抽樣后得到的集合。對(duì)觀察者而言，總體是不了

17、解的，了解的只是樣本的具體情況。我們所要做的就是通過(guò)對(duì)這些具體樣本的情況的研究，來(lái)推知整個(gè)總體的情況。,,,……,Xn+1,Xn,…,X1,,,樣本,總體,2024/3/18,20,數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu),（1）總體和樣本引入一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述總體（2）對(duì)總體的描述：隨機(jī)變量的數(shù)字特征（3）對(duì)樣本的描述：樣本分布的數(shù)字特征（4）總體與樣本的連接點(diǎn)：隨機(jī)變量的分布（5）如何用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征及數(shù)據(jù)生成過(guò)

18、程中的各種參數(shù) a 估計(jì)量的優(yōu)良性 b 估計(jì)方法 c 對(duì)估計(jì)量的檢驗(yàn)——假設(shè)檢驗(yàn),2024/3/18,21,a 估計(jì)量的優(yōu)良性,1、無(wú)偏性2、有效性3、均方誤最小4、一致性,2024/3/18,22,b 估計(jì)方法,,2024/3/18,23,c 對(duì)估計(jì)量的檢驗(yàn)——假設(shè)檢驗(yàn),1.對(duì)總體分布特征的假設(shè)檢驗(yàn)（1）一個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)a 檢驗(yàn)均值：已知方差和未知方差b 檢

19、驗(yàn)方差：未知均值（雙尾和單尾）（2）兩個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)a 檢驗(yàn)均值：未知方差但可假設(shè)其相等b 檢驗(yàn)方差：未知均值（雙尾和單尾）（3）總體分布的假設(shè)檢驗(yàn)a 總體為離散型分布b 總體為連續(xù)型分布2.對(duì)各種系數(shù)、參數(shù)估計(jì)值的假設(shè)檢驗(yàn),2024/3/18,24,一、隨機(jī)變量的分布,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2024/3/18,25,（一）離散型隨機(jī)變量的分布,定義：如果隨

20、機(jī)變量?只取有限個(gè)或可列多個(gè)可能值，而且?以確定的概率取這些值，則稱?為離散型隨機(jī)變量。通常用分布列表示離散型隨機(jī)變量：?的概率分布也可用一系列等式表示：P（ ? =xi）=pi （i=1,2,……）稱為?的概率函數(shù)。注意這里xi只出現(xiàn)一次。顯然滿足概率的定義：離散型隨機(jī)變量的分布就是指它的分布列或概率函數(shù)。,2024/3/18,26,離散型隨機(jī)變量舉例1,例1 一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，

21、以隨機(jī)變量來(lái)描述這一試驗(yàn)并寫出的分布。以X=0表示“產(chǎn)品為合格產(chǎn)品”，X=1表示“產(chǎn)品為廢品”，那么分布列如下：其概率函數(shù)p（X=0）=0.95， p（X=1）=0.05，或p（X=i）=（0.05）i（0.95）1-i （ i = 0, 1）,2024/3/18,27,離散型隨機(jī)變量舉例2,用隨機(jī)變量X描述擲一顆骰子的試驗(yàn)。分布的概率函數(shù)為：P（X=i）= 1/6（i=1，2，3，4，5，6）,2024/3/

22、18,28,（二）隨機(jī)變量的分布函數(shù),定義：若X是一個(gè)隨機(jī)變量（可以是離散的，也可以是非離散的），對(duì)任何實(shí)數(shù)x，令F（x）=P（X<=x），稱F（x）為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。F（x），即事件“X<=x”的概率，是一個(gè)實(shí)函數(shù)。對(duì)任意實(shí)數(shù)x1<x2，有P（x1<X<x2）=P（X<=x2）- P（X<=x1）=F（x2）- F（x1）由此可知，若已知X的分布函數(shù)，就知道X在任何區(qū)間上取值的概

23、率。所以，分布函數(shù)完整的描述了隨機(jī)變量的變化情況。,2024/3/18,29,分布函數(shù)F（x）的性質(zhì),,2024/3/18,30,分布函數(shù)舉例,例3 求例1中的分布函數(shù)例4 求例2中的分布函數(shù),,2024/3/18,31,（三）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,定義：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，如果隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x）可以寫成概率分布密度函數(shù)的性質(zhì)：,2024/3/18,32,為什么?(x)稱為概率分布密度函數(shù),,2024/3/18,3

24、3,連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)舉例,,2024/3/18,34,（四）分布函數(shù)、概率函數(shù)、密度函數(shù)三者的關(guān)系,分布函數(shù)既適用于離散型也適用于連續(xù)型，是描述各種類型隨機(jī)變量最一般的共同形式。但是，它不夠直觀。概率函數(shù)對(duì)于離散型的描述很直觀。概率密度函數(shù)的大小能夠反映X在x附近取值的概率的大小，從而比分布函數(shù)更直觀。所以，在實(shí)際應(yīng)用中我們分別用概率函數(shù)和密度函數(shù)對(duì)離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行描述。,2024/3/18,35,二、二元隨機(jī)變量

25、,n元隨機(jī)變量的定義：每次試驗(yàn)同時(shí)處理n個(gè)隨機(jī)變量（X1，X2，……，Xn），它們的取值隨試驗(yàn)的進(jìn)行而變化。如果對(duì)任何一組實(shí)數(shù)（x1，x2，……，xn），事件“X1?x1，X2?x2，……， Xn?xn”有著確定的概率，則稱n個(gè)隨機(jī)變量（X1，X2，……，Xn）總體為一個(gè)n元隨機(jī)變量。n元隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義： n元函數(shù)F（ x1，x2，……，xn ）= P(X1?x1，X2?x2，……， Xn?xn)（x1，x2，……，xn）

26、屬Rn，為n元隨機(jī)變量分布函數(shù)。離散二元隨機(jī)變量的定義：如果二元隨機(jī)變量（X,Y）所有可能取值為有限或可列多個(gè)，并且以確定的概率取各個(gè)不同數(shù)值，則稱（X,Y）為二元隨機(jī)變量。,2024/3/18,36,(X，Y)的聯(lián)合分布表和聯(lián)合分布函數(shù),(X，Y)為離散型的二元隨機(jī)變量，通常用聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合分布表表示。,2024/3/18,37,離散二元分布函數(shù)的示例,例6 同一品種的5個(gè)產(chǎn)品中，有2個(gè)正品，3個(gè)次品，每次從中抽取一個(gè)進(jìn)行質(zhì)量檢

27、查，不放回的抽取，連續(xù)兩次。令“Xi=0”表示第i次抽取到正品，而“Xi=1”表示第i次抽取到次品，寫出(X1,X2)的分布。解 p(X1=0,X2=0)= p(X1=0)P(X2=0)=(2/5)(1/4)=1/10 p(X1=0,X2=1)=p(X1=0)P(X2=1)=(2/5)(3/4)=3/10 p(X1=1,X2=0)=p(X1=1)P(X2=0)=(3/5)(2/4)=3/10 p(

28、X1=1,X2=1)=p(X1=1)P(X2=1)=(3/5)(2/4)=3/10,2024/3/18,38,連續(xù)二元隨機(jī)變量的定義,,2024/3/18,39,三、獨(dú)立性,（一）事件的獨(dú)立性（二）隨機(jī)變量的獨(dú)立性,2024/3/18,40,（一）事件的獨(dú)立性,定義1.12事件的獨(dú)立性的定義如果事件A發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的的影響，即P(A/B)=P(A)，則稱事件A對(duì)于事件B獨(dú)立。顯然，若事件A對(duì)于事件B獨(dú)立，事件B對(duì)于

29、事件A也一定獨(dú)立，我們稱事件A與事件B相互獨(dú)立。A與B獨(dú)立的充分必要條件是： P（AB）=P（A）P（B）,2024/3/18,41,（二）隨機(jī)變量的獨(dú)立性,定義1.13隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義 對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,y，如果二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)等于X和Y的邊際分布的乘積，即 F(x,y) = FX(x) . FY(y)則稱X與Y相互獨(dú)立。

30、定義1.14邊際分布的定義離散型二元隨機(jī)變量(X,Y)中，分量X（或Y）的概率分布稱為(X,Y)的關(guān)于X（或Y）的邊際分布，邊際分布又稱邊緣分布。,2024/3/18,42,四、隨機(jī)變量函數(shù)的概念和分布,定義1.15 隨機(jī)變量函數(shù)的定義 設(shè)f(x)是定義在隨機(jī)變量X的一切可能取值集合上的函數(shù)。如果對(duì)于X的每一個(gè)可能值x，都有另一個(gè)隨機(jī)變量Y的取值y=f(x)與之相對(duì)應(yīng)，則稱Y為X的函數(shù)，記作Y=f(X)。

31、 我們常常遇到一些隨機(jī)變量，它們的分布往往難于直接得到（例如滾珠體積的測(cè)量值等），但與它們有關(guān)系的另一個(gè)隨機(jī)變量的分布卻是容易知道的（如滾珠直徑的測(cè)量值）。因此，就要研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系，然后通過(guò)它們之間的關(guān)系，由已知隨機(jī)變量的分布求出與之有關(guān)的其它隨機(jī)變量的分布。其間的關(guān)系通常用函數(shù)關(guān)系表示。,2024/3/18,43,第二節(jié) 對(duì)總體的描述——隨機(jī)變量的數(shù)字特征,一、數(shù)學(xué)期望二、方差三、數(shù)學(xué)期望與方差的圖示,,,,,,

32、,,,,2024/3/18,44,一、數(shù)學(xué)期望,研究數(shù)字特征的必要性兩個(gè)最重要的數(shù)字特征（1）數(shù)學(xué)期望（2）方差,,2024/3/18,45,研究數(shù)字特征的必要性,總體就是一個(gè)隨機(jī)變量。對(duì)總體的描述就是對(duì)隨機(jī)變量的描述。隨機(jī)變量的分布就是對(duì)隨機(jī)變量最完整的描述。但是，（1）求出總體的分布往往不是一件容易的事情；（2）而且，在很多情況下，我們并不需要全面考察隨機(jī)變量的變化情況，只需要了解總體的一些綜合指標(biāo)。一般說(shuō)來(lái)，常常需要了解

33、總體的一般水平和它的離散程度；（3）如果了解總體的一般水平和離散程度，就已經(jīng)對(duì)總體有了粗略的了解了；（4）在很多情況下，了解這兩個(gè)數(shù)字特征還是深入求出總體分布的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。由此看來(lái)，研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征是十分必要的。,2024/3/18,46,數(shù)學(xué)期望的定義,定義2.1離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義假定有一個(gè)離散型隨機(jī)變量X有n個(gè)不同的可能取值x1,x2,……,xn，而p1,p2,……,pn是X取這些值相應(yīng)的概率，則這個(gè)隨機(jī)變量

34、X的數(shù)學(xué)期望定義如下：數(shù)學(xué)期望描述的是隨機(jī)變量（總體）的一般水平。定義2.2連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義,2024/3/18,47,女兒期待父親釣多少魚(yú)回家？,數(shù)學(xué)期望是最容易發(fā)生的，因而是可以期待的。它反映數(shù)據(jù)集中的趨勢(shì)。,2024/3/18,48,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),（1）如果a、b為常數(shù)，則 E(aX+b)=aE(X)+b（2）如果X、Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則 E(X+Y)=E(X)+E

35、(Y)（3）如果g(x)和f(x)分別為X的兩個(gè)函數(shù)，則 E[g(X)+f(X)]=E[g(X)]+E[f(X)]（4）如果X、Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則 E(X.Y)=E(X).E(Y),2024/3/18,49,求離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望舉例,例1 甲、乙兩射手在一次射擊中的得分（分別用X、Y表示）的分布率如下：試比較兩射手的射擊技術(shù)水平，并計(jì)算如果二人各發(fā)一彈，他們

36、得分和的估計(jì)值。解 EX=1? 0.4+2 ? 0.1+3 ? 0.5=2.1 EY=1 ? 0.1+2 ? 0.6+3 ? 0.3=2.2 E(X+Y)=2.1+2.2=4.3 EX<EY 乙射手射擊水平比較高 二人各發(fā)一彈，得分總和最可能在4.3分左右（即4分或5分）,2024/3/18,50,二、方差,定義2.4 離均差的定義 如果隨機(jī)變量X的數(shù)

37、學(xué)期望E(X)存在，稱[X-E(X) ]為隨機(jī)變量X的離均差。顯然，隨機(jī)變量離均差的數(shù)學(xué)期望是0，即 E [ X-E(X) ] = 0定義2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差定義2.5 隨機(jī)變量離均差平方的數(shù)學(xué)期望，叫隨機(jī)變量的方差，記作Var(x),或D(x)。方差的算術(shù)平方根叫標(biāo)準(zhǔn)差。,2024/3/18,51,方差的意義,（1）離均差和方差都是用來(lái)描述離散程度的，即描述X對(duì)于它的期望的偏離程度，這種偏差越大，

38、表明變量的取值越分散。（2）一般情況下，我們采用方差來(lái)描述離散程度。因?yàn)殡x均差的和為0，無(wú)法體現(xiàn)隨機(jī)變量的總離散程度。事實(shí)上正偏差大亦或負(fù)偏差大，同樣是離散程度大。方差中由于有平方，從而消除了正負(fù)號(hào)的影響，并易于加總，也易于強(qiáng)調(diào)大的偏離程度的突出作用。,2024/3/18,52,方差的性質(zhì),（1）Var(c )=0（2）Var(c+x)=Var(x )（3）Var(cx)=c2Var(x)（4）x,y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則V

39、ar(x+y)=Var(x )+Var(y )=Var(x-y)（5）Var(a+bx)=b2Var(x)（6）a,b為常數(shù)，x,y為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)（7）Var(x)=E(x2)-(E(x))2,2024/3/18,53,例2 計(jì)算本節(jié)例1中甲射手的方差,例1 甲、乙兩射手在一次射擊中的得分（分別用X、Y表示）的分布率如下：E(X)=2.1Var(X)=（-

40、 1.1） 2 ? 0.4+（-0.1）2 ? 0.1+0.92 ? 0.5 = 0.89,2024/3/18,54,三、數(shù)學(xué)期望與方差的圖示,數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量的集中程度，方差描述隨機(jī)變量的分散程度。1方差同、期望變大 2期望同、方差變小,2024/3/18,55,第三節(jié) 對(duì)樣本的描述——樣本分布的數(shù)字特征,一、樣本分布函數(shù)二、樣本平均數(shù)三、樣本方差,2024/3/18,56

41、,一、樣本分布函數(shù),,2024/3/18,57,樣本分布函數(shù)舉例,,2024/3/18,58,二、樣本平均數(shù),總體的數(shù)字特征——是一個(gè)固定不變的數(shù)，稱為參數(shù)；樣本的數(shù)字特征——是隨抽樣而變化的數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)變量，稱為統(tǒng)計(jì)量。定義3.1樣本平均數(shù)的定義樣本平均數(shù)用來(lái)描述樣本的平均水平（一般Common）水平。,2024/3/18,59,三、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差,定義3.2 樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義,2024/3/18,60,第四節(jié)

42、 隨機(jī)變量的分布——總體和樣本的連接點(diǎn),一、幾種重要的分布二、各種分布之間的聯(lián)系三、分布是總體和樣本之間的連接點(diǎn)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)放在確定X服從什么分布，和各種分布的聯(lián)系上。,,2024/3/18,61,一、幾種重要的分布,如果一個(gè)隨機(jī)變量的分布已經(jīng)確定，那么這個(gè)隨機(jī)變量的一切性質(zhì)對(duì)于我們便都是已知的。因?yàn)殡S機(jī)變量的分布是對(duì)隨機(jī)變量最完整的描述。例如X是廣西十萬(wàn)大山中樹(shù)木的高度， 它的分布函數(shù)為F(x)=P(X<=x)。此時(shí)，你

43、對(duì)任意給定的高度x，都確知不超過(guò)這個(gè)高度的樹(shù)木在整個(gè)十萬(wàn)大山中所占的比例，你還會(huì)說(shuō)整個(gè)十萬(wàn)大山樹(shù)木高度的情況不清楚嗎？再如，已知X服從數(shù)學(xué)期望和方差已知的正態(tài)分布，那么你便了解這個(gè)X自身的一切性質(zhì)?？梢酝ㄟ^(guò)查正態(tài)分布表確定研究中所需的一切數(shù)據(jù)。分布的數(shù)學(xué)形式和圖形屬“技術(shù)問(wèn)題”，精力應(yīng)集中于X究竟屬于何種分布上。,2024/3/18,62,1.?分布,（1） ?分布的定義（2）定理4.1 ?分布的數(shù)學(xué)期望和方差,2024

44、/3/18,63,2. 指數(shù)分布,（1）指數(shù)分布的定義（2）定理4.2 指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差,2024/3/18,64,3. ? 2 分布,（1）定義4.3 ? 2 分布的定義（2）定理4.3?分布的和仍然服從?分布,2024/3/18,65,定理4.3推論：? 2 分布的和仍然服從? 2 分布,若X1,X2,……,Xn相互獨(dú)立，且Xi服從具有ni（i=1,2,……，n）個(gè)自由度的? 2 分布，則它們的和X

45、1+X2+……+Xn 服從具有? ni 個(gè)自由度的? 2 分布。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2024/3/18,66,4. 正態(tài)分布,定義4.4正態(tài)分布的定義定理4.4 正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差定義4.5 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,2024/3/18,67,正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化,定理4.5 正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化,2024/3/18,68,5. t分布,定義4.6 t分布的定義,2024/3/18,6

46、9,6. F分布,定義4.7 F分布的定義,2024/3/18,70,? 2 分布的圖象,,2024/3/18,71,t分布和正態(tài)分布,,,,2024/3/18,72,F分布的圖象,,,,2024/3/18,73,二、各種分布之間的聯(lián)系,1. 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理4.6 如果X~N（?，?2），則（X- ?）/ ?~N（0，1）2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與X2分布之間的關(guān)系定理4.7 如果X~N（0，1），則X2~ X