第三章傅里葉變換-東北石油大學精品課程建設工程

1、第三章 傅里葉變換,§3.1 引言§3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析(頻譜分析)§3.3典型周期信號的傅里葉級數(shù)(頻譜)§3.4傅立葉變換§3.5典型非周期信號的傅里葉變換（FT）§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換§3.7傅里葉變換的基本性質(zhì)§3.8卷積特性§3.9周期信號的傅里葉變換§3.10抽樣信號的傅里葉變

2、換§3.11抽樣定理第三章 復習課,§3.1 引言,法國數(shù)學家傅里葉有兩個最主要的貢獻: 1 周期信號都可以表示為成諧波關系的正弦信號的加權(quán)和. 2 非周期信號都可以用正弦信號的加權(quán)積分表示. 本章要點: 1 建立信號頻譜的概念. 2 利用傅里葉級數(shù)的定義式分析周期信號的離散頻譜. 3 利用傅里葉積分(變換)分析非周期信號的連續(xù)頻譜. 4 理解信號時域與頻域間的關系.

3、 5 用傅里葉變換的性質(zhì)進行正、逆變換. 6 掌握抽樣信號頻譜的計算及抽樣定理.,§3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析(頻譜分析),周期信號的傅里葉級數(shù)兩種表現(xiàn)形式: 1: 三角函數(shù)級數(shù) 2: 指數(shù)形式一：周期信號展開成三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù). 1 周期信號: 2 傅里葉級數(shù)展開表達式:,,,（1） 無限項和,（2） n正整數(shù),,信號的平均值、直流分量 （3）,（4）,（5）,補充：,

4、,,即有：,3 滿足狄利克雷條件:(充分條件),①在一個周期內(nèi)，若有間斷點存在，間斷點數(shù)目應該是有限個,②在一個周期內(nèi),極大值和極小值數(shù)目應該是有限個,③在一個周期內(nèi),信號絕對可積,,注:我們遇到的周期信號都能滿足狄利克雷條件.,4 三角函數(shù)形式的另一種表達形式.(同頻率項加以合并),5 畫頻譜圖(幅度譜、相位譜),P91頁,圖3-1 單邊譜,譜線:每條線代表某一頻率分量的幅度.,包絡線:連接各譜線頂點的曲線.反映各頻率分量的

5、幅度變化情況,6 周期信號頻譜特點.,①離散譜:,,②收斂性.,③諧波性:,二 指數(shù)形式的傅里葉級數(shù),1 展開式:,,證明:思路由三角形式→指數(shù)形式,利用歐拉公式:,得,,把(10),(11)代入(9)得,,證明:把(4)(5)代入(10)即可.,2:,3 兩種傅氏級數(shù)系數(shù)間的關系.,,,4 畫復數(shù)頻譜. P93頁 雙邊譜,5 周期復指數(shù)信號頻譜圖的特點:,①引入了負頻率變量,沒有物理意義.只是數(shù)學推導的結(jié)果.,②,,③,

6、,三、函數(shù)的對稱性與傅立葉系數(shù)關系,1,只含直流項、余弦項,3,2,波形沿時間軸平移半個周期，并相對該軸上下反轉(zhuǎn)，此時波形不發(fā)生變化。,只含基波，奇次諧波，正弦余弦分量,4,若波形沿時間軸平移半個周期后，此時波形不發(fā)生變化。,,,,,,,只含偶次諧波分量、直流分量,內(nèi)容：周期信號的平均功率等于傅立葉級數(shù)展開式中各諧波分 量有效值的平方和，即時域和頻域能量守恒。,四、帕塞瓦爾定理（能量守恒）,公式：,證明：,,又,

7、注：,滿足,任意周期函數(shù)表示為傅立葉級數(shù)時需要無限多項才能完全逼近原函數(shù)。實際采用有限項級數(shù)代替無限項級數(shù)——有了誤差, 方均誤差衡量,誤差：,方均誤差：,說明：①,五、傅立葉有限級數(shù)與最小方均誤差,②,③,的不連續(xù)點。,④當信號中任一頻率分量的幅度和相位發(fā)生相對變化時，波形 發(fā)生失真。,⑤吉布斯現(xiàn)象,當選取傅立葉有限級數(shù)的項愈多，在所合成的波形中出現(xiàn)的,峰起愈靠近,總跳變值的９％，并從不連續(xù)點開始起伏振蕩形式衰減下去。,當所

8、選取的項數(shù)N很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，大約等于,§3.3典型周期信號的傅里葉級數(shù)(頻譜),一:頻譜圖,信號f(t)可以分解成一系列正弦分量的加權(quán)和,要想觀察f(t)中包含哪些頻率分量,以及各分量的相對大小關系.從表達式看不直觀,采用另一種表征方式.即頻譜圖的方式.,相位頻譜,,,,,,,,二:周期性方波信號的頻譜,,,,,,,奇函數(shù) 只含正弦項,奇諧函數(shù) 奇次諧波項,奇次正弦項,,幅度頻譜,,,,,,,,,,

9、,,,,,,,三:,,,,,,,,,,,,,,四:周期性脈沖頻譜,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,五:結(jié)論：,1 :周期信號的頻譜具有離散性，諧波性，收斂性。,離散性，諧波性對于所有信號都成立，收斂性不是對于所有,信號成立，對工程應用上的實際信號都成立。,六:參數(shù)變化對頻譜的影響。,1.,重要概念：信號的有效頻帶B,信號的頻帶有多種定義方式，工程中常用的有幾種人為規(guī)定： ⑴以信號最大幅度的1/10為限，其他部分忽略不計.

10、 ⑵以信號功率的1/2為限，其他部分忽略不計.(半功率點頻寬) ⑶以信號振幅頻譜中的第一個過零點為限.(本書) ⑷以信號能量的90%為限，其他部分忽略不計.,選用哪種頻帶定義方式,根據(jù)工程需要選用,本書選(3).,第一個過零點有重要的物理意義：,,2,3: 信號邊沿變化對頻譜影響,由1緩慢變化為0,,,,,立即由1跳變?yōu)?,,,,,,,,——非周期信號的頻譜分析,,① 周期信號演變?yōu)榉侵芷谛盘枴?§3.4 傅立葉

11、變換,周期信號的頻譜：,②,③,從物理概念上考慮：既然成為一個信號，必然含有一定的能量。無論信號怎么樣分解所含能量不變。不管周期增大到什么程度，頻譜分布依然存在。,從數(shù)學角度上看：無限多的無窮小量之和仍可等于一個有限值，此有限值取決于信號的能量。,所以對非周期信號進行頻譜分析將引入一個新的量——頻譜密度函數(shù)。,一:從周期信號的傅立葉級數(shù)，推導出非周期信號的傅立葉 變換——極限方法,,定義,稱,為頻譜密度：指單位頻

12、帶的頻譜值。,稱為原信號,即,傅立葉正變換,的頻譜密度函數(shù)，簡稱,頻譜函數(shù)。,任何變換都應存在逆變換，即：,傅立葉逆變換,記為：,說明：看P100圖3-18,⑴,非周期信號的幅度頻譜。,⑵ 非周期信號 頻譜是連續(xù)譜，形狀與相應的周期信號頻譜包絡線相同。,非周期信號的相位頻譜。,二：傅立葉變換的條件：,充分條件：,不一定,某些不滿足絕對可積條件的信號如周期信號、階躍信號、符號函數(shù)，借助沖激函數(shù)概念，也存在傅立葉變換。,～,～,三:傅立葉

13、變換的幾點說明,傅立葉正變換給出了非周期信號的頻譜數(shù)學表達式；,時間函數(shù),可以表示為頻率在區(qū)間,內(nèi)的指數(shù),函數(shù)連續(xù)和；,傅立葉變換提供了信號的頻率描述和時間描述之間相互變換工具。,2:關于連續(xù)譜說明,具有離散頻譜的信號，其能量集中在一些諧波分量中；,具有連續(xù)頻譜的信號,其能量集中在所有的頻率中,每一頻率分量包含的能量則為無窮小量,對周期信號是用實際振幅,作出的；,對非周期信號是用密度函數(shù),作出的。,§3.5典型非周期信號的傅

14、里葉變換（FT）,一 :單邊指數(shù)信號,,,,求FT,,,,,,,,二 雙邊指數(shù)信號,求FT,,三 矩形脈沖信號,,說明：,注：,,四:符號函數(shù),,分析：,思路：,,,解：①：,,②：,,,,,,,,,,,,,,,,,§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換,奇異信號在信號與系統(tǒng)的時域分析和頻域分析中占有同樣重要作用,一:,1:正變換,,,,,,,,,2:逆變換,說明: (1)白色譜(均勻譜)在整個頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻分布的

15、 (2)δ(t)的頻譜等于常數(shù),白色譜包含幅度相等的所有頻率分量 (3)在時域變化異常激烈的信號δ(t),在頻域?qū)蓄l率分量 (4)時域和頻域具有對稱性,,,,,,,,,,,,二:,思路:,式兩邊對t求導,同理:,思路：,方法一：利用符號函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù),三:階越函數(shù)的FT,說明：,,,,,,①:構(gòu)造輔助函數(shù),方法二:利用單邊指數(shù)函數(shù)取極限,②：,解：,§3.7傅里葉變換的基本性質(zhì),一:對稱性,,例 1：,

16、例 2:已知,思路：,例 4:,分析：,,二:線性,即相加信號的頻譜等于各個單獨信號的頻譜之和。,例 3：,分析：,例:求圖所示信號的FT。,,,,,三:奇偶虛實性,考慮一般情況：設f(t)是t的復數(shù)。即,即有：,特殊情況討論：,結(jié)論：,,實信號的頻譜具有很重要的特點，正負頻率部分的頻譜是相互共軛的。,結(jié)論：實偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是實偶函數(shù),,結(jié)論：實奇函數(shù)的傅里葉變換仍然是實奇函數(shù),,,解：,,,例：,,,,四:尺度變換特性,,物

17、理解釋：信號波形壓縮a倍，說明信號隨時間變化加快a倍。所以，它包含的頻率分量增加a倍，即頻譜展寬a倍，但幅值減小a倍。,等效脈寬與等效頻寬（另一角度說明尺度變換特性）,結(jié)論：信號占有的等效頻帶寬度和等效脈沖寬度成反比，即通信速度和通信帶寬成反比，這是一對矛盾。,,,,,,,,,五:時移特性,例:,解:,例:求圖示信號的FT.,,,,,,,,六:頻移特性,,1：,解:,2:頻譜搬移技術(shù)原理：,,,3:調(diào)制，解調(diào),在通信系統(tǒng)中，為實現(xiàn)

18、信號的傳輸，往往需要調(diào)制和解調(diào)。為什么信號要進行調(diào)制才能發(fā)送出去？信號傳輸中遇到的問題。,與電磁波的傳播規(guī)律有關：,無線電通信系統(tǒng)是通過空間輻射方式傳送信號的，由電磁波理論可知：天線尺寸為被輻射信號波長的十分之一或更大些，信號才能被有效輻射。,例:要傳送信號f=1kHz(低頻)，求天線長度。,解：,天線長度：L=30000（米）,實際上不可能制造這么長的天線。,②聲音信號的頻率范圍（20Hz～2kHz）,這樣的信號直接輻射

19、 出去，那么各電臺的發(fā)射頻率就會相同，它們是混在一起， 接收者無法選擇所需接收信號。,㈠調(diào)制,這兩個問題如何解決？需要對信號進行調(diào)制，即頻譜搬移。,,,,信號f(t)的頻譜就被搬到載波w0頻率附近。,二:解調(diào)：從調(diào)制信號中恢復原始信號f(t)的過程。,,,同步解調(diào),,,,,,,七:微分特性,,,時域微分：說明在時域中f(t)對t取n階導數(shù)等效于在頻域中F(w)乘以（jw）n,,頻域微分：,例:,解：,,（2）利用對稱性,,,

20、,八:積分特性,例：,,,解:（1）,,（2）,,（3）,§3.8卷積特性,一:時域卷積定理,說明:在時域中兩信號的卷積等效于在頻域中頻譜相乘.,二:頻域卷積定理,,說明:兩時間函數(shù)頻譜的卷積等效于兩函數(shù)的乘積.,例:利用卷積定理求三角脈沖的頻譜,,,,解: (1)三角脈沖形成:兩個同樣寬度矩形脈沖進行卷積,,,,,例:利用卷積定理求余弦脈沖頻譜,解:,,,,,(3)畫頻譜:,(2),§3.9周期信號的傅里葉變換,周

21、期信號不滿足絕對可積條件,但在允許沖激函數(shù)存在并認為它是有意義的前提下, 周期信號的傅里葉變換是存在的.,一:幾種典型周期信號的FT,1：,,,,,2:正余弦信號的FT,二:一般周期信號的FT,,,,,,1:證明:,,說明:,2 求Fn的方法,方法:從周期信號中截取一個周期,得到單脈沖f0(t)非周期信號,比較(1),(2)式,得:,,(2)利用單脈沖的傅里葉變換來求Fn,①是由一些沖激函數(shù)組成②離散性③諧波性④收斂性

22、,周期信號的特點:,(1),例:求周期單位脈沖激序列的傅里葉級數(shù)Fs和FT,,,,,,,解: 1:求Fs,,,,通過把周期信號進行傅立葉級數(shù)展開形式，分析它的頻譜，離散、諧波、但不收斂。,2: 求FT,,,,,,,,,,,例:求周期矩形脈沖信號f(t)的Fs和FT,解: 1:求Fs,2:求FT,,,,,◆單脈沖頻譜F0(w)是連續(xù)譜,它的大小為有限值.◆周期信號的頻譜F(w)是離散譜,大小用沖激表示.◆F0(w)是F(w)的包絡1

23、/w1.,說明:單脈沖和周期信號的傅里葉變換比較.,物理意義不同:Fs是單個復間諧波成份、復振幅,后者是單位帶寬內(nèi)所有復間諧波成份和復振幅值.,,,,§3.10抽樣信號的傅里葉變換,一:抽樣目的及所遇到的問題.(p150 圖3-48),目的:把模擬信號變成比特流的數(shù)字信號.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,遇到的問題:,或者說：,,二:理想抽樣,抽樣過程可以看成是由原信號f(t)和一個開關函

24、數(shù)p(t)的乘積來描述。,,,,,用時域周期延拓表示時域沖激序列。,設:,問題：時域很難確定T如何選取，也很難看出是否能夠恢復原信號→到頻域觀察，先從圖形上分析，再用數(shù)學推導。,1:,,注意:,,抽樣過程也是一個調(diào)制過程，理想抽樣存在各次諧波分量，所以是多頻調(diào)制。,即:,結(jié)論:,,,,,三:窄脈沖抽樣（自然抽樣）,幅度隨信號變化,,,,,,,,,,,,,,,,,,上式表明：信號在時域被抽樣后，它的頻譜Fs(w)是連續(xù)信號的頻譜F

25、(w)以抽樣頻率ws為間隔周期性地重復而得到的，在重復過程中，幅度被抽樣脈沖p(t)的傅里葉系數(shù)所加權(quán)。加權(quán)系數(shù)取決于抽樣脈沖序列的形狀。,結(jié)論：抽樣頻率必須選得大于信號頻譜最高頻率的兩倍。,四:抽樣定理,例:一余弦信號的周期為T0,用Ts= T0/12的間隔對它進行理想抽樣，求抽樣信號的頻譜。,解：,,,,,,,,例：,,,解:,奈奎斯特角頻率：,,,,,,,奈奎斯特角頻率：,,奈奎斯特間隔：,§3.11抽樣定理,,,

26、,1:理想抽樣,,,,,,,,,,,,,,抽樣信號的一般規(guī)律:抽樣信號的頻譜是把f(t)的頻譜進行周期重復,以ws為周期,系數(shù)被p(t)的傅里葉系數(shù)加權(quán).,2:自然抽樣,,,3:抽樣定理,工程上ws=(3～5)2wm,即:一個周期的間隔內(nèi)至少抽樣兩次,抽樣信號的頻率至少為原 信號頻率的兩倍.,第三章 復習課,,,一: 信號,2 分類,,⑴,⑵,1 描述:數(shù)學表達式,波形(時域),頻譜.,3 典型信號,⑶,⑷,,,,①,②,③

27、,④,⑤,⑥,⑦,⑧,⑨,(6),①,②接入特性,③用階躍信號可表示其他信號,4:信號的運算(要通過系統(tǒng)來完成),②,③,④,⑤,⑥兩信號相加相乘 同時刻(同頻率)的信號相加相乘.,①,⑦,,物理意義:,計算:,,性質(zhì):a:交換律 b:分配律 c:結(jié)合律,5:信號的分解,直流分量和交流分量,(2)偶分量和奇分量,(3)沖激信號的和,分析線形系統(tǒng)的方法:信號分解成一系列基本信號的和,,4:正交函數(shù)分量,,,第三章 傅里

28、葉變換,一:周期信號的傅里葉級數(shù),1:,,,作業(yè)3-7,可以移動函數(shù)的坐標,使波形具有某種對稱性,以簡化運算.,,2:,,,,單邊譜,3:,,,,4:周期信號頻譜特點:離散性，諧波性，收斂性,二:非周期信號的FT,特點:連續(xù)譜,充分條件：,,,周期信號：,記住:周期信號FT的特點：,,,三:周期信號的FT,例:求周期矩形脈沖f(t)的傅里葉變換,,例：,,,,,,,,,1:對稱性,,2:線性：,,四:FT的性質(zhì),3:奇偶虛實性：,4:

29、尺寸變換：,5:時移特性：,6:頻移特性：,,,7:微分特性：,,,8:積分特性：,9:卷積：,1：,2：,3：,五:典型信號的FT,4：,5：,6：,7：,,,8：,,,,,9:,10:,六:抽樣,,,1:理想抽樣：,3:,,2:自然抽樣：,4:抽樣定理：,5:奈奎斯特頻率：,奈奎斯特間隔：,二:系統(tǒng),1:分類：,,,,,2:系統(tǒng)模型→微分方程,系統(tǒng)起始狀態(tài)=0，系統(tǒng)是LTI,3:LTI特性：,⑴線形,⑵時不變特性,⑶微分,⑷積分,⑸