微積分在土木工程中的應(yīng)用

1、微積分在土木工程中的應(yīng)用微積分在土木工程中的應(yīng)用引言引言：結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，作為一門課程也可稱作機(jī)械振動(dòng)，廣泛地應(yīng)用于工程領(lǐng)域的各個(gè)學(xué)科，諸如航天工程，航空工程，機(jī)械工程，能源工程，動(dòng)力工程，交通工程，土木工程，工程力學(xué)等等。作為固體力學(xué)的一門主要分支學(xué)科，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)起源于經(jīng)典牛頓力學(xué)，就是牛頓質(zhì)點(diǎn)力學(xué)。質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的基本問題是用牛頓第二定律來建立公式的。此后另一個(gè)重要的發(fā)展時(shí)期，是與約翰伯努利，歐拉，達(dá)朗貝和拉格朗日等人的名字分不開的。下面簡(jiǎn)單

2、介紹工程結(jié)構(gòu)常用的自由振動(dòng)的數(shù)值求解方法和動(dòng)力響應(yīng)的非線性分析方法。正文正文：振型疊加法僅適用于求解線性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，并且還要求結(jié)構(gòu)體系應(yīng)具有非耦連的阻尼效應(yīng)。對(duì)于工程實(shí)際中存在的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，比如在強(qiáng)烈地震作用下的建筑物的彈塑性動(dòng)力時(shí)程分析，結(jié)構(gòu)體系就不再允許被看作是線性的。在類似情形，結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼不再隨時(shí)間線性變化，其結(jié)果就使得在動(dòng)力方程中的剛度矩陣和阻尼矩陣中的元素是時(shí)間的非線性函數(shù)。因此，為解決類似非線性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)問題

3、，就出現(xiàn)了響應(yīng)的求解方法，其中最一般也最為有效的方法就是逐步積分法，或者叫做直接數(shù)值積分法。所謂“直接”，就是指在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算之前，并沒有將原方程經(jīng)過某種數(shù)學(xué)上的變換，變成另一種形式再來計(jì)算，而是直接對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程求解。逐步積分法逐步積分法逐步積分法可用來求解線性和非線性結(jié)構(gòu)體系，并且適用于任意阻尼情況。該方法的核心思想包含以下兩點(diǎn)：1設(shè)想運(yùn)動(dòng)方程并不是在任意的時(shí)間t都能得到滿足，而僅僅在時(shí)間間隔為Δt的若干個(gè)離散的時(shí)間點(diǎn)上得到滿足

4、。2在時(shí)間間隔Δt內(nèi)，對(duì)于位移，速度，加速度的變化應(yīng)作出某些假設(shè)。不同的逐步積分法的差異就在于第二點(diǎn)的假設(shè)有所不同，當(dāng)然，計(jì)算結(jié)果的精度，穩(wěn)定性和計(jì)算的費(fèi)用也直接和這些假設(shè)有關(guān)。在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力分析中，原則上可以認(rèn)為是考慮了與加速度有關(guān)的慣性力和與速度有關(guān)的阻尼力的作用后，在時(shí)刻t的靜力平衡。因此，可以這樣認(rèn)為，逐步積分法對(duì)在整個(gè)時(shí)間歷程中動(dòng)力特性表現(xiàn)為非線性的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了微小時(shí)間間隔Δt內(nèi)的線性化。本來，在整個(gè)時(shí)間歷程中，結(jié)構(gòu)體系的剛度

5、矩陣和阻尼矩陣中的元素是時(shí)間的非線性函數(shù)。但如果選取的時(shí)間間隔Δt相對(duì)于結(jié)構(gòu)的最小自振周期來說足夠小，那么在每個(gè)微小的時(shí)間間隔內(nèi)，就可以以各個(gè)時(shí)間間隔的起始點(diǎn)處的切線剛度和切線阻尼來表示結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼，用增量平衡方程來代替非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)平衡方程來求解，從而可以求得其動(dòng)力響應(yīng)。根據(jù)在時(shí)間間隔Δt內(nèi)，對(duì)于位移，速度，加速度的變化作出假設(shè)的不同，主要有以下幾種逐步積分的求解方法：中心差分法，平均加速度法，線性加速度法和Wilsonθ

6、法。其中Wilsonθ法是用來求解非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的最為有效的方法。對(duì)于逐步積分法來說，求解的精度，算法的穩(wěn)定性與計(jì)算所需費(fèi)用是相互制約的。一般情況下，計(jì)算所需費(fèi)用（即計(jì)算所需運(yùn)算量）與求解所需時(shí)間步長(zhǎng)（間隔）Δt的步數(shù)本文簡(jiǎn)要介紹了微積分在高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中求解方法。目前，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的發(fā)展已經(jīng)從確定性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)向概率性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)發(fā)展，并廣泛應(yīng)用在地震工程當(dāng)中。應(yīng)當(dāng)指出的是，隨著計(jì)算機(jī)硬件的飛速發(fā)展，計(jì)算理論的進(jìn)一步研究，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)這門