0-課程導(dǎo)論

1、Function of Complex Variable and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換,姜偕富 杭州電子科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院 第二教學(xué)科研樓 南樓 218 Tel: 86919134Email: jiangxf@hdu.edu.cn,工程數(shù)學(xué) 課程簡(jiǎn)介,一、復(fù)變函數(shù)的地位,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,三、復(fù)變函數(shù)與積分變換的應(yīng)用,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,四、教材

2、與主要參考書(shū),五、課程內(nèi)容,六、教學(xué)與考核方式,一、復(fù)變函數(shù)的地位,工程數(shù)學(xué),美國(guó)著名數(shù)學(xué)史家 M. Kline在其著作(《古今數(shù)學(xué)思想》(MathematicalThought from Ancient to Modern Times）中指出： 從技術(shù)觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，19世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是單復(fù)變函數(shù)理論。 象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了18世紀(jì)那樣，該數(shù)學(xué)分支幾乎統(tǒng)治了19世紀(jì)。 這一豐饒的數(shù)學(xué)分支，一直被稱(chēng)為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也曾被稱(chēng)為

3、抽象科學(xué)中最和諧的理論。,復(fù)變函數(shù)與積分變換,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯（J. Wallis, 1616-1703）第一個(gè)將復(fù)數(shù),a+bi 利用笛卡爾坐標(biāo)平面上的點(diǎn) a+bi 來(lái)表示，其后又有很多人獨(dú)立完善了沃利斯的表示方法。,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,到了十八世紀(jì)，虛數(shù)才開(kāi)始被關(guān)注起來(lái)。,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)

4、展歷史,十八世紀(jì)末，高斯使得復(fù)數(shù)的地位被確立下來(lái)。,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,高斯和哈密頓（W.R. Hamilton, 1805-1865）分別在1831和1837年定義復(fù)數(shù) a+bi 為一對(duì)實(shí)數(shù) (a, b)。因此，復(fù)數(shù)可以用一對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)處理算術(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)理論轉(zhuǎn)變?yōu)橐粚?duì)實(shí)數(shù)的理論。,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,十九世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)論開(kāi)始形成，并逐漸發(fā)展成一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)分支?？挛鳌⒕S爾斯特拉斯和黎曼在奠定了復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)?？挛?/p>

5、和維爾斯特拉斯應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究了復(fù)變函數(shù)的映射(幾何)性質(zhì)。,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,十八世紀(jì)，達(dá)朗貝爾和歐拉等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義，澄清了復(fù)數(shù)概念，并應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的問(wèn)題。此后人們才逐漸接受了復(fù)數(shù)，復(fù)變函數(shù)論才能順利的建立和發(fā)展。,柯西將一個(gè)復(fù)變函數(shù) f(z) 視為復(fù)數(shù) z 的一元函數(shù)來(lái)研究。1814年柯西定義的正則函數(shù)（解析函數(shù)）要求 f(z) 的導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)。,二、復(fù)變函數(shù)

6、與積分變換的發(fā)展歷史,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,1900年，法國(guó)數(shù)學(xué)家古薩（E. Goursat, 1858-1936）免去了導(dǎo)數(shù)必須連續(xù)的條件，建立了柯西-古薩基本定理。,盡管柯西-黎曼方程（C-R方程）早在1746年就已出現(xiàn)，但是由于柯西在復(fù)積分方面的貢獻(xiàn)以及他建立了系統(tǒng)的理論，人們還是認(rèn)為柯西是復(fù)分析的創(chuàng)始人。,二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒（維爾斯特拉斯的學(xué)生）、法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅?/p>

7、的研究工作，開(kāi)拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門(mén)學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。1930年代，多復(fù)變函數(shù)研究迎來(lái)初步繁榮，出現(xiàn)了嘉當(dāng)關(guān)于全純自同構(gòu)的惟一性定理、有界域全純自同構(gòu)群的李群性質(zhì)及全純域與全純凸的等價(jià)性的嘉當(dāng)－蘇倫定理。,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,1936年開(kāi)始，日本數(shù)學(xué)家岡潔對(duì)庫(kù)辛問(wèn)題、列維問(wèn)題、逼近問(wèn)題等多復(fù)變的中心問(wèn)題進(jìn)行了長(zhǎng)期、系統(tǒng)而富有成效的研究，對(duì)多復(fù)變函數(shù)論發(fā)展有著重大影響。1

8、950年代是多復(fù)變函數(shù)論發(fā)展的黃金時(shí)代，數(shù)學(xué)家們通過(guò)拓?fù)浞椒ê蛶缀畏椒ㄑ芯咳兒瘮?shù)的整體性質(zhì)。嘉當(dāng)、勒雷、施泰因等建立了凝聚解析層和復(fù)空間理論，格勞爾特解決了復(fù)流形等問(wèn)題。,1930年代開(kāi)始，我國(guó)數(shù)學(xué)家在單復(fù)變和多復(fù)變函數(shù)方面做過(guò)不少重要工作：1940-1950年代，華羅庚關(guān)于多復(fù)變函數(shù)典型域上調(diào)和分析的研究，在調(diào)和分析、復(fù)分析、微分方程等研究中，有廣泛深入的影響；1970年代，楊樂(lè)、張廣厚在單復(fù)變函數(shù)的值分布的漸近值理論中取得首創(chuàng)成果

9、。,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,積分變換就是通過(guò)參變量的積分 將一個(gè)已知函數(shù) f(x) 變換為另一個(gè)函數(shù) F(s)。積分變換理論在數(shù)學(xué)理論的多個(gè)分支，及力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、信號(hào)處理、自動(dòng)控制等許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。1880-1887年，英國(guó)電氣工程師海維賽德（O. Heaviside）為了解決電工計(jì)算中的微分方程，用算子將微分方程變換為代數(shù)方程，成為

10、拉普拉斯變換的先驅(qū)。后來(lái)人們?cè)诶绽沟闹髦姓业搅艘罁?jù)，取名拉普拉斯變換。最重要的積分變換有傅里葉變換、拉普拉斯變換，除此還有梅林變換和漢克爾變換等。傅里葉變換將時(shí)域或空間域信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)；拉普拉斯變換則將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到復(fù)頻域上表示。,用于計(jì)算某些復(fù)雜的實(shí)函數(shù)的積分，如 法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（J. Hadamard，1865-1963）說(shuō): 實(shí)域中兩個(gè)真理之間的最短路程是通過(guò)復(fù)域。,三、復(fù)變函數(shù)與積分變換的應(yīng)用,(

11、3) 用于求解偏微分方程，如,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,(5) 用于計(jì)算滲流等問(wèn)題，如：大壩、鉆井的浸潤(rùn)曲線(xiàn),對(duì)其他數(shù)學(xué)學(xué)科的影響　 深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對(duì)它們的發(fā)展很有影響。例如：高斯應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論證明了代數(shù)基本定理，建立了代數(shù)方程的普遍理論。,(4) 用于流體的平面平行流動(dòng)等問(wèn)題,(6) 應(yīng)用于計(jì)算繞流問(wèn)題中的壓力和力矩等,(7) 應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問(wèn)題、電(磁)場(chǎng)強(qiáng)度 例如

12、：熱爐中溫度的計(jì)算,俄羅斯航空之父茹可夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)時(shí)，用復(fù)變函數(shù)論的共形映射(第六章)解決機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)/航空力學(xué)方面也做出重要貢獻(xiàn)。,(8) 洛朗級(jí)數(shù)應(yīng)用于數(shù)字信號(hào)處理 用洛朗級(jí)數(shù)(第四章)直接寫(xiě)出離散數(shù)字信號(hào)的 Z 變換,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,(9) 輻角原理和共形映射應(yīng)用于自動(dòng)控制 將輻角原理(第五章)用于自動(dòng)控制中線(xiàn)性系統(tǒng)的頻域分析，建立Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)

13、；利用共形映射(第六章)中的分式線(xiàn)性映射研究線(xiàn)性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,(11) Fourier 變換用于頻譜分析、自動(dòng)控制和信號(hào)處理等,(10) 復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ),積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和自動(dòng)控制領(lǐng)域以及信號(hào)分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域。,頻譜分析是對(duì)各次諧波的頻率、振幅、相位間的關(guān)系進(jìn)行分析。在自動(dòng)控制中，輸出的傅氏變換比輸入的傅氏變換就是系統(tǒng)的頻率特性。隨著計(jì)算機(jī)發(fā)展

14、，語(yǔ)音、圖象等信號(hào)，在頻域中的處理方便得多，如快速傅立葉變換。,(12) Laplace 變換用于自動(dòng)控制等問(wèn)題,在自動(dòng)控制問(wèn)題中，傳遞函數(shù)是輸出的Laplace變換與輸入的Laplace變換之比。,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,四、教材與參考書(shū),教材： 復(fù)變函數(shù)（第四版）. 西安交通大學(xué). 高等教育出版社, 1996 積分變換（第五版）. 張?jiān)? 高等教育出版社, 2012主要參考書(shū) 1. 復(fù)變函

15、數(shù)論（第三版）. 鐘玉泉. 高等教育出版社, 20042. 復(fù)變函數(shù)論（第四版）. 余家榮. 高等教育出版社, 20073. 復(fù)變函數(shù)與積分變換（第二版）. 蓋云英等. 科學(xué)出版社, 20074. 復(fù)變函數(shù)與積分變換（第三版）. 華中科技大學(xué). 高等教育出版社, 20085. Complex Variables and Applications (8th Ed.). J. W. Brown, R. V. Churchill. M

16、cGraw-Hill, 2007.6. Functions of One Complex Variable (2nd Ed.). J. B. Conway. Springer, 1993,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,五、教學(xué)內(nèi)容,本課程由復(fù)變函數(shù)與積分變換兩個(gè)部分組成。,復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù),變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射。,其中，部分帶 “*” 號(hào)的內(nèi)容本課堂不需要掌握。,積分變換的內(nèi)容包括：Fou

17、rier變換、Laplace變換。,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,本課程的主要內(nèi)容,1 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),2 解析函數(shù),3 復(fù)變函數(shù)的積分,4 級(jí)數(shù),5 留數(shù),6 共形映射,7 Fourier變換,五、教學(xué)內(nèi)容,8 Laplace變換,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,六、教學(xué)及考核方式,考試方式： 閉卷,課程成績(jī)： 平時(shí)成績(jī)占 20-30% 考試成績(jī)占 70-80%,作業(yè)