第五章 彈性力學(xué)的求解方法和一般性原理

1、第五章第五章彈性力學(xué)的求解方法和一般性原理彈性力學(xué)的求解方法和一般性原理內(nèi)容介紹內(nèi)容介紹知識點知識點彈性力學(xué)基本方程邊界條件位移表示的平衡微分方程應(yīng)力解法體力為常量時的變形協(xié)調(diào)方程物理量的性質(zhì)逆解法和半逆解法解的迭加原理彈性力學(xué)基本求解方法位移解法位移邊界條件變形協(xié)調(diào)方程混合解法應(yīng)變能定理解的唯一性原理圣維南原理學(xué)習(xí)思路:通過應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)和本構(gòu)關(guān)系的討論，已經(jīng)建立了一系列的彈性力學(xué)基本方程和邊界條件。本節(jié)的主要任務(wù)是將基本方程和邊

2、界條件作綜合總結(jié)，并且對求解方法作初步介紹。彈性力學(xué)問題具有15個基本未知量，基本方程也是15個，因此問題求解歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解偏微分方程。由于基本方程與15個未知量的內(nèi)在聯(lián)系，例如已知位移分量，通過幾何方程可以得到應(yīng)變分量，然后通過物理方程可以得到應(yīng)力分量；反之，如果已知應(yīng)力分量，也可通過物理方程得到應(yīng)變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量，不過這時的應(yīng)變分量必須滿足一組補充方程，即變形協(xié)調(diào)方程。基于上述的理由，為簡化求解的

3、難度，可以選取部分未知量作為基本未知量求解。根據(jù)基本未知量，彈性力學(xué)問題可以分為應(yīng)力解法、位移解法和混合解法。上述三種求解方法對應(yīng)于偏微分方程的三種邊值問題。當(dāng)然，具體求解彈性力學(xué)問題時，并不需要同時求解十五個基本未知量，可以而且必須做出必要的簡化。根據(jù)幾何方程和本構(gòu)方程可見，位移、應(yīng)力和應(yīng)變分量之間不是相互獨立的。假如已知位移分量，通過幾何方程可以得到應(yīng)變分量，然后通過物理方程可以得到應(yīng)力分量。反之，如果已知應(yīng)力分量，也可通過物理方程

4、得到應(yīng)變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量，不過這時的應(yīng)變分量必須滿足一組補充方程，即變形協(xié)調(diào)方程。基于上述的理由，為簡化求解的難度，選取部分未知量作為基本未知量。若以位移函數(shù)作為基本未知量求解，稱為位移解法；若以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量，稱為應(yīng)力解法；若以部分位移分量和部分應(yīng)力分量作為基本未知量，稱為混合解法。在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問題，數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程的邊值問題。按照不同的邊界條件，彈性力學(xué)有三類邊值問題。第一類