數(shù)學(xué)史概論復(fù)習(xí)題及參考答案[1]

1、新疆昌吉學(xué)院初等教育學(xué)院,數(shù)學(xué)史概論總復(fù)習(xí),主講:王克衛(wèi),http://www.cjc.net.cn/wkw-5588@163.com,TEL:0994-2347343,考試題型,一、填空題（每空1分，共30分） 二、簡答題（每小題5分，共50分） 三、簡述20世紀(jì)十例現(xiàn)代數(shù)學(xué)成果的內(nèi)容 （10分） 四、談學(xué)習(xí)的心得體會（10分）,第0章 數(shù)學(xué)史—人類文明的重要篇章,一、數(shù)學(xué)史研究哪些內(nèi)容？（Z)

2、二、歷史上關(guān)于數(shù)學(xué)概念的定義有哪些？ 三、數(shù)學(xué)史通常采用哪些線索進(jìn)行分期 。 四、本書對數(shù)學(xué)史如何分期？,一、數(shù)學(xué)史研究哪些內(nèi)容？P1 答：數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會政治、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系。,二、歷史上關(guān)于數(shù)學(xué)概念的定義有哪些？P5——8答： 1、公元前4世紀(jì)的希臘哲學(xué)家亞里士多德將數(shù)學(xué)定義為“數(shù)學(xué)是量的科學(xué)”。2、16世紀(jì)英國哲學(xué)家培根(1561—1626)將數(shù)學(xué)分為“

3、純粹數(shù)學(xué)” 與“混合數(shù)學(xué)”。 3、在17世紀(jì)，笛卡兒(1596—1650) 認(rèn)為：“凡是以研究順序(order)和度量(measure)為目的的科學(xué)都與數(shù)學(xué)有關(guān)”。,4、19世紀(jì)恩格斯這樣來論述數(shù)學(xué)：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系”。根據(jù)恩格斯的論述，數(shù)學(xué)可以定義為：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)?！?、19世紀(jì)晚期，集合論的創(chuàng)始人康托爾(1845—1918)曾經(jīng)提出： “數(shù)學(xué)是絕對自由發(fā)展的學(xué)科，它只

4、服從明顯的思維，就是說它的概念必須擺脫自相矛盾，并且必須通過定義而確定地、有秩序地與先前已經(jīng)建立和存在的概念相聯(lián)系”。,6、20世紀(jì)50年代，前蘇聯(lián)一批有影響的數(shù)學(xué)家試圖修正前面提到的恩格斯的定義來概括現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的特征：“現(xiàn)代數(shù)學(xué)就是各種量之間的可能的，一般說是各種變化著的量的關(guān)系和相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)”。7、從20世紀(jì)80年代開始，又出現(xiàn)了對數(shù)學(xué)的定義作符合時代的修正的新嘗試。主要是一批美國學(xué)者，將數(shù)學(xué)簡單地定義為關(guān)于“模式” 的科學(xué)：

5、“【數(shù)學(xué)】這個領(lǐng)域已被稱作模式的科學(xué)，其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的結(jié)構(gòu)和對稱性” 。,三、數(shù)學(xué)史通常采用哪些線索進(jìn)行分期？P9答：一般可以按照如下線索： (1)按時代順序； (2)按數(shù)學(xué)對象、方法等本身的質(zhì)變過程； (3)按數(shù)學(xué)發(fā)展的社會背景。,四、本書對數(shù)學(xué)史如何分期？P9答：1、數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展(公元前6世紀(jì)前) 2、初等數(shù)學(xué)時期(公元前6世紀(jì)一16世紀(jì))

6、 (1)古代希臘數(shù)學(xué)(公元前6世紀(jì)－6世紀(jì)) (2)中世紀(jì)東方數(shù)學(xué)(3世紀(jì)一15世紀(jì)) (3)歐洲文藝復(fù)興時期(15世紀(jì)一16世紀(jì)) 3、近代數(shù)學(xué)時期(變量數(shù)學(xué)，17世紀(jì)－18世紀(jì)),4、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期(1820年一現(xiàn)在) (1)現(xiàn)代數(shù)學(xué)醞釀時期(1820’一1870) (2)現(xiàn)代數(shù)學(xué)形成時期(1870—1940’) (3)現(xiàn)代數(shù)學(xué)繁榮時期(當(dāng)代數(shù)學(xué)時期,1950－現(xiàn)在),第一章 數(shù)學(xué)

7、的起源與早期發(fā)展,一、  世界上早期常見有幾種古老文明記數(shù)系統(tǒng)，它們分別是什么數(shù)字，采用多少進(jìn)制數(shù)系？二、  “河谷文明”指的是什么？三、  關(guān)于古埃及數(shù)學(xué)的知識主要依據(jù)哪兩部紙草書？紙草書中問題絕大部分都是實用性質(zhì)，但有個別例外，請舉例。四、  美索不大米亞人的記數(shù)制遠(yuǎn)勝埃及象形數(shù)字之處主要表現(xiàn)在哪些方面？,一、  世界上早期常見有幾種古老文明記數(shù)系統(tǒng)，它們分別是什么數(shù)字，采用多

8、少進(jìn)制數(shù)系？P13答：1．古埃及的象形數(shù)字（公元前3400年左右）：十進(jìn)制數(shù)系2．巴比倫楔（xie）形數(shù)字（公元前2400年左右）：六十進(jìn)制數(shù)系3．中國甲骨文數(shù)字（公元前1600年左右）：十進(jìn)制數(shù)系4．希臘阿提卡數(shù)字（公元前500年左右）：十進(jìn)制數(shù)系,5．中國籌算數(shù)碼數(shù)字（公元前500年左右）：十進(jìn)制數(shù)系6．印度婆羅門數(shù)字（公元前300年左右）：十進(jìn)制數(shù)系7．瑪雅數(shù)字（？）：二十進(jìn)制數(shù)系,二、  “河谷文明”指的是

9、什么？P16答：歷史學(xué)家往往把興起于埃及。美索不大米亞、中國和印度等地域的古代文明稱為“河谷文明”。,三、  關(guān)于古埃及數(shù)學(xué)的知識主要依據(jù)哪兩部紙草書？P17,紙草書中問題絕大部分都是實用性質(zhì)，但有個別例外，請舉例。P23答：古埃及數(shù)學(xué)的知識主要依據(jù)萊茵德紙草書和莫斯科紙草書兩部紙草書。 例如：萊茵德紙草書第79題：“7座房，49只貓，343只老鼠，2401棵麥穗，16807赫卡特。,四、  美索不大米亞

10、人的記數(shù)制遠(yuǎn)勝埃及象形數(shù)字之處主要表現(xiàn)在哪些方面？P23--25答：1、六十進(jìn)制為主德楔形文記數(shù)系統(tǒng)，2、巧妙地將位值原理應(yīng)用到整數(shù)以外的分?jǐn)?shù)。3、計算程序化4、數(shù)表計算,第二章 古代希臘數(shù)學(xué),一、希臘數(shù)學(xué)一般是指什么時期，活動于什么地方的數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的數(shù)學(xué)？二、什么使泰勒斯獲得了第一位數(shù)學(xué)家和論證幾何學(xué)鼻祖的美名？三、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為宇宙萬物皆依賴于整數(shù)的信條由于什么發(fā)現(xiàn)而受到動搖？這個“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”是由于什么人提出

11、的新比例理論而暫時消除，這個新比例理論當(dāng)今的語言可怎么敘述？,四、希臘數(shù)學(xué)學(xué)派主要有哪些學(xué)派?五、古希臘三大著名幾何問題是什么？(Z)六、亞里士多德《物理學(xué)》中記載芝諾提出的四個著名的悖論是什么？七、希臘數(shù)學(xué)的“黃金時代”指的是什么時間?這時期希臘數(shù)學(xué)的中心從雅典移到何處，此處出現(xiàn)了哪三大數(shù)學(xué)家？八、幾何《原本》共分多少卷，包括有多少條公理，多少條公設(shè)，多少個定義和多少條命題？九、阿基米德數(shù)學(xué)研究的最大功績是什么？十、阿波羅

12、尼奧斯最重要的數(shù)學(xué)成就是什么？,一、希臘數(shù)學(xué)一般是指什么時期，活動于什么地方的數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的數(shù)學(xué)？P32答：希臘數(shù)學(xué)一般指從公元前600年至公元600年間，活動于希臘半島、愛琴海區(qū)域、馬其頓與色雷斯地區(qū)、意大利半島、小亞細(xì)亞以及非州北部的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造的數(shù)學(xué)。,二、什么使泰勒斯獲得了第一位數(shù)學(xué)家和論證幾何學(xué)鼻祖的美名？P33答：關(guān)于泰勒斯并沒有確鑿的傳記資料留傳下來。但是以下命題記載卻流傳至今，使泰勒斯獲得了第一位數(shù)學(xué)家和論證幾何學(xué)鼻

13、祖的美名。泰勒斯曾證明了下列四條定理： 1。圓的直徑將圓分為兩個相等的部分； 2。等腰三角形兩底角相等； 3。兩相交直線形成的對頂角相等；4。如果一三角形有兩角、一邊分別與另一三角形的對應(yīng)角、邊相等，那么這兩個三角形全等。 傳說泰勒斯還證明了現(xiàn)稱“泰勒斯定理”的命題：半圓上的圓周角是直角。,三、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為宇宙萬物皆依賴于整數(shù)的信條由于什么發(fā)現(xiàn)而受到動搖？這個“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”是由于什么人提出的新比例理論而暫時消除，P38

14、這個新比例理論當(dāng)今的語言可怎么敘述？P48答：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為宇宙萬物皆依賴于整數(shù)的信條由于不可公度量的發(fā)現(xiàn)而受到動搖, 這個“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”是大約一個世紀(jì)以后，由于畢達(dá)哥拉撕學(xué)派成員阿契塔斯的學(xué)生歐多克斯提出的新比例理論而暫時消除。,四、希臘數(shù)學(xué)學(xué)派主要有哪些學(xué)派?P39答：希臘數(shù)學(xué)也隨之走向繁榮，學(xué)派林立，主要有： 1、伊利亞學(xué)派； 2、詭辯學(xué)派； 3、雅典學(xué)院(柏拉圖學(xué)派)； 4、亞里士多德學(xué)派；,五、 古希

15、臘三大著名幾何問題是什么？P40(Z)答：（1）化圓為方，即作一個給定的圓面積相等的正方形。 （2）倍方立體，即求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍。 （3）三等分角，即分任意角為三等分 。,六、亞里士多德《物理學(xué)》中記載芝諾提出的四個著名的悖論是什么？P43答：芝諾四個著名悖論：1、兩分法2、阿基里斯3、飛箭4、運動場,七、 希臘數(shù)學(xué)的“黃金時代”指的是什么時間?這時期希臘數(shù)學(xué)的中心從雅典移到何處，此

16、處出現(xiàn)了哪三大數(shù)學(xué)家？P45答：從公元前338年希臘諸邦被馬其頓控制，至公元前30年羅馬消滅最后一個希臘化國家托勒密王國的三百余年，史稱希臘數(shù)學(xué)的“黃金時代“。這時期希臘數(shù)學(xué)的中心從雅典移到亞歷山大城；此處出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家，標(biāo)志著古代希臘數(shù)學(xué)的顛峰,八、 幾何《原本》共分多少卷，包括有多少條公理，多少條公設(shè)，多少個定義和多少條命題？P46答：幾何《原本》共分13卷，包括有5條公理，5條公設(shè)，1

17、19定義和465條命題？,九、 阿基米德數(shù)學(xué)研究的最大功績是什么？P52­­­­53 答：阿基米德數(shù)學(xué)研究的最大功績是集中探討與面積與體積計算相關(guān)的問題。主要著述：（1）《圓的度量》（2）《拋物線求積》（3）《論螺線》（4）《論球和圓柱》,（5）《論劈錐曲面和旋轉(zhuǎn)橢球》（6）《引理集》（7）《處理力學(xué)問題的方法》（8）《論平面圖形的平衡或其重心》（9）《論浮體》（10）《沙

18、粒計數(shù)》（11）《牛群問題》,十、 阿波羅尼奧斯最重要的數(shù)學(xué)成就是什么？P58答：阿波羅尼奧斯最重要的數(shù)學(xué)成就是創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線理論。,第三章 中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué),,一、中國數(shù)學(xué)史上何時何人何種方法最先完成勾股定理證明？二、《九章算術(shù)》中各章名稱是什么?這些章節(jié)中談?wù)撍阈g(shù)、代數(shù)、幾何方面的內(nèi)容為哪些章節(jié)？三、劉徽的數(shù)學(xué)成就中最突出是什么？四、 賈憲增乘開方法能否適用于開任意高次方?五、為什么說一次同余組

19、求解的剩余定理常常被稱為“中國剩余定理”？,一、中國數(shù)學(xué)史上何時何人何種方法最先完成勾股定理證明？P70答：公元3世紀(jì)三國時期的趙爽在注《周髀算經(jīng)》，作“勾股圓方圖“，其中的”弦圖“，相當(dāng)于運用面積的出入相補(bǔ)證明了勾股定理。,二、《九章算術(shù)》中各章名稱是什么?這些章節(jié)中談?wù)撍阈g(shù)、代數(shù)、幾何方面的內(nèi)容為哪些章節(jié)？P71----78答 ：《九章算術(shù)》采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章，依次為：方田、粟米、衰分、少廣、商功、

20、均輸、盈不足、方程、勾股，其中所包含的數(shù)學(xué)成就是豐富和多方面的。算術(shù)方面：方田、粟米、衰分、均輸、盈不足代數(shù)方面：方程幾何方面：方田、商功、勾股,三、 劉徽的數(shù)學(xué)成就中最突出是什么？P78  答：劉徽的數(shù)學(xué)成就中最突出是 “割圓術(shù)”和“體積理論”,四、 賈憲增乘開方法能否適用于開任意高次方?P93答：賈憲增乘開方法，是一個非常有效的和高度機(jī)械化的算法，可適用于開任意高次方。,五、為什么說一次同余組求解的剩

21、余定理常常被稱為“中國剩余定理”？P96答：秦九韶（約公元1202――1261）的“大衍求一術(shù)”是完全正確且十分嚴(yán)密的，但本人沒有給出證明，到18、19世紀(jì)，歐拉（1743）和高斯（1801）分別對一次同余組進(jìn)行了詳細(xì)研究，重新獨立地獲得與秦九韶“大衍求一術(shù)”相同的定理，并對模數(shù)兩兩互素的情形作出了嚴(yán)格證明。1876年德國人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯算法是一致的，因此關(guān)于一次同余組求解的剩余定理常常被稱為“中國剩余定理”。,第四

22、章 印度與阿拉伯的數(shù)學(xué),一、印度數(shù)學(xué)的發(fā)展可劃分為3個重要時期，這3個重要時期是指什么時期？二、用圓圈符號“O”表示零，可以說是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明，印度人起初用什么表示零，直到最后發(fā)展為圈號。三、“巴克沙利手稿”中涉及到哪些的數(shù)學(xué)內(nèi)容?四、“阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)“是否單指阿拉伯國家的數(shù)學(xué)？五、 第一次給出一元二次方程的一般代數(shù)解法是來至何人著的著作?,一、印度數(shù)學(xué)的發(fā)展可劃分為3個重要時期，這3個重要時期是指什么時期？答;

23、 印度數(shù)學(xué)的發(fā)展可以劃分為三個重要時期，首先是雅利安人入侵以前的達(dá)羅毗（pi）荼人時期（約公元前3000——前1400），史稱河谷文化；隨后是吠（fei）陀（tuo）（約公元前10世紀(jì)——前3世紀(jì)）；其次是悉檀（tan）多時期（5世紀(jì)——12世紀(jì)）.,二、 用圓圈符號“O”表示零，可以說是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明，印度人起初用什么表示零，直到最后發(fā)展為圈號。答：點號 ，直到最后發(fā)展為圈號。 1.“0”表示空位；2. “0”表示

24、“無”；3.數(shù)域的一個基本元素，可以運算。,三、 “巴克沙利手稿”中涉及到哪些的數(shù)學(xué)內(nèi)容?P107答：“巴克沙利手稿”中涉及到分?jǐn)?shù)，平方根、數(shù)列、收支與利潤計算、比例算法、級數(shù)求和、代數(shù)方程等，其代數(shù)方程包括一次方程、聯(lián)立方程組、二次方程。特別值得注意的是手稿中使用了一些數(shù)學(xué)符號如：減號、零號“0”。,四、 “阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)“是否單指阿拉伯國家的數(shù)學(xué)？P113答：“阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)“并非單指阿拉伯國家的數(shù)學(xué)，而是指8――15世紀(jì)阿拉

25、伯帝國統(tǒng)治下整個中亞和西亞地區(qū)的數(shù)學(xué)，包括希臘人、波斯人、猶太人和基督徒等所寫的阿拉伯文及波斯文等數(shù)學(xué)著作。,五、 第一次給出一元二次方程的一般代數(shù)解法是來自何人著的著作?P114答：第一次給出一元二次方程的一般代數(shù)解法是來自中世紀(jì)對歐洲數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米（約783－850）的《代數(shù)學(xué)》。,第五章 近代數(shù)學(xué)的興起,一、卡爾丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的

26、解法是從何人那里傳授來的？在《大法》中卡爾丹對三次方程又進(jìn)一步作了哪些工作？二、數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)化首先應(yīng)歸功于哪位數(shù)學(xué)家，對這位數(shù)學(xué)使用的代數(shù)符號的改進(jìn)工作是由何人完成的？三、球面三角與平面三角何者先出現(xiàn)？四、對數(shù)是何人首先發(fā)明？它的產(chǎn)生主要是由于什么的需要？五、笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個傳說，請試述其中的任意一,一、卡爾丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的解法是從何人那里

27、傳授來的？在《大法》中卡爾丹對三次方程又進(jìn)一步作了哪些工作？P126答：卡爾丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的解法是從塔塔利亞（1499――1557）那里傳授來的。在《大法》中卡爾丹給出了一般三次方程的解法，而且補(bǔ)充了幾何證明；書中還把其學(xué)生費拉里（1522――1565）的一般四次方程的解法寫進(jìn)《大法》中。,三、 球面三角與平面三角何者先出現(xiàn)？P131答：球面三角先于平

28、面三角出現(xiàn),四、對數(shù)是何人首先發(fā)明？它的產(chǎn)生主要是由于什么的需要？P136答 ：蘇格蘭貴族數(shù)學(xué)家納皮爾正是在球面天文學(xué)的三角研究中首先發(fā)明對數(shù)方法的。對數(shù)的產(chǎn)生主要是由于天文和航海計算的強(qiáng)烈需要。,五、 笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個傳說，請試述其中的任意一個。P142答：笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有兩個傳說。第一個傳說“晨思”時，看見一只天花板的蒼蠅，想確定其路線；另一個傳說是1619年冬天的三個連慣的三個夢。,第六章 微

29、積分的創(chuàng)立,一、微積分與積分學(xué)的起源何者在先，何者在后？二、微積分醞釀階段最有代表性的工作有哪幾項？(Z)三、牛頓走上創(chuàng)立微積分之路受哪兩部著作的影響最深？四、牛頓1666年寫了《流數(shù)簡論》之后，始終不渝努力改進(jìn)，完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是什么？為什么其中第三篇是牛頓最成熟的微積分著述？五、 為什么說在微積分的創(chuàng)立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)？,一、微積分與積分學(xué)的起源何者在先，何者在后？

30、P145答：積分學(xué)的起源在先，微積分的起源比積分學(xué)的起源要晚的多。,二、 微積分醞釀階段最有代表性的工作有哪幾項？P146—154(Z)答： （一）開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積，（二）卡瓦列里不可分量原理，（三）笛卡爾“圓法”（四）費馬求極大值與極小值的方法，（五）巴羅“微分三角形”，（六）沃利斯“無窮算術(shù)”,三、 牛頓走上創(chuàng)立微積分之路受哪兩部著作的影響最深？P155答：就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯

31、的《無窮算術(shù)》對他的影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上創(chuàng)立微積分之路。,四、 牛頓1666年寫了《流數(shù)簡論》之后，始終不渝努力改進(jìn)，完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是什么？P158為什么其中第三篇是牛頓最成熟的微積分著述？P160答：牛頓1666年寫了《流數(shù)簡論》之后，始終不渝努力改進(jìn)，完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是：1、《運用無窮多項方程的分析》，簡稱《分析學(xué)》（1

32、669）2、《流數(shù)法與無窮級數(shù)》，簡稱《流數(shù)法》(1671)3、《曲線求積分》簡稱《求積術(shù)》（1691）,五、為什么說在微積分的創(chuàng)立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)？P174答：牛頓和萊布尼茨都是他們時代的巨人，就微積分的創(chuàng)立而言，盡管在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但兩者的功績是相當(dāng)?shù)?，他們都使微積分成為能普遍適用的算法，同時又都將面積、體積及相當(dāng)?shù)膯栴}歸結(jié)為反切線（微分）運算。應(yīng)該說，微積分能成為獨立的科學(xué)并給整個自然科學(xué)

33、帶來革命性的影響，主要是靠了牛頓與萊布尼茲的工作，在科學(xué)上，重大的真理往往在條件成熟的一定時期的探索者相互獨立地發(fā)現(xiàn)，微積分地出來，情形也是如此。所以說在微積分的創(chuàng)立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)。,第七章 分析時代,一、18世紀(jì)微積分發(fā)展包括哪幾個主要方面？(Z)二、簡述18世紀(jì)常微分方程的發(fā)展過程。三、簡述18世紀(jì)微分幾何的形成過程。四、簡述哥德巴赫猜想與華林問題。,一、 18世紀(jì)微積分發(fā)展包括哪幾個主要方面？P176—187

34、(Z)答： （一）積分技術(shù)與橢圓積分，（二）微積分向多元函數(shù)的推廣，（三）無窮級數(shù)理論，（四）函數(shù)概念的深化，（五）微積分嚴(yán)格化的嘗試。,二、 簡述18世紀(jì)常微分方程的發(fā)展過程。P188答：1、常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來的，從17世紀(jì)末開始，擺的運動、彈性理論以及天體力學(xué)等實際問題的研究引出了一系列常微分方程，2、數(shù)學(xué)家們起初是采取特殊的技巧來對付特殊的方程，但逐漸開始尋找?guī)毡樾缘姆椒?，如：萊布尼茲1691

35、年分離變量法，1696年雅各布伯努利的“伯努利方程”；歐拉和克萊洛的“積分因子法”3、歐拉1743年關(guān)于n階常系數(shù)線性齊次方程的完整解法。4、18世紀(jì)常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774――1775年間用參數(shù)變易法解出了一般n階變系數(shù)非齊次常微分方程。,三、 簡述18世紀(jì)微分幾何的形成過程。P196答：1、1731年十八歲的法國青年數(shù)學(xué)家克萊洛發(fā)表《關(guān)于雙重曲率曲線的研究》，開創(chuàng)了空間曲線理論，是建立微分幾何的的重要一步；

36、2、歐拉是微分幾何的重要奠基人。他早在1736年就引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)概念；3、18世紀(jì)微分幾何的發(fā)展由于蒙日的工作而臻于高峰，1795年發(fā)表的《關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁論文》是第一步系統(tǒng)的微分幾何著述。,第八章 代數(shù)學(xué)的新生,一、 數(shù)學(xué)家阿貝爾通過證明什么樣的結(jié)論解決了五次和高于五次的一般方程的求解問題？二、 布爾的邏輯代數(shù)思想集中在他的哪兩本書中。三、《算術(shù)研究》的作者是誰，發(fā)表的年份是何時？它的發(fā)表有何意義。,二、 布

37、爾的邏輯代數(shù)思想集中在他的哪兩本書中。P219答：布爾(英國數(shù)學(xué)家，1815－－1864)的邏輯代數(shù)思想集中在他的1847年發(fā)表的《邏輯的數(shù)學(xué)分支》和1854年出版的《思維規(guī)律研究》。,三、《算術(shù)研究》的作者是誰，發(fā)表的年份是何時？它的發(fā)表有何意義。P221答 ：《算術(shù)研究》是德國數(shù)學(xué)家高斯在1801年發(fā)表的。在19世紀(jì)以前，數(shù)論只是一系列孤立的結(jié)果，《算術(shù)研究》發(fā)表后數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展?！端阈g(shù)研

38、究》中有三個主要思想：同余理論，復(fù)整數(shù)理論和型的理論。,第九章 幾何學(xué)的變革,一、 非歐幾何三位發(fā)明人（高斯、波約、羅巴切夫斯基）中哪位是最早、最系統(tǒng)地發(fā)表自己關(guān)于非歐幾何的研究成果？二、 最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家是誰？在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數(shù)學(xué)家有哪幾位？三、在射影幾何的發(fā)展過程中，龐斯列有哪些創(chuàng)舉？,一、 非歐幾何三位發(fā)明人（高斯、波約、羅巴切夫斯基）中哪位是最早、最系統(tǒng)地發(fā)表自己關(guān)于非歐幾何的研究成

39、果？P230答：羅巴切夫斯基,二、 最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家是誰？在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數(shù)學(xué)家有哪幾位？P235­——236答：最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家是黎曼 在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數(shù)學(xué)家有：意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米、德國數(shù)學(xué)家克萊因和法國數(shù)學(xué)家龐加萊。,三、 在射影幾何的發(fā)展過程中，龐斯列有哪些創(chuàng)舉？P239——240答：龐斯列（法國數(shù)學(xué)家，1788－1

40、867）1822年出版的《論圖形的射影性質(zhì)》，帶來了這門學(xué)科歷史上的黃金時期。龐斯列有探討一般問題：圖形在射影和截影下保持不變的性質(zhì)；選擇并發(fā)展了對偶與調(diào)和點列理論；采用中心投影而不是平行投影及兩個基本原理——連續(xù)性原理和對偶原理的創(chuàng)舉。,第十章 分析的嚴(yán)格化,一、柯西在分析基礎(chǔ)工作方面做了哪些工作？二、魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個什么例子來說明存在處處連續(xù)但卻處處不可微的函數(shù)？三、 魏爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴(yán)格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造

41、了一套什么語言？四、集合論的建立是由哪些問題研究而導(dǎo)致的？五、19世紀(jì)分析的擴(kuò)展表現(xiàn)在哪些方面？（Z),一、 柯西在分析基礎(chǔ)工作方面做了哪些工作？P247答：柯西（法國數(shù)學(xué)家，1789——1851）在分析基礎(chǔ)工作方面，他寫出了一系列著作，其中最有代表性的是《分析教程》（1821）和《無窮小計算教程概論》（1823），它們以嚴(yán)格化為目標(biāo)，對微積分的基本概念，如變量、函數(shù)、極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、收斂等等給出了明確的定義，并在此基

42、礎(chǔ)上重建和拓展了微積分的重要事實與定理。,三、 魏爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴(yán)格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套什么語言？P253答：魏爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴(yán)格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套語言。,四、 集合論的建立是由哪些問題研究而導(dǎo)致的？P255答：在分析的嚴(yán)格化過程中，一些基本概念如極限、實數(shù)、級數(shù)等的研究都涉及到由無窮多個元素組成的集合，特別是在對那些不連續(xù)函數(shù)進(jìn)行分析時，需要對使函數(shù)不連續(xù)或使收斂問題變得很困難的點集進(jìn)行研究，這樣就導(dǎo)致了

43、集合論的建立。,五、 19世紀(jì)分析的擴(kuò)展表現(xiàn)在哪些方面？P258——263(Z)答：1、復(fù)分析的建立2、解析數(shù)論的形成3、數(shù)學(xué)物理方程與微分方程,第十一章 20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（I）純粹數(shù)學(xué)的主要趨勢,一、 與19世紀(jì)相比，20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展表現(xiàn)出哪些主要的特征與趨勢？(Z)二、 1900年德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上作演說中提出23個數(shù)學(xué)問題，至今這23個問題解決狀況如何？三、 集合論觀點的滲透和公理化方法

44、的運用導(dǎo)致20世紀(jì)上半葉哪四大數(shù)學(xué)抽象分支的崛興？四、簡述實變函數(shù)論的建立。,五、“泛函”這個名稱是由誰最先采用的？為什么說泛函分析的建立體現(xiàn)了20世紀(jì)在集合論影響下空間和函數(shù)這兩個基本概念的進(jìn)一步變革？六、《環(huán)中的理想論》的作者是誰?七、拓?fù)鋵W(xué)研究什么內(nèi)容?“拓?fù)鋵W(xué)”這一術(shù)語是由何人首先引用的?八、簡述概率論起源以及公理化后概率論取得哪些突破？九、舉例說明20世紀(jì)下半葉不同分支領(lǐng)域的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法互相融合導(dǎo)致重大發(fā)現(xiàn)的事

45、實。十、試述羅素關(guān)于集合的悖論。十一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派是什么?(Z)十二、現(xiàn)代數(shù)理邏輯的四大分支是什么？(Z),一、 與19世紀(jì)相比，20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展表現(xiàn)出哪些主要的特征與趨勢？P271答：1、更高的抽象性2、更強(qiáng)的統(tǒng)一性3、更深入的基礎(chǔ)探討,二、 1900年德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上作演說中提出23個數(shù)學(xué)問題，至今這23個問題解決狀況如何？P272——274答：太長，略，詳見教材。,三、 集

46、合論觀點的滲透和公理化方法的運用導(dǎo)致20世紀(jì)上半葉哪四大數(shù)學(xué)抽象分支的崛興？P276答：集合論觀點的滲透和公理化方法的運用導(dǎo)致20世紀(jì)上半葉實變函數(shù)論、范函分析、拓?fù)鋵W(xué)和抽象代數(shù)四大數(shù)學(xué)抽象分支的崛興。,四、 簡述實變函數(shù)論的建立。P276——278答：1、法國數(shù)學(xué)家勒貝格1902年發(fā)表的《積分，長度與面積》中利用以集合論為基礎(chǔ)的“測度”概念而建立勒所謂“勒貝格積分”，2、在勒貝格積分的基礎(chǔ)上進(jìn)一步推廣導(dǎo)數(shù)等其他微積分基本

47、概念，并重建微積分基本定理（微分運算與積分運算的互逆性）等微積分的基本事實，從而形成了一門新的數(shù)學(xué)分支——實變函數(shù)論,五、“泛函”這個名稱是由誰最先采用的？(P279)為什么說泛函分析的建立體現(xiàn)了20世紀(jì)在集合論影響下空間和函數(shù)這兩個基本概念的進(jìn)一步變革？P279-280答：“泛函”這個名稱是由法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)馬最先采用的.因為“空間”現(xiàn)在被理解為某類元素的集合，這些元素按習(xí)慣被稱作“點”，它們之間受到某種關(guān)系的約束，這些關(guān)系被稱之為空間

48、的結(jié)構(gòu)，簡言之，“空間”僅僅是具有某種結(jié)構(gòu)的集合，而“函數(shù)”的概念則推廣為兩空間之間的元素（映射）關(guān)系。所以說泛函分析的建立體現(xiàn)了20世紀(jì)在集合論影響下空間和函數(shù)這兩個基本概念的進(jìn)一步變革,六、 《環(huán)中的理想論》的作者是誰?P282答：《環(huán)中的理想論》的作者是諾特（1882－1935）。,七、 拓?fù)鋵W(xué)研究什么內(nèi)容?“拓?fù)鋵W(xué)”這一術(shù)語是由何人首先引用的?P285答：拓?fù)鋵W(xué)研究幾何圖形的連續(xù)性質(zhì)，即在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)（允

49、許拉伸、扭曲，但不能割斷和粘合）?！巴?fù)鋵W(xué)”這一術(shù)語是由高斯的學(xué)生李斯廷1847年首先引用的。,八、 簡述概率論起源以及公理化后概率論取得哪些突破？P287、P291答：概率論起源于博弈問題。P287公理化后概率論取得如下突破：P2911、  使隨機(jī)過程的研究獲得了新的起點，2、  隨機(jī)過程是“鞅”，鞅論使隨機(jī)過程的研究進(jìn)一步抽象化，1942年開始，日本數(shù)學(xué)家伊藤清引進(jìn)隨機(jī)積分與隨機(jī)微分方程，不僅開辟了隨

50、機(jī)過程研究的新道路，而且為一門意義深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)新分支——隨機(jī)分析的創(chuàng)立與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。,九、 舉例說明20世紀(jì)下半葉不同分支領(lǐng)域的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法互相融合導(dǎo)致重大發(fā)現(xiàn)的事實。P292-297答：1.微分拓?fù)渑c代數(shù)拓?fù)?2．整體微分幾何 3．代數(shù)幾何 4．多復(fù)變函數(shù)論 5．動力系統(tǒng) 6．偏微分方程與泛函分析 7．隨機(jī)分析,十、 試述羅素關(guān)于集合的悖論。P298

51、答：以M表示是其自身成員的集合的幾何，N表示不是其自身成員的集合的集合。然后問：集合N是否為它自身的成員？如果N是它自身的成員，則N屬于M而不屬于N，也就是說N不是它自身的成員；另一方面，如果N不是它自身的成員，則N屬于N而不屬于M，也就是說N是它自身的成員。無論出現(xiàn)哪一種情況，都將導(dǎo)出矛盾的結(jié)論。,十一、 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派是什么?P300(Z)答：1。以羅素為代表的邏輯主義2．以布勞威爾為代表的直覺主義3．以希爾伯特

52、為代表的形式主義,十二、 現(xiàn)代數(shù)理邏輯的四大分支是什么？P303(Z)答：1。公理化集合論 2．證明論 3．模型論 4．遞歸論,第十二章 20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（II）空前發(fā)展的應(yīng)用數(shù)學(xué),一、 應(yīng)用數(shù)學(xué)新時代具有哪幾個方面特點？二、 數(shù)學(xué)向其他科學(xué)滲透表現(xiàn)在哪些方面？三、 簡述數(shù)理統(tǒng)計、運籌學(xué)、控制論發(fā)展過程。四、 簡述電子計算機(jī)的誕生。五、計算機(jī)對數(shù)學(xué)的影響表現(xiàn)在哪些方面？ (Z),一、

53、 應(yīng)用數(shù)學(xué)新時代具有哪幾個方面特點？P307——309答：1、數(shù)學(xué)的應(yīng)用突破了傳統(tǒng)的范圍而向人類幾乎所有的知識領(lǐng)域滲透，2、純粹數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都獲得了應(yīng)用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透，3、現(xiàn)代數(shù)學(xué)對生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用變得越來越直接，4、  現(xiàn)代數(shù)學(xué)在向外滲透的過程中，產(chǎn)生了一些相對獨立的應(yīng)用學(xué)科如：數(shù)理統(tǒng)計、運籌學(xué)、控制論等等。,二、 數(shù)學(xué)向其他科學(xué)滲透表現(xiàn)在哪些方面？P309答：1、數(shù)學(xué)物理2、生物數(shù)學(xué)

54、3、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué),三、 簡述數(shù)理統(tǒng)計、運籌學(xué)、控制論發(fā)展過程。P317——324答：略四、 簡述電子計算機(jī)的誕生。P325答：略,五、 計算機(jī)對數(shù)學(xué)的影響表現(xiàn)在哪些方面？P330(Z)答：1、計算數(shù)學(xué)的興旺2、純粹數(shù)學(xué)研究與計算機(jī)3、計算機(jī)科學(xué)中的數(shù)學(xué),第十三章 20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（III）現(xiàn)代數(shù)學(xué)成果十例,一、 簡述20世紀(jì)十例現(xiàn)代數(shù)學(xué)成果的內(nèi)容。(Z)二、  龐加萊猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想的

55、內(nèi)容是什么?,一 簡述20世紀(jì)十例現(xiàn)代數(shù)學(xué)成果的內(nèi)容。Z答：1．哥德爾不完全性定理P3392．高斯－博內(nèi)公式的推廣P3413．米爾諾怪球P3434．阿蒂亞－辛格指標(biāo)定理P3445．孤立子與非線性偏微分方程P3456．四色問題P3477．分形與混沌P3498．有限單群分類P3539．費馬大定理的證明P35510．若干著名未決猜想的進(jìn)展359,第十四章 數(shù)學(xué)與社會,一、 為什么說數(shù)學(xué)的發(fā)展與社會的進(jìn)化之間聯(lián)系是雙向的？

56、(Z)二、 數(shù)學(xué)如何促進(jìn)社會進(jìn)步？三、 1850——1899年間創(chuàng)辦，至今仍在發(fā)行的主要數(shù)學(xué)期刊有哪些？四、 中國數(shù)學(xué)會是何年建立的？五、 試述各屆國際數(shù)學(xué)家大會召開年份與地點。六、 兩項影響最大的國際數(shù)學(xué)獎勵是什么獎？中國數(shù)學(xué)家何人、何年、在何領(lǐng)域取得其中的那個獎？,一、 為什么說數(shù)學(xué)的發(fā)展與社會的進(jìn)化之間聯(lián)系是雙向的？P363(Z)答：一方面，數(shù)學(xué)的發(fā)展依賴于社會環(huán)境，受著社會經(jīng)濟(jì)、政治和文化等諸多因素的影響；

57、另一方面，數(shù)學(xué)的發(fā)展又反過來對人類社會的進(jìn)步起推動作用，包括對人類物質(zhì)文明和精神文明兩大方面的影響。,二、 數(shù)學(xué)如何促進(jìn)社會進(jìn)步？P363——364答：數(shù)學(xué)的發(fā)展對人類社會的進(jìn)步起推動作用，包括對人類物質(zhì)文明和精神文明兩大方面的影響。數(shù)學(xué)對人類物質(zhì)文明的影響，最突出的是反映在與能從根本上改變?nèi)祟愇镔|(zhì)生活方式的產(chǎn)業(yè)革命的關(guān)系上。人類歷史上先后共有三次重大的產(chǎn)業(yè)革命，其主體技術(shù)都與數(shù)學(xué)的新理論、新方法的應(yīng)用有直接或間接的關(guān)聯(lián)；數(shù)學(xué)對于人類

58、精神文明的影響同樣也很深刻，數(shù)學(xué)本就是一種精神，一種探索精神，這種精神的兩個要素，即對理性（真理）與完美的追求，千百年來對人們的思維方式、教育方式以及世界觀、藝術(shù)觀等的影響是不容否認(rèn)的，數(shù)學(xué)往往成為解放思想的決定性武器。,三、 1850——1899年間創(chuàng)辦，至今仍在發(fā)行的主要數(shù)學(xué)期刊有哪些？P372答：《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)年報》（1850，意大利）《數(shù)學(xué)匯刊》（1865，俄國）《數(shù)學(xué)年刊》（1868，德國）《美國數(shù)學(xué)雜志》（187

59、8，美國）《數(shù)學(xué)年報》（1882，瑞典）《數(shù)學(xué)年刊》（1884，美國）《美國數(shù)學(xué)月刊》（1894，美國）。,四、 中國數(shù)學(xué)會是建立何年建立的？P376答：1935年中國數(shù)學(xué)會建立的。五、 試述各屆國際數(shù)學(xué)家大會召開年份與地點。P375答：略,六、兩項影響最大的國際數(shù)學(xué)獎勵是什么獎？中國數(shù)學(xué)家何人、何年、在何領(lǐng)域取得其中的那個獎？P376，P378——379答：兩項影響最大的國際數(shù)學(xué)獎勵是菲爾茲獎和沃爾夫獎，中國

60、數(shù)學(xué)家丘成桐，1983年，微分幾何，偏微分方程，相對論，菲爾茲獎。中國數(shù)學(xué)家陳省身，1984年，整體微分幾何，沃爾夫獎,第十五章 中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開拓,一、 試述17世紀(jì)初至19世紀(jì)末在中國出現(xiàn)兩次西方數(shù)學(xué)傳播的高潮的時間與內(nèi)容。二、 中國第一個大學(xué)數(shù)學(xué)系是在哪所大學(xué)設(shè)立？三、 1912年至1930年中國有哪些大學(xué)創(chuàng)辦了數(shù)學(xué)系？四、  簡述華羅庚生平五、  寫一篇學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史教程的心得體會。(Z),一、 試

61、述17世紀(jì)初至19世紀(jì)末在中國出現(xiàn)兩次西方數(shù)學(xué)傳播的高潮的時間與內(nèi)容。P381答：第一次是從17世紀(jì)初到18世紀(jì)初，標(biāo)志性的事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯，17世紀(jì)中頁以后，文藝復(fù)興時代以來發(fā)展起來的西方初等數(shù)學(xué)知識如三角學(xué)、透視學(xué)、代數(shù)學(xué)等也部分傳入中國；第二次高潮是從19世紀(jì)中葉開始，除了初等數(shù)學(xué)，這一時期傳入的數(shù)學(xué)知識還包括了解析幾何、微積分、無窮級數(shù)論、概率論等近代數(shù)學(xué)。,二、 中國第一個大學(xué)數(shù)學(xué)系是在哪所大學(xué)設(shè)立？P38

62、3答：1912，中國第一個大學(xué)數(shù)學(xué)系是在北京大學(xué)數(shù)學(xué)系成立。,三、 1912年至1930年中國有哪些大學(xué)創(chuàng)辦了數(shù)學(xué)系？P384答：北京大學(xué)、清華大學(xué)、南開大學(xué)、浙江大學(xué)、南京大學(xué)、北京師范大學(xué)、武漢大學(xué)、廈門大學(xué)、四川大學(xué)、中山大學(xué)、東北大學(xué)、交通大學(xué)、安徽大學(xué)、山東大學(xué)、河南大學(xué)。,一、  簡述華羅庚生平P387答：略二、  寫一篇學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史教程的心得體會。答：略(Z),一、填空題（每空

63、1分，共30分）(Z) 1．歷史學(xué)家往往把興起于­­­­­­­­­­­­­­­­ 、 、 和 等地域的古代文明稱為“河谷文明”。 埃及、美索不達(dá)亞、中國、印度2．歐幾里得是希臘論證幾何學(xué)的集大成者

64、，他的著作中，最重要的莫過于 ?！对尽?3．在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中， ——是最早的一部?！吨荀滤憬?jīng)》4．《九章算術(shù)》“ ”、“ ”、“ ”諸章集中討論比例問題。 粟米、衰分、均輸5．劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“ ”和 。割圓術(shù)、體積理論,6． 的推導(dǎo)和 的計算是祖沖之本人引以為榮的兩大數(shù)學(xué)

65、成就。球體積 圓周率7．宋元數(shù)學(xué)發(fā)展中一個最深刻的動向是代數(shù)符號化的嘗試，這就是“ ”和“ ”。天元術(shù) 四圓術(shù)8．?dāng)?shù)學(xué)符號系統(tǒng)化首先歸功于法國數(shù)學(xué)家 。韋達(dá)9．解析幾何的真正發(fā)明歸功于法國另外兩位數(shù)學(xué)家 和 。 笛卡兒 費馬,10．牛頓的《 》標(biāo)志著微積分的誕生。流數(shù)簡論11．18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步是由

66、 作出的。歐拉12．“巴黎三L”指 、 、 。拉普拉斯 拉格朗日 勒讓德 13.___________是歷史上并不多見的以“神童”著稱的一位數(shù)學(xué)家。高斯14.___________-可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家。黎曼 15．19世紀(jì)偏微分方程發(fā)展的序幕，是由法國數(shù)學(xué)家 拉開的。傅立葉,16．現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學(xué)作為一門獨