概率論1 1

1、主講　 盧占禹　　電話(huà) 13218921176,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是從數(shù)量方面研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)學(xué)科。,概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象及預(yù)備知識(shí),一 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象,自然界或社會(huì)上的現(xiàn)象分成兩類(lèi)，,不確定現(xiàn)象:在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而在試驗(yàn)或觀察之前不能預(yù)知確切的結(jié)果。,一類(lèi)是確定性現(xiàn)象，一類(lèi)是不確定性現(xiàn)象。,確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的

2、 現(xiàn)象.,如：同性電荷互相排斥 純水加熱到100度必然沸騰,例1 拋硬幣實(shí)驗(yàn),例2 一門(mén)火炮對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊,例1 拋硬幣實(shí)驗(yàn),試驗(yàn)者 試驗(yàn)次數(shù) 出現(xiàn)正面次數(shù) 出現(xiàn)反面次數(shù)摩爾根 2048 1061 987泊 松 4040

3、 2048 1992 皮爾遜 12000 6019 5981皮爾遜 24000 12012 11988,例2 一門(mén)火炮對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊,這種在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，就是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。,隨機(jī)現(xiàn)象

4、：在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象，稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象。,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是從數(shù)量方面研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科。,1排列與組合,乘法原理： 如果一個(gè)過(guò)程可以分成兩個(gè)階段進(jìn)行，第一個(gè)階段有m種不同的做法，第二個(gè)階段有n 種不同的做法，且第一個(gè)階段的任何一種做法都可以與第二個(gè)階段的任一種做法配成整個(gè)過(guò)程的一種做法，那么整個(gè)過(guò)程應(yīng)該有m?n種做法。,二 預(yù)備知識(shí),,加法原理

5、 如果一個(gè)過(guò)程有兩類(lèi)方法完成,第一類(lèi)有m種不同方法,第二類(lèi)有n種不同方法,則該過(guò)程共有m+n種不同方法.,例1、由 0, 1，2，3，4，5，6七個(gè)數(shù)字可以 組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?有幾個(gè)是偶數(shù)？,排列,從n個(gè)不同的元素中，任意取出r個(gè)不同的元素按照 一定的順序排成一列，這樣的一列元素叫做從n個(gè)不同元素中取r個(gè)不同元素組成的一個(gè)排列。 所有不同排列的種數(shù)，通常用 來(lái)表示。,排列數(shù)也常用

6、 表示。,組合,設(shè)有n個(gè)不同的元素，從它們中間任取 r個(gè) 構(gòu)成一組，稱(chēng)為一個(gè)組合。 所有不同的組合的種數(shù)，通常記作,注 我們教材上組合數(shù)用 表示。,例2 四本數(shù)學(xué)書(shū),五本文學(xué)書(shū)排成一列,四本數(shù)學(xué)書(shū)排在一起的排法有幾種?,例3、有五本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，八本不同的物理書(shū)，從中任取兩本數(shù)學(xué)書(shū)、四本物理書(shū)，問(wèn)有多少種不同的取法？,(1)子集 如果屬于集合A的任一元素都屬于集合B,那么稱(chēng)集合A是集合B的子集

7、。記作A?B .,,2 集 合,集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的集體。組成集合的各個(gè)事物稱(chēng)為這個(gè)集合的元素。,(2) 并集 由至少屬于集合A及集合B二者之一的所有元素所組成的集合稱(chēng)為集合A與集合B的并集.記作A∪B .,(3) 交集 由同時(shí)屬于集合A及集合B的所有元素所組成的集合稱(chēng)為集合A與集合B的交集。記作A∩B,(4) 差集(余集) 設(shè)A、B為任意兩個(gè)集合，稱(chēng)由屬于集合A而不屬于

8、集合B的所有元素所組成的集合為集合A與集合B的差集.記作A\B .,,第一章 隨機(jī)事件,一 隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間,第一節(jié) 樣本空間和隨機(jī)事件,觀察下面一些試驗(yàn),E1: 拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。,E2:拋一顆均勻的骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)。,E5:向一個(gè)直徑為50cm的圓靶上射擊，觀察彈著點(diǎn)的位置。,E4:在某交通路口的一個(gè)時(shí)段內(nèi)，觀察機(jī)動(dòng)車(chē)的流量。,E3:從一大批同型號(hào)的產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取n件，觀察其中的次品數(shù)。,1、試

9、驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；,在概率論中把具有以上三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)，稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)。本書(shū)中以后提到的試驗(yàn)都是指隨機(jī)試驗(yàn)。,以上試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：,2、每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，而且試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)；,3、試驗(yàn)前可以確定試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E, 稱(chēng)由其所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合為隨機(jī)試驗(yàn)E樣本空間, 用大寫(xiě)的希臘字母? 表示.,樣本空間的引進(jìn)，意味著可用集合來(lái)表示隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果，這為從數(shù)學(xué)的角度定量地研究隨機(jī)試驗(yàn)

10、創(chuàng)造了條件。,樣本空間中的每一個(gè)元素稱(chēng)為此樣本空間的一個(gè) 樣本點(diǎn), 用小寫(xiě)的希臘字母 ?表示.,注,下面我們舉一些例說(shuō)明如何求隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間.,1 E1: 拋一枚銀幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。,? ={正面, 反面},?={1, 2, 3, 4, 5, 6},2 E2:拋一顆均勻的骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)。,Ω={0,1,2,3,…},E3:從一大批同型號(hào)的產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取n件，觀察其中的次品數(shù)。,?={0,1, 2, 3, …

11、,n},E4:在某交通路口的一個(gè)時(shí)段內(nèi)，觀察機(jī)動(dòng)車(chē)的流量。,E5:向一個(gè)直徑為50cm的圓靶上射擊，觀察彈著點(diǎn)的位置。,注1,樣本空間的元素是由實(shí)驗(yàn)?zāi)康乃_定的。,注2,不少情況下我們不能確切知道實(shí)驗(yàn)的全體可能結(jié)果，但我們可以知道它不會(huì)超出某個(gè)范圍，這時(shí)我們就可以用這個(gè)范圍來(lái)作為該實(shí)驗(yàn)的樣本空間。,二、隨機(jī)事件,,稱(chēng)一個(gè)與試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)的“陳述”為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱(chēng)事件.,通常用大寫(xiě)英文字母A, B, C, …等表示.,例如試驗(yàn)E：擲一顆骰子

12、,觀察其點(diǎn)數(shù),可見(jiàn):事件確定著樣本空間的一個(gè)子集.一次試驗(yàn)中，事件是否發(fā)生取決于試驗(yàn)結(jié)果是否屬于這一子集。,5點(diǎn)以上，至多是4點(diǎn)，… 等都是試驗(yàn)E 的事件,什么是事件“5點(diǎn)以上”發(fā)生呢？,又如, 擲兩次骰子,觀察出現(xiàn)哪些點(diǎn),這個(gè)試驗(yàn), 事件 B ="兩次點(diǎn)數(shù)相同",,隨機(jī)事件是樣本空間中具有不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的子集.就一次試驗(yàn)而言,它可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,發(fā)生與否取決于試驗(yàn)結(jié)果是否屬于這個(gè)子集.但在大量重復(fù)試驗(yàn)中

13、,它的發(fā)生次數(shù)具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.,則 B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},隨機(jī)事件的隨機(jī)性體現(xiàn)在哪里呢?,幾種特殊的事件,基本事件: 只包括一個(gè)樣本點(diǎn), 或者說(shuō)只有一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的事件稱(chēng)為基本事件.否則稱(chēng)為復(fù)合事件.必然事件: ? 表示每次試驗(yàn)均發(fā)生, 因此稱(chēng)為必然事件.不可能事件: ? 表示每次試驗(yàn)一定不會(huì)發(fā)生,因此稱(chēng)為不可能事件.,事件的圖示,為了直觀, 經(jīng)常使用圖示來(lái)表示事件, 一

14、般地, 用一個(gè)平面上某個(gè)方(或矩)形區(qū)域表示必然事件或者樣本空間?, 其中的一個(gè)子區(qū)域表示一具體的事件.,1 事件的包含,如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生, 則稱(chēng)事件B包含事件A或稱(chēng)事件A包含于事件B, 記作B ?A 或 A?B。,等價(jià)的說(shuō)法是如果B不發(fā)生則A也不會(huì)發(fā)生.,第二節(jié) 事件的關(guān)系和運(yùn)算,對(duì)于任何事件A有 ? ? A ? ?,2 事件的相等,如果事件A包含事件B, 事件B也包含事件A, 稱(chēng)事件A與B相等.

15、 記作A=B,3 事件的并（和）,稱(chēng)“兩個(gè)事件A與B 至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件, 為事件A與B的并(和)事件. 記作 A+B 或 A?B,易知 A + ? = ? A + ? = A,稱(chēng)“n個(gè)事件A1,A2,…,An中至少有一個(gè)發(fā)生”,記作 A1+A2+…+An 或 A1?A2?…?An,這一事件為這n 個(gè)事件的和事件.,可列個(gè)事件的和表示可列個(gè)事件中至少有一個(gè)事件

16、發(fā)生, 記作,4 事件的交(積),稱(chēng)“兩個(gè)事件A與B同時(shí)發(fā)生”這一事件為事件A與B的交(或積)事件. 記作AB 或A?B,易知A ? ? = AA ? ? = ?,類(lèi)似于和事件,交事件的概念也可以推廣到有限和可列多個(gè)事件.,5 對(duì)立事件,對(duì)于事件A,稱(chēng)事件“A不發(fā)生"為A的對(duì)立事件(或逆事件). 記作,顯然,6 事件的差,稱(chēng)“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”這一事件為事件A與B的差事件. 記作 A\B或A-B,易知,7 互

17、不相容事件,如果事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生, 即AB=?, 則稱(chēng)事件A與B互不相容(或稱(chēng)互斥).,對(duì)立事件一定互不相容, 但互不相容事件未必對(duì)立.,顯然, 基本事件之間是互不相容的.,隨機(jī)事件的運(yùn)算性質(zhì)：,（1）交換律,（2）結(jié)合律,（3）分配律,（4）德摩根律（對(duì)偶律）,例2 擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：,事件A表示“奇數(shù)點(diǎn)”, 事件B表示“點(diǎn)數(shù)小于5”, C表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)”. 試用集合的列舉法表示下列事件:,解:,?={1,2