20.2第二型曲線積分

1、12第二型曲線積分教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與要求：掌握第二型曲線積分的定義和計(jì)算公式.教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：第二型曲線積分的定義和計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)：第二型曲線積分的計(jì)算公式.教學(xué)過程教學(xué)過程一、第二型曲線積分的定義一、第二型曲線積分的定義:（一）、力場(chǎng)（一）、力場(chǎng)沿平面曲線沿平面曲線從點(diǎn)從點(diǎn)A到點(diǎn)到點(diǎn)B所作的功所作的功:??)()()(yxQyxPyxF?L一質(zhì)點(diǎn)受變力F(xy)的作用沿平面曲線運(yùn)動(dòng)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從之一端點(diǎn)A移CC動(dòng)到另一端B時(shí)求力

2、F(xy)所做功W.大家知道如果質(zhì)點(diǎn)受常力F的作用沿直線運(yùn)動(dòng)位移為s.那末這個(gè)常力所做功為W=||F||||s||cos其中||F||.||s||分別表示向量(矢量)的長(zhǎng)度?為F與S的夾角.?現(xiàn)在問題的難度是質(zhì)點(diǎn)所受的力隨處改變，而所走路線又是彎彎曲曲.怎么辦呢還是用折線逼近曲線和局部一常代變的方法來解決它(微分分析法).為此我們對(duì)有向曲線作分割即在AB內(nèi)插入C.....110nnAAAAT??n1個(gè)分點(diǎn)與A=一起把曲線分成n個(gè)有向小曲

3、線.....121?nMMMnMBM?0段(i=12……n)以記為小曲線段的弧長(zhǎng)..iiMM1?Si?iiMM1?maxSi???設(shè)力F(xy)在x軸和y軸方向上的投影分別為P(xy)與Q(xy)即F(xy)=(P(xy)Q(xy))=P(xy)iQ(xy)jF(xy)=(P(xy)Q(xy))=P(xy)iQ(xy)j3(2)倘若C為光滑或分段光滑的空間有向連續(xù)曲線PQR為定義在C上的函數(shù)則可按上述辦法定義沿有向曲線C的第二類曲線積分

4、并記為.dzzyxRdyzyxQdxzyxPfdscc)()()(?????按這一定義有力場(chǎng)沿平面曲線從點(diǎn)A到點(diǎn)??)()()(yxQyxPyxF?LB所作的功為.流速場(chǎng)在單位時(shí)間???ABQdyPdxW)(yxv??)()(yxQyxP?內(nèi)通過曲線ABAB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為.???ABQdxPdyE第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性.對(duì)二型曲線積分有????BAAB因此定積分是第二型曲線積分中當(dāng)曲線為X軸上的線段時(shí)的特例.可

5、類似地考慮空間力場(chǎng)沿空間??)()()()(zyxRzyxQzyxPzyxF?曲線ABAB所作的功.導(dǎo)出空間曲線上的第二型曲線積分.???ABdzzyxRdyzyxQdxzyxP)()()(（四）、第二型曲線積分的性質(zhì)（四）、第二型曲線積分的性質(zhì):第二型曲線積分可概括地理解為向量值函數(shù)的積累問題.與我們以前討論過的積分相比除多了一層方向性的考慮外其余與以前的積累問題是一樣的還是用RiemmaRiemma的思想建立的積分.因此第二型曲線積

6、分具有(R)積分的共性如線性、關(guān)于函數(shù)或積分曲線的可加性.但第二型曲線積分一般不具有關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性這是由于一方面向量值函數(shù)不能比較大小另一方面向量值函數(shù)在小弧段上的積分還與弧段方向與向量方向之間的夾角有關(guān).(1)線性性設(shè)C為有向曲線存在則?cfds?cgds則存在且.R????dsffc)(??????????cccgdsfdsdsff????)((2)可加性:設(shè)存在存在且?cfds21CCC?????21ccfdsfds.?????