工程數學10

1、第四節(jié) 誤差分析及解的精度改進,一、解的誤差分析基本問題——解的穩(wěn)定性,數學穩(wěn)定性:對數學問題而言，如果輸入數據有微小擾動，引起輸出數據（即數學問題的解）有很大擾動，則稱數學問題是病態(tài)問題，否則稱為良態(tài)問題。,數值方法的穩(wěn)定性:一個算法如果輸入數據有擾動（即有誤差），而計算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數值穩(wěn)定的，否則稱此算法為不穩(wěn)定的。,,,,證閉,,,在正交變換下，誤差不增長,,前面介紹的列主元法解決了Gauss消

2、元法由于小主元的出現所導致的舍入誤差的積累，從而出現的失真的問題。但列主元法也有缺點，當方程中出現比例因子時，列主元法就無能為力了。,列主元法求解x1=x2=1,,按比例消元法 :將每個方程乘上一個適當的比例因子，使方程組的最大系數的絕對值不超過1，然后再做列主元消元。,（2）（行）比例增減改善,例4 應用按比例消元法求解 方程組,算法 按比例高斯消元法解線性方程組 Ax = b,,,,迭代改善的計算格

3、式：,,,病態(tài)嚴重：可用A的正交分解、A的奇異值分解。,輕度病態(tài)：可用雙精度改善、比例增減改善、迭代改善。,2.解的精度改進,,,,,,,證明：,病態(tài)的程度。,接近奇異,的大小可作為度量矩陣,最小的奇異值,分解,的,n,n,T,T,n,A,A,A,A,A,cond,diag,V,U,A,SVD,A,s,s,s,l,l,s,s,s,1,min,max,2,2,1,),(,),(,),(,),,...,,,,(,,,),1,(,=,=,=,