模糊理論與模糊控制-第三章

1、第3章 模糊控制的邏輯學(xué)基礎(chǔ),模糊理論與模糊控制,第3章　模糊控制的邏輯學(xué)基礎(chǔ),3.1 二值邏輯簡介3.2 模糊語言及其算子3.3 模糊邏輯和近似推理3.4 Ｔ —Ｓ型模糊推理,,隨著控制系統(tǒng)規(guī)模的變大和復(fù)雜性的增加，建立系統(tǒng)的清晰數(shù)學(xué)模型變得非常困難，有時甚至是完全不可能的。 對于這類繁雜的、龐大的系統(tǒng)，為了對它們進(jìn)行自動控制， 又無法建立清晰的數(shù)學(xué)模型，只好另辟蹊徑。通過長期操作經(jīng)驗的

2、積累，人們發(fā)現(xiàn)利用人的知識和智能，可以形成一套自然語言表述的操作規(guī)則，按此規(guī)則操作機器能夠獲得滿意的控制效果，這樣就產(chǎn)生了模糊控制。,,自然語言表述的操作規(guī)則帶有模糊性，不像微分方程那樣清晰、精確，而且這些規(guī)則的“求解”，必須借助于模糊邏輯推理。把這類根據(jù)帶有模糊性的語言規(guī)則進(jìn)行的控制， 稱為模糊邏輯控制，簡稱模糊控制。 模糊控制是基于模糊集合理論、模糊邏輯推理，并同經(jīng)典控制理論相結(jié)合，用以模擬人類思維方式的一種計算機數(shù)

3、字控制方法，它的核心是模糊規(guī)則和模糊邏輯推理。,,模糊規(guī)則是由許多“若??則??”之類模糊條件判斷語句組成的，它反映了人們的操作經(jīng)驗，其作用就像微分方程組在經(jīng)典控制中的地位。模糊邏輯推理是在二值邏輯基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種不確定性推理方法，它以一些模糊判斷為前提能推出新的模糊結(jié)論。如何讓機器代替人，能“識別、理解”模糊規(guī)則并進(jìn)行模糊邏輯推理，最終得出新的結(jié)論并實現(xiàn)自動控制， 是模糊控制研究的主要內(nèi)容。,3.1 二值邏輯簡介,邏輯學(xué)認(rèn)為

4、，概念是反映客觀事物一般性的、本質(zhì)屬性的思維形式，是在感覺、知覺和觀念等認(rèn)知過程的基礎(chǔ)上，在人腦中形成的高級思維形式。例如，“三角形”、“圓”、“好”等都是概念。判斷是概念和概念的聯(lián)合，例如，“鍋爐水溫太高”屬判斷。推理是判斷和判斷的聯(lián)合，例如，“冬天來了， 春天就不再遙遠(yuǎn)。現(xiàn)已冬末， 春天馬上就到”、“常壓下100℃的水要沸騰，壺中水才59℃， 不會馬上開”等就是推理。,“邏輯” 一詞音譯自希臘文“l(fā)ogos”，原意是“思維

5、” 和“表達(dá)思考的言辭”。發(fā)展到17世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨開始把數(shù)學(xué)用于哲學(xué)，隨之出現(xiàn)了數(shù)學(xué)與邏輯相結(jié)合的產(chǎn)物——數(shù)理邏輯。數(shù)理邏輯用一套符號代替人們的自然語言進(jìn)行表述，研究清晰判斷和推理的量化方法。它認(rèn)為任何一個判斷在邏輯上只能有“真”或“假”兩種可能性，所以也稱數(shù)理邏輯為二值邏輯。在研究復(fù)雜系統(tǒng)的過程中，邏輯學(xué)也在不斷發(fā)展，以致后來出現(xiàn)了三值邏輯、多值邏輯，直到1974 年出現(xiàn)了模糊邏輯。,二值邏輯排斥真值的中介過渡性，認(rèn)為

6、事物在形態(tài)和類屬上是非此即彼的。多值邏輯突破了真值的兩極性，承認(rèn)真值有中介過渡性，但是認(rèn)為中介狀態(tài)之間是彼此獨立、界限分明的，和二值邏輯一樣仍然是一種精確邏輯。模糊邏輯不僅承認(rèn)真值的過渡性，還認(rèn)為事物在形態(tài)和類屬上具有亦此亦彼、模棱兩可性，相鄰中介之間是相互交叉和彼此滲透的，其中介狀態(tài)之間的界限也是不分明的、模糊不清的。 模糊邏輯推理是模糊控制的重要基礎(chǔ)之一，它是數(shù)理邏輯的推廣和發(fā)展，下面先介紹二值邏輯一些基本概念和

7、基礎(chǔ)理論。,3.1.1 判斷,語句命題和判斷 人類語言由各種各樣的詞語、語句組成， 它們是表達(dá)人類思維的工具。語句是構(gòu)成語言的基本單位，它們是由詞語或詞組按一定語法規(guī)則組成的陳述句、疑問句、祈使句和感嘆句。例如，“爐溫達(dá)480℃”，“閥門打開了嗎？”，“快合上電閘！”命題是反映事物情況的思維形態(tài)，它用陳述句反映了事物的某種屬性、所處情況及與其他事物間的聯(lián)系等。例如，“他的體重70公斤”、“月亮?xí)约喊l(fā)光”，“

8、一個偶數(shù)可表示成兩個素數(shù)之和”（哥德巴赫猜想）等都屬命題。,判斷是對事物情況有所斷定的思維形式，是被斷定者斷定了的命題。當(dāng)前的客觀現(xiàn)實無法確定其真假的命題，不能算判斷。例如，在上述命題的例句中，“一個偶數(shù)可表示成兩個素數(shù)之和”、“火星上沒有生命”就不能算是判斷。 由語句表達(dá)而未被斷定的思想是命題， 由語句表達(dá)而已被斷定的思想是判斷， 命題成為判斷會因時因地而異。可見， 命題比判斷的含義更寬泛， 語句、

9、命題和判斷間有下述關(guān)系：語句?命題?判斷,二值邏輯中把意義明確、具有真假特性的語句都?xì)w之為命題，認(rèn)為它們只有“真”和“假”兩種結(jié)論。命題常用英文大寫字母A、B?表示，命題的真假叫作它的真值。命題P的真值用T(P)表示，T(P)表示命題P屬于“真”的程度， 在二值邏輯中命題P的真值T(P)∈{0，1}：T(P)＝0時表示命題P為假， 而T(P)＝1時表示命題P為真，有時也用F表示假，用T表示真。例如， 用P表示命題 “那本書有650

10、頁”，若它確實是650頁，則T(P)＝1， 否則T(P)＝0。,命題連接詞及復(fù)合命題 為了表達(dá)復(fù)雜的意思，經(jīng)常使用一些連接詞把簡單命題搭配組合在一起， 表示命題之間關(guān)系而構(gòu)成意義更加豐富的語句， 稱為復(fù)合命題。例如， 把“她會唱歌” 和“她會跳舞” 兩個簡單命題， 通過連接詞可以構(gòu)成不同的復(fù)合命題。 “她既會唱歌又會跳舞”、“她要么會唱歌， 要么會跳舞”、“她既然會跳舞，可能也會唱歌”等，這些復(fù)

11、合命題的意義更為廣泛。 命題連接詞在構(gòu)成復(fù)合命題中起著重要的作用，下表介紹邏輯學(xué)中經(jīng)常使用的幾個命題連接詞，它們的符號、意義。,常用連接詞列表（P、Q均為簡單命題）,,二值邏輯中簡單命題的真值，取決于它是否真實地反映了客觀事實， 復(fù)合命題真值往往由組成它的簡單命題真值決定。例如， 命題P“水溫大于80℃”若為真時，則命題P的否定命題P“水溫不大于80℃”就是假，反之亦然； 復(fù)合命題“魯迅不僅是文學(xué)家也

12、是思想家”為真，因為兩個簡單命題“魯迅是文學(xué)家”和“魯迅是思想家”都為真； 而復(fù)合命題“魯迅不僅是文學(xué)家也是物理學(xué)家”則為假，因為魯迅雖然是文學(xué)家，但不是物理學(xué)家； 但是復(fù)合命題“魯迅是文學(xué)家或者是物理學(xué)家”為真，因為魯迅雖然不是物理學(xué)家，但確實是文學(xué)家。,命題邏輯真值表,上表表達(dá)出的簡單命題和復(fù)合命題真值間的關(guān)系，也可以用公式表示如下。設(shè)P、Q均為簡單命題，則有：,例：已知簡單命題P和Q的真值T(P)

13、=1、T(Q)=0用公式求出復(fù)合命題 、 、 、 和 的真值 。解：將T(P)=1、T(Q)=0代入上述公式可得：,條件命題 在常用的連接詞中， 特別要提及的是“蘊涵（implication）”連接詞，因為它用得較多，而其用法又與日常語言的用法略有差異。自然語言中的很多語句，都可以用“若P則Q”（即P→Q）型蘊涵連接詞表述。例如，條

14、件關(guān)系，像“若天下大雨，路就濕滑” 因果關(guān)系，“張三感冒，所以發(fā)燒” 推理關(guān)系，“三邊相等的三角形，其三內(nèi)角必相等” 時序關(guān)系，“他餓了就吃飯”,二值邏輯從大量表示“若P則Q”的語句中抽象出它們的最基本共性，從而規(guī)定不管P和Q有無事實上的聯(lián)系，蘊涵關(guān)系命題“P→Q”只有一種真假依賴關(guān)系： 當(dāng)P為真時，Q 必定為真； 若P 為真

15、而Q 為假時，該命題必為假； 若P為假時無論Q為真或為假，該命題都為真。 這樣規(guī)定的蘊涵關(guān)系“若P則Q”， 稱為“實質(zhì)蘊涵”或“真值蘊涵”，以區(qū)別于傳統(tǒng)形式邏輯中的蘊涵關(guān)系。,有時真值蘊涵的定義與某些語言習(xí)慣或常理相悖。例如，按真值蘊涵定義， “如果2＋2＝5， 則雪是白的” 和“如果2＋2＝5， 則雪是黑的” 這兩個復(fù)合命題都應(yīng)該是真的。因為這兩個句子中“P為假”，按定義無論

16、Q的真假，整個復(fù)合命題都應(yīng)該為真。然而依照常規(guī)語言習(xí)慣則顯得有些蹩腳、很不自然。 不過，只要把這兩個復(fù)合命題的文字略加修飾，變成“即使2＋2＝5 ，雪也是白的”和“如果2＋2＝5是真的，則雪就是黑的”就不會覺得怪異了?？梢姡嬷堤N涵“若P則Q”的定義包含著語言和思維中最基本、最本質(zhì)的東西，因而具有高度概括性、包容性和科學(xué)性，完全能滿足邏輯本質(zhì)要求的普適性和簡單性。,例：若用P代表“室溫高于26℃”；Q代表“打開空調(diào)”

17、； C代表條件命題（P→Q）表示“如果室溫高于26℃，則打開空調(diào)”，那么有下列4種情況。當(dāng)T(P)＝1時，T(Q)＝1，則T(C)＝1；“室溫高于26℃，打開空調(diào)”，邏輯上是對的。當(dāng)T(P)＝1時，T(Q)＝0，則T(C)＝0；“室溫高于26℃，沒開空調(diào)”， 邏輯上是錯的。當(dāng)T(P)＝0時，T(Q)＝0 ，則T(C)＝1；“室溫不高于26℃，打開空調(diào)”，邏輯上是對的。當(dāng)T(P)＝0時，T(Q)＝1 ，則T(C)

18、＝1；“室溫不高于26℃，沒開空調(diào)”是對的。 后兩種情況下，T(P)＝0，表明簡單命題P為假，但這并不能否定簡單命題Q本身的意義。所以在“室溫不高于26℃” 時，無論開不開空調(diào)整個句子在邏輯上都認(rèn)為是對的。,兩個簡單命題P和Q經(jīng)蘊涵連接詞構(gòu)成復(fù)合命題P→Q，被稱作“條件命題”。 需要特別強調(diào)的是，條件命題不是從一個簡單命題P “邏輯地推出” 了另一個新的簡單命題Q，而是反映了兩個簡單命題P和Q之間一種事實

19、存在的邏輯關(guān)系，是客觀事實的真實反映，而不是“推”出來的，所以它們?nèi)詫儆凇懊}”， 是“復(fù)合命題” 。例如， “如果池水溫度低于10度， 則不可游泳”“鍋爐水位低于標(biāo)準(zhǔn)水位， 則予以補水”等都是在表述兩個簡單命題的蘊涵關(guān)系。 這種關(guān)系是客觀實際內(nèi)在聯(lián)系的反映， 并不是由前一個命題經(jīng)過純粹理論上的邏輯推理得出了后一個新命題。,兩種常用條件命題的基本形式 在各種形式的條件命題中， 有兩種形式用得最多，

20、許多不同形式的條件命題， 都可以由它們組合而成。假設(shè)A、B、C和U都表示簡單命題。(1) 若A, 則U 經(jīng)常也用英文表示成“if A then U”，并簡記作A→U。 它代表著像“如果室溫高于26℃，則打開空調(diào)”、“水溫達(dá)到100℃，則斷開加熱電源”、“所有直角都相等”等這類條件命題。 若用R表示蘊涵關(guān)系A(chǔ)→U 的真值T(A→U)，用T(A)和T(U)分別表示簡單命題A和U的真值，則

21、有：,(2) 若A且B, 則U英文表示成“if A and B then U”，并簡記作(A?B)→U。它代表著像“星期天下雨的話，我就在家”、“水溫低于60℃而且還在降低，則馬上加熱”這類條件命題。若用R表示蘊涵關(guān)系(A?B)→U的真值T((A?B)→U)，用T(A) 、T(B)和T(U) 分別表示簡單命題A、B和U的真值，則有：,如果命題形式為“若A且B且??，則U”，可以拆分成“若A則U”、“若B則U”、“若C則U” ?

22、?多個條件命題， 然后對這多個條件命題用“合取” 的方法來處理。條件命題形式為“若A則U1，否則U2”，可以分解成兩個獨立的條件命題：“若A則U1” 和“若A則U2 ”，然后再進(jìn)行“析取”。例如，“如果室溫高于26℃，則打開空調(diào)，否則不開空調(diào)”、 可拆解成“如果室溫高于26℃，則打開空調(diào)”和“如果室溫低于26℃，則不開空調(diào)” “如果x黑，則y白，否則y不白” 可拆解成“如果x黑，則y白”和“如果x

23、不黑，則y不白”然后按兩個“A→U”命題句的“析取”處理就可以了。,3.1.2 推理,推理就是由已知的一個或幾個判斷（命題），按一定法則得出一個新判斷（命題）的思維過程和方式，是一種由已知條件求出未知結(jié)果的思維活動。一個推理構(gòu)成一個判斷系統(tǒng)，它使我們可以獲得新的判斷，從而使我們增進(jìn)知識。 作為已知的前提判斷稱為前件，作為結(jié)果的新判斷常稱為后件，前件是判斷后件真假的條件，后件是根據(jù)前件推理的結(jié)果。 根據(jù)推理思

24、維進(jìn)程表現(xiàn)出的方向性，可以把推理分為三類：從一般到特殊的演繹推理、從特殊到一般的歸納推理、從特殊到特殊的類比推理。,演繹推理就是以一般的原理、原則為前提（前件），得出某個特殊場合中的結(jié)論（后件）的推理方法。 演繹推理中常用形式之一是三段論或稱直言三段論，它是由一個共同概念聯(lián)系著的兩個前提推出結(jié)論的邏輯思維方法。即已知某個條件命題（稱為大前提）和某個簡單命題（稱為小前提），推出一個新的簡單命題（判斷性結(jié)論）的方法。 通常要

25、求大前提和小前提中必須含有一個共同的概念。,例如：大前提： 平行四邊形的對角線互相平分 （條件命題或稱假言判斷）小前提： 矩形屬于平行四邊形　　 （簡單命題）（大前提和小前提中都含有“平行四邊形”）結(jié)論： 矩形的對角線是互相平分的 （新命題）,二值邏輯研究的概念、命題和推理都是清晰而精確的，然而它并不能完全適用于現(xiàn)實世界，“沙堆悖論” 就是一個反例。 我們可以提出一條精確的推理規(guī)則

26、：“從沙堆中減少一粒沙子仍然是沙堆”。但是每次減少一粒，直到第1億粒，如果承認(rèn)“精確推理規(guī)則”，最終仍然是沙堆。但現(xiàn)實是最終可能一粒沙子都沒有了?！吧扯雁Ｕ摗?的錯誤結(jié)論出在“沙堆” 不是一個精確概念上，對于“沙堆” 這樣的模糊概念， 不能多次重復(fù)使用精確推理規(guī)則。 真實世界的事物和人類用于描述客觀世界的語言， 絕大多數(shù)是不清晰、不精確的， 而是模糊的。因此， 要用模糊概念、模糊判斷和模糊推理來進(jìn)行描述、判斷和思維

27、， 就要用模糊邏輯。,3.2 模糊語言及其算子,自然語言是用帶有模糊性的詞句，對客觀現(xiàn)象和實物做出概括性反映，是的人們可以用最少的言辭傳遞最大的信息量。自然語言可以對連續(xù)性變化的現(xiàn)象和事物既進(jìn)行概括抽象又做模糊分類。另外，這里有個約定俗成的的“常識”在起作用，使用的言辭直接與現(xiàn)實世界相呼應(yīng)。具有靈活性。例如：早晨、上午、中午、下午、傍晚、晚上、夜里。 想要用機器來模仿人類思維、推理和判斷，那就必須引入語言變量。扎德教授在1

28、975年提出了語言變量的概念，語言變量實際上是一種模糊變量，它用詞語而不是數(shù)字來表示變量的“值”。引入語言變量后，就構(gòu)成模糊語言邏輯。,用隸屬函數(shù)把自然語言跟實數(shù)論域聯(lián)系起來，用數(shù)學(xué)方法去處理自然語言。,模糊集的應(yīng)用為系統(tǒng)地處理不清晰、不精確概念的方法提供了基礎(chǔ)，可以應(yīng)用模糊集來表示語言變量。語言變量可以用模糊數(shù)表示，也可以用語言形式術(shù)語來定義。 模糊數(shù)　　若A是實數(shù)域R上的凸模糊集，那么截集Aλ是實數(shù)軸上的凸集。顯然Aλ

29、是一區(qū)間，這個區(qū)間可以是有限的，如[a，b]； 也可以是無限的，如(－∞，a]、[b，∞)或(－∞，∞)。由凸模糊集給出模糊數(shù)的概念。,定義2.8　模糊數(shù)：設(shè)A是實數(shù)域 R上的正規(guī)模糊集，且λ∈(0，1]，Aλ均為一閉區(qū)間，即　　　　　　　　　　Aλ=[aλ，bλ]則稱 A 為一個模糊實數(shù)，簡稱模糊數(shù)。,那就是說，以實數(shù)集合為全集合，一個具有連續(xù)隸屬函數(shù)的正規(guī)的有界凸模糊集合就稱為模糊數(shù)。 這里正規(guī)集合的含義就是其隸

30、屬函數(shù)的最大值是1。 語言變量　　語言變量是以自然語言中的字、詞或句作為名稱，并且以自然語言中的單詞或詞組作為值的變量，它不同于一般數(shù)學(xué)中以數(shù)為值的數(shù)值變量。因此，語言變量實際上是一種模糊變量，是用模糊語言表示的模糊集合。例如，若將“年齡”看成是一個模糊語言變量，則它的取值不是具體歲數(shù)，而是諸如“年幼”、“年輕”、“年老”等用模糊語言表示的模糊集合。,語言變量用一個有五個元素的集合[N，T(N)，U，G，M]來表征，其中 N是

31、語言變量的名稱，如年齡、顏色、速度、體積等； U是N的論域； T(N)是語言變量值X的集合，每個語言值X都是定義在論域 U上的一個模糊集合； G是語法規(guī)則，用以產(chǎn)生語言變量N的語言值X的名稱； M是語義規(guī)則，是與語言變量相聯(lián)系的算法規(guī)則，用以產(chǎn)生模糊子集X的隸屬函數(shù)。語言變量通過模糊等級規(guī)則，可以給它賦予不同的語言值，以區(qū)別不同的程度。,例： 以語言變量名稱N表示“年齡”為例，則T(年齡)可以選取為：T(年齡)=(很年輕

32、，年輕，中年，老，很老)，上述每個模糊語言值如老、中、輕等是定義在論域U上的一個模糊集合，設(shè)論域U=[0，120]。語言變量的五元素之間的相互關(guān)系可以用下圖來表示。,,模糊算子　　在含有數(shù)量、程度概念的詞語前面加上某些修飾性定語、副詞， 或者用“或（與）”、“且（并）”等連接詞把它們搭配組合起來，又可以構(gòu)成許多新的模糊詞語。這些定語、副詞和連接詞，可以用所謂“模糊算子”表示， 把“模糊算子”跟一些原來表示詞語的模糊集合相結(jié)合，就能表示

33、出新構(gòu)成的模糊詞語。下面介紹幾個常用的“模糊算子”及用它們構(gòu)成新模糊性詞語的方法及其表示方法。否定修飾詞 在某些自然詞語前面加上否定性修飾詞，可以得到含有新意的自然詞語，相當(dāng)于表示原自然語言模糊集合的“非”。,例如：表示“大”的模糊集合隸屬函數(shù)為D(x)，則加上否定詞變成新的詞語“不大”，它的隸屬函數(shù)就是D(x)的補集DC(x)，即： 又如， 假設(shè)表示“老” 的F集合隸屬函數(shù)為：則“不老” 的隸屬函

34、數(shù)就是：,連接詞“或”、“且” 自然語言中的“也”、“且”、“或”等連詞，可以把兩個詞語連接成一個新詞。用模糊集合表示時，相當(dāng)于把表示原詞語的模糊集合， 用并“∪”、交“∩”等模糊算子連接成新的模糊集合。例：以“中老年”為例， 它該是“中年”和“老年”兩個模糊集合的并集。假設(shè)年齡論域為[20，80]，“中年”和“老年”的模糊集合Z(x)和L(x)的隸屬函數(shù)分別為：,則“中老年”的F集合ZL(x)=(Z?L)(x)=Z(x

35、)?L(x)的隸屬函數(shù)為：,,語言算子 語氣算子　　一些表示程度類自然語言前面加上“很”、“極”、“非?！薄ⅰ吧晕ⅰ?、“特別”、“比較”等形容詞或副詞，可以調(diào)整原來詞義的肯定程度，使其語氣發(fā)生變化，形成一個新詞。語氣算子用于表達(dá)語言中對某個單詞或詞組的確定性程度?！　≡O(shè)表示原詞語的模糊集合隸屬函數(shù)為A(x)，則表示新詞語的F集合隸屬函數(shù)B(x)=Aλ(x)，由于λ的取值不同，則對原詞意進(jìn)行不同強度的調(diào)整，表示出不同的修飾意義。

36、當(dāng)λ１時，使原詞義集中化。常用的幾個語氣詞語跟λ取值的對應(yīng)關(guān)系如下表,集中化算子起強化語氣作用，如“極”、“很”、“相當(dāng)”等，可以使模糊語言值的隸屬度分布向中央集中。 散漫化算子起弱化語氣作用，如“較”、“略微”、“稍微”等，可使模糊語言值的隸屬度分布由中央向兩邊彌散。,,,例：已知模糊集合“老”的隸屬函數(shù)為： 計算x=60歲屬于“很老”和“較老”的隸屬度。解　在原詞義的基礎(chǔ)上加語氣算子

37、λ構(gòu)成新詞， 與“很”對應(yīng)的λ=2，所以“很老”的隸屬函數(shù)為： 與“較”對應(yīng)的λ=0.75，“較老”的隸屬函數(shù)為：,現(xiàn)將“老年”及以此為基礎(chǔ)的“稍老”、“很老” 和“極老”的隸屬函數(shù)L25(x)、L(x)、L2(x)和L4(x) 一并畫在圖中，分析它們間的關(guān)系。 當(dāng)x=60歲時，屬于“老” 的隸屬度L(60)約為0.8、屬于“稍老” 的隸屬度L25(60)約為0.95、屬于“很老” 的隸

38、屬度L2(60)約為0.64、屬于“極老” 的隸屬度L4(60) 僅為0.4。這跟人們的感覺是基本一致的，60歲基本屬于“較老”，還不能算是“很老”。,,模糊化算子 模糊化算子，其作用是把肯定轉(zhuǎn)化為模糊，或者使原來就是模糊概念的詞更加模糊化。模糊化算子有“大約”、“近似”、“大概”等。 模糊化算子如果對數(shù)字進(jìn)行作用，就把精確數(shù)轉(zhuǎn)化為模糊數(shù)。例如，1.7 m是精確數(shù)，“近似1.7 m”就是模糊數(shù)。

39、 模糊化算子如果對模糊值進(jìn)行作用，就使模糊值更模糊。例如，“年輕”是個模糊值，“大約年輕”就更模糊?！　?在模糊控制中，采樣的輸入量總是精確量，要利用模糊邏輯推理方法，就必須首先把輸入的精確量模糊化。模糊化實際上就是使用模糊化算子來實現(xiàn)的，因此引入模糊化算子是非常有實用價值的。,判定化算子 與模糊化算子有相反作用的另一類算子，例如，“傾向于”、“偏向于”等，被稱為判定化算子。其作用是把模糊值進(jìn)行

40、肯定化處理，對模糊值做出傾向性判斷。其處理方法類似于“四舍五入”，并把隸屬度0.5作為分界。例如：“年老”的隸屬函數(shù)為則“偏老”L′可用L′ (x)=0.5所對應(yīng)的年齡x為“偏老”的界限：求出x=55，得出“偏老”的明確界限 L′ (x)= 0, 𝑥<55 1, 𝑥≥55,語言變量適于表達(dá)因復(fù)雜而無法獲得確定信息的概念和現(xiàn)象，它為這些通常無法

41、進(jìn)行量化的“量”提供了一種近似處理方法，把人的直覺經(jīng)驗進(jìn)行量化，轉(zhuǎn)化成計算機可以操作的數(shù)值運算，使人們有可能把專家的控制經(jīng)驗轉(zhuǎn)化成控制算法，并實現(xiàn)模糊控制。,3.3 模糊邏輯和近似推理,前面已經(jīng)把經(jīng)典集合的概念成功地推廣到了模糊集合，用它完全可以表述具有模糊概念的部分自然語言?，F(xiàn)在由二值邏輯推廣出模糊邏輯，給出模糊控制的邏輯理論基礎(chǔ)。3.3.1 模糊命題1、簡單模糊命題及其真值的表示方法 現(xiàn)實世界中的事物并非都能

42、用清晰命題描述，尤其是用語言表述的判斷和推理。例如，“他是個大個子”、“爐溫太高”、“老李是個大胡子”這些語句中的“大個子”、“大胡子”等概念的邊界都不清晰，帶有很大的模糊性。雖然這些陳述句不屬清晰判斷，卻能傳達(dá)一些“精確” 信息，比如說“老李有一千八百零一根胡子”，遠(yuǎn)沒有說“老李是個大胡子” 傳達(dá)的信息“準(zhǔn)確”、“完整” 和容易被人理解。,類似以上的語句，凡是含有模糊概念或帶有模糊性的陳述句，統(tǒng)稱模糊命題。與二值邏輯中的命題一樣，把不

43、能分解成更為簡單的模糊命題，都稱為簡單模糊命題或原子模糊命題。 二值邏輯中命題的真值是指它屬于“真”的程度，那里它只能取0或1兩個數(shù)值。而模糊命題與之不同，比如說“路程很遠(yuǎn)”，“小王很帥”，“爐溫太高”這里“遠(yuǎn)”、“帥”、“高” 都是沒有明確邊界而具有模糊性的概念，它反映著人們的主觀認(rèn)識。 那么它們的真實程度有多大呢？ 像“帥” 這個詞，某人是否為“帥哥”，不同人的看法會大相徑庭，帶有很大的主觀性，所謂

44、“情人眼里出西施”正是這種現(xiàn)象的客觀描述。 為了用模糊命題客觀地描述真實事物，把模糊命題的真值從二值邏輯中的{0，1}擴充到[0，1]，于是就能用模糊集合理論來描述模糊命題了。,把模糊概念或模糊命題用模糊集合表述時，這個模糊概念或模糊命題的真值，就是它們屬于“真” 的程度，也就是對于模糊集合的隸屬度。,通常模糊命題和模糊概念一樣， 都用英文A、B、C 等大寫字母代表它們的模糊集合。 一般把命題中的主詞（邏輯命

45、題中的主項）用英文小寫字母a、b、c 等表示，命題中的模糊概念用大寫字母A、B等表示，模糊命題“a 是A” 就可用A(a)表示。 A(a)同時也代表這個模糊命題的真值，可以理解為主詞a隸屬于模糊集合A的程度，即主詞a屬于模糊概念A(yù)的隸屬度。 這里的A(a)相當(dāng)于二值邏輯中的T(A)， 不過在此A(a)∈[0，1]，而不是{0，1}。,例如， 用a代表“小王”，A代表模糊概念“很帥”，模糊命題“小王很帥”就可以表

46、示為A(a) 。 A(a)既表示模糊命題“小王”屬于“很帥”這個模糊概念的程度，也表示“小王很帥” 這個模糊命題的真值。 如果A(a)＝0.85，就表明小王確實挺帥，它既表示小王屬于“很帥” 的程度為85％， 又表明“小王很帥”這個命題的真實性達(dá)到85％，相當(dāng)可信。 不同的人對同一個模糊命題會給出不同的真值，不過這也正是用模糊命題表示自然語言時具有“人性”和“智能”的表現(xiàn)

47、。 如果模糊命題的隸屬度，即真值A(chǔ)(a)∈{0，1}，這個模糊命題就變成了清晰命題。因此，可以把模糊命題看作是清晰命題的推廣，而清晰命題則是模糊命題的特例。,2、 復(fù)合模糊命題及其真值 跟二值邏輯一樣，也可以用下述5種連接詞，把幾個簡單模糊命題經(jīng)過組合搭配， 構(gòu)成復(fù)合模糊命題。① 取非，意為“否定”，符號是在簡單模糊命題符號上加“ －”， 或右上角加寫指數(shù)Ｃ；② 析取，意為“或”，在兩個簡單模糊命題之

48、間加寫符號“∨”；③ 合取，意為“且”，在兩個簡單模糊命題之間加寫符號“∧”；④ 蘊涵，意為“若??， 則??”，在兩個簡單模糊命題之間加寫符號“?”；⑤ 等價，意為“互相蘊含”，在兩個簡單模糊命題之間加寫符號“?”。,例: 若用a代表小張，A代表“高個”，B 代表“瘦子”，則： ā(a)表示“小張個子不高”， 也表示小張屬于“個子不高”的隸屬度；“A(a)∨B(a)”表示“小張要么高，要么瘦”， 用“

49、(A∪B)(a)”表示小張屬于“高個或瘦子”的隸屬度；“A(a)∧B(a)”表示“小張不僅高，而且瘦”， 用“(A∩B)(a)”表示小張屬于“瘦高個”的隸屬度；“A(a)→B(a)”表示“小張若是個大個子，則肯定瘦”， 用“(A→B) (a)”表示小張屬于“高個則瘦”的隸屬度；“A(a) ?B(a)”表示“小張若是高個則瘦，若是瘦子則肯定高”， 用“(A?B) (a)”表示小張屬于“若高必瘦，若瘦必

50、高”的隸屬度。,如果把各種模糊命題進(jìn)行符號化，則非常有利于機器的辨認(rèn)和識別， 進(jìn)而可以進(jìn)行邏輯推理。因此， 在歸納、總結(jié)、表述人工操作經(jīng)驗時，盡量使用規(guī)范的模糊命題， 并使其符號化。 用于表述操作經(jīng)驗時用得最多的是蘊涵連接詞， 通常把用“若??，則??” 連接起兩個簡單模糊命題形成的復(fù)合模糊命題，稱為模糊條件命題或模糊假言判斷。這是構(gòu)成模糊規(guī)則的主要句型，也是進(jìn)行模糊邏輯推理的主要基礎(chǔ)——“大前提”。,

51、3.3.2 常用的兩種基本模糊條件語句 控制加熱爐的爐溫時，總結(jié)出一條控制規(guī)則為“爐溫低時， 增加燃料”，它表明模糊簡單命題“爐溫低”蘊涵著模糊簡單命題“加燃料”。這類關(guān)系無法用精確的數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)函數(shù)表述時，只能用“爐溫低則增加燃料”這樣帶有模糊性的自然語言描述。 這類語言表述的操作規(guī)則，就成為模糊控制的法則、根據(jù)，就像經(jīng)典控制中建立起的方程。 下面介紹兩種常用的基本模糊條件命題。,1

52、、“若A，則U” “如果a是A，則u是U” “If a is A then u is U”或” if A(a) then U(u)” 語句的縮寫。 由于A和U都是模糊集合，在命題中起著重要的作用，也可把這個條件命題縮寫為“if A then U”， 或用“A→U”表示。例：對“如果水位偏低， 則快開閥門”模糊條件命題進(jìn)行分析。 若用a代表“水位”，A代表水位的“高低”，簡單模

53、糊命題“水位偏低”可用A(a)表示，同時A(a)的取值也表示了水位“高低”的程度，即a屬于A的隸屬度； 若用u代表“閥門”，U代表開啟閥門的“快慢”，簡單模糊命題“快開閥門”就可用U(u)表示，同樣U(u)的取值也表示了開啟閥門屬于“快開”的程度，即u屬于U的隸屬度。 于是，“如果水位偏低，則快開閥門”及類似的條件命題，都可用“A(a)→U(u)” 或“A→U” 表示，這表明模糊集合A(a)和U(u)間有

54、一定的蘊涵關(guān)系。,如何由A(a)和U(u)的真值計算模糊命題“A(a)→U(u)”的真值（隸屬度）？即該條件命題的模糊蘊涵關(guān)聯(lián)的程度。模糊蘊涵關(guān)系“A→U” 真值的計算 對于“若A，則U” 這類條件命題，在二值邏輯中曾經(jīng)給出過它的真值計算公式： 把條件命題的真值R、簡單命題A、U的真值T(A) 和T(U)，分別改寫為R(a，u)、A(a) 和U(u)。于是得出在模糊邏輯里： 移

55、植公式首先是由扎德提出的，因此把它稱為扎德算法。在此基礎(chǔ)上他又進(jìn)行過改進(jìn)，提出了一個較為簡便的“有界和” 算法：,二值邏輯中的R和模糊邏輯中的R(a，u)，在取值上是不同的： 這種取值的不同是它們表達(dá)意義不同的反映： 二值邏輯中R＝T(A→U)表示條件命題“A→U”的真值，要么是真，否則為假； 模糊邏輯中R(a，u)＝(A→U)(a，u)，雖然也有真值的意義，但更深層的意思是反映出兩個

56、模糊集合A(a)和U(u)的模糊相關(guān)程度。,例如: 模糊命題“如果水位a偏低，則快開閥門u” 作為模糊條件命題，反映了水位a和閥門u所處狀態(tài)(分別屬于A和U的程度)之間的關(guān)聯(lián)程度，反映的是集合A和U間的一種模糊關(guān)系。這里R(a, u)＝(A→U)(a, u)的取值大小，直接反映了A(a)和U(u)間相互關(guān)聯(lián)程度的強弱。,模糊條件命題“A→U”(模糊蘊涵關(guān)系)真值的幾種算法,模糊蘊涵關(guān)系“A→U”的Mamdani算法

57、 上表所列的各種算法中，Mamdani算法應(yīng)用最為廣泛，它計算簡單， 切實可行，多次被成功地應(yīng)用于工業(yè)模糊控制系統(tǒng)中。從模糊蘊涵關(guān)系“A(a)→U(u)”的扎德算法中，R(a，u)=(1?A(a))?(A(a)?U(u))略去(1?A(a))的部分，就得到Mamdani算法：R(a，u)=(A(a)?U(u)) A(a)和U(u)分別是構(gòu)成復(fù)合命題“A(a)→U(u)”的兩個簡單命題。條件命題“A(a)→U

58、(u)”意味著簡單命題A(a)蘊涵著U(u)，其中A(a)起著重要的基礎(chǔ)作用。在扎德算法R(a，u)公式中，只有當(dāng)A(a)取值特別小時，(1?A(a))部分才能起重要作用。但是，如果A(a)取值特別小， 意味著條件命題“A(a)→U(u)” 成立的基礎(chǔ)太弱，已經(jīng)失去了存在的意義。實際上，扎德公式中的(1?A(a))與(A(a)∧U(u))相比，后者起著主要作用，因此一定條件下前者可以忽略。,按照模糊蘊涵關(guān)系“A(a)→U(u)”的Mam

59、dani算法，公式R(a,u)=A(a)?U(u)意味著：a與u的關(guān)聯(lián)程度僅取決于簡單模糊命題A(a)和U(u)中真值（隸屬度）較小者。 這是符合人們思維習(xí)慣的，因為A(a)和U(u)“合取”時，其中小者起著重要的作用，它保證了命題成立的最基本條件，就像一個由木條箍成的水桶，盛水的多少只取決于最短的箍桶木條一樣。,下面分三種情況對Mamdani算法作一些具體分析說明。 如果A(a)和U(u)都是離散論

60、域中的模糊子集 按Mamdani算法，模糊蘊涵關(guān)系R(a,u)=A(a)?U(u)，當(dāng)A和U都是離散論域中的模糊集合時，R(a, u)就是直積A×U的一個模糊子集，即R(a, u)?A×U。這時可用A(a)和U(u)所有元素搭配組合后取小，即元素間“搭配取小”的方法求出模糊關(guān)系R(a, u)的元素，從而得出所有a和u間的關(guān)聯(lián)程度。,設(shè)論域M=(a1,a2,a3,?am)，A?F(M)，論域N=(u1,

61、u2,u3,?un)，U?F(N), 則: A(a)=(A(a1),A(a2),A(a3),?,A(am))，U(u)=(U(u1),U(u2),U(u3),?,U(un))。 根據(jù)Mamdani算法R(a,u)=A(a)?U(u)，模糊關(guān)系R(a,u)應(yīng)該反映出m個ai和n個uj之間的關(guān)聯(lián)程度，這就要用一個m×n維模糊關(guān)系矩陣表達(dá)。為此，可利用矩陣?yán)碚摲謨刹竭\算。 先對A(a)進(jìn)行“按行拉直”

62、運算得到 , 然后對 和U(u)進(jìn)行“搭配取小”運算“搭配取小”的具體算法，跟模糊關(guān)系合成中的 “取大-取小”合成法一樣。,令R(ai, uj ) =A(ai)?U(uj)，(i =1,2,?, m， j =1,2, ?, n), 表示ai 與uj 間的相關(guān)程度，即條件命題“A→U”的”真值”的分量?？傻贸觯?如果A屬于離散論域而U屬于連續(xù)論域 論域M=(a1,a2,a3,?am)，A?F(

63、M)，U?F(N)，N為連續(xù)實數(shù)域且u?N ，則：A(a)=(A(a1),A(a2),A(a3),?,A(am))，U(u)?F(N)。于是R(a,u)=A(a)?U(u)可寫成R(a,u)=A(aj)?U(u)。 注意到這里A(aj)是個數(shù)值，而U(u)是個模糊集合，所以得出:R(a,u)=A(aj)?U(u)= R(aj,u)=(A(aj)U)(u), (j＝1,2,3,…,m)式中A(aj)表示元素aj對于模

64、糊子集A的隸屬度，也表示模糊命題A(aj)的隸屬度或真值；U(u)是模糊命題，也是模糊子集U的隸屬函?！癆(aj)U”是數(shù)值A(chǔ)(aj)和模糊子集U間的數(shù)積。,設(shè)論域M＝(a1,a2,a3,?, am)和N＝[?2.9 6.9]， 已知某元素aj∈M，u∈N，且A∈F(M) 而U∈F(N) 時， A(aj)＝0.6，若它們間存在模糊蘊涵關(guān)系“A(a) → U(u)”，則數(shù)aj和模糊集合U間模糊蘊涵關(guān)系的隸屬函數(shù)可用下式算出：aj

65、和U的模糊關(guān)系R(aj, U)如圖所示。,如果讓R(aj, u)＝ A(aj)∧U(u)中的j遍取1，2，?，m，則可得出m個模糊關(guān)系，它反映了離散論域M中每個元素跟連續(xù)論域N上模糊命題U(u)間的模糊蘊涵關(guān)系。 如果A 和U 都是連續(xù)論域中的模糊子集 這時R(a, u)＝A(a)?U(u)的運算， 就是分別取自A和U中的兩個元素a和u，取其中隸屬度A(a)和U(u)較小者作為模糊關(guān)系的元素，構(gòu)成它們的模糊關(guān)系集合，

66、實際上相當(dāng)于模糊集合A(a)和U(u)的交集。,例：設(shè)某電機的控制電壓論域U={1,2,3,4}，轉(zhuǎn)速論域X={1,2,3,4,5}。若設(shè)A?F(U)，表示“電壓高”；B?F(X)，表示“轉(zhuǎn)速快”；已知模糊子集A和B分別為：用Mamdani算法求出模糊條件命題”電壓高，則轉(zhuǎn)速快”的模糊蘊涵關(guān)系R。解：按Mamdani算法，先將F集合A和B寫成向量形式： A=(0 0 1 0.5)，B=(0 0 0 0

67、.5 1.0)。 再據(jù)Mamdani公式得出：,,例：已知鍋爐中水溫論域為W=[0 20 40 60 80 100](?C)，氣壓的論域為Y=[1 2 3 4 5 6 7](104 帕)。它們的模糊子集分別為：用Mamdani算法求出模糊條件命題“水溫高，則壓力大”的模糊F蘊涵關(guān)系R 。解：先將A和B寫成向量形式:A(a)=(0 0.1 0.3 0.6 0.85 1.0)， B(b)=(0 0.1

68、0.3 0.5 0.7 0.85 1.0). 再根據(jù)Mamdani公式得出：,,2、“若A且B，則U” “如果a是A且b是B，則u是U” “If a is A and b is B then u is U”或” if A(a) and B(b) then U(u)”)語句的縮寫。 由于命題本質(zhì)上反映的是模糊集合A、B和U間的模糊關(guān)系，三個模糊集合在命題中起著重要作用，所以可把這個條件

69、命題縮寫為“if A and B then U”， 或表示為“A∧B→U”。,例：對“如果水位正好而進(jìn)水流速快，則慢關(guān)閥門”模糊條件命題分析。用a代表“水位”，A代表水位的“高低”，簡單命題中“水位高低”可用A(a)表示，A(a)的取值代表水位的高低；用b代表“進(jìn)水”，B代表進(jìn)水的“流速”，簡單命題“進(jìn)水流速”可用B(b)表示，B(b)的取值代表進(jìn)水流速的快慢程度；用u代表“閥門”，U代表“關(guān)閉閥門”，U(u)的取值代表關(guān)閉