經(jīng)濟數(shù)學(xué)微積分——第六章

1、第六章第六章定積分定積分定積分的有關(guān)理論是從17世紀開始出現(xiàn)和發(fā)展起來的，人們對幾何與力學(xué)中某些問題的研究是導(dǎo)致定積分理論出現(xiàn)的主要背景盡管其中某些問題早在公元前就被古希臘人研究過，但直到17世紀有了牛頓(Newton)和萊布尼茲(Leibnitz)的微分思想后，才使這些問題統(tǒng)一到一起，并且與求不定積分的問題聯(lián)系起來下面我們先從幾何與力學(xué)問題出發(fā)引進定積分的定義，然后討論它的性質(zhì)、計算方法及其應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié)定積分概念定積分概念一、一、

2、定積分問題舉例定積分問題舉例１１曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)f(x)是定義在區(qū)間［ab］上的非負連續(xù)函數(shù)，由曲線y?f(x)及直線x?ax?b和y?0所圍成的圖形稱為曲邊梯形，下面我們討論如何求這個曲邊梯形的面積圖6?1為了利用已知圖形(比如說矩形)的面積公式，可以先在［ab］內(nèi)任意插入n個分點a?x0＜x1＜x2＜…＜xn＝b這樣整個曲邊梯形就相應(yīng)地被直線x?xi(i?12…n?1)分成n個小曲邊梯形，區(qū)間［ab］分成n個小區(qū)間［x

3、0x1］［x1x2］…，［xn?1xn］第i個小區(qū)間的長度為Δxi?xi?xi－１（i?12…，n)對于第i個小曲邊梯形來說，當(dāng)其底邊長Δxi足夠小時，其高度的變化也是非常小的，這時它的面積可以用某個小矩形的面積來近似若任取ξi∈［xi?1xi］用f(ξi)作為第i個小矩形的高(圖6?1)，則第i個小曲邊梯形面積的近似值為ΔAi≈f(ξi)Δxi這樣，整個曲邊梯形面積的近似值就是11()nniiiiiAAfx?????????從幾何直觀

4、上看，當(dāng)分點越密時，小矩形的面積與小曲邊梯形的面積就會越接近，因而和式動的路程s的實際意義不同，前者是幾何量，后者是物理量，但計算這些量的方法與步驟都是相同的，它們都可歸結(jié)為具有相同結(jié)構(gòu)的一種特定和的極限，如面積01lim()niiiAfx???????路程.01lim()niiisvt???????拋開這些問題的具體意義，抓住它們在數(shù)量上共同的本質(zhì)與特性加以概括，我們可以抽象出下述定積分的概念定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在［ab］上有

5、界上有界，在［ab］中任意插入中任意插入n?1個分點個分點a?x0＜x1＜x2＜…＜xn?b把區(qū)間把區(qū)間［ab］分成分成n個小區(qū)間個小區(qū)間［x0x1］［x1x2］…，［xn－１，xn］各小區(qū)間的長度依次為各小區(qū)間的長度依次為Δx1?x1?x0Δx2?x2?x1…，Δxn?xn?xn?1在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間［xi－１，xi］上任取一點上任取一點ξi作乘積作乘積f(ξi)Δxi(i?12…n)，再作和式再作和式（6?1?1）0lim()

6、iiSfx?????記λ?max｛Δx1Δx2…，Δxn｝如果不論如果不論［ab］怎樣分法，也不論怎樣分法，也不論［xi－１，xi］上點上點ξi怎樣取法，當(dāng)怎樣取法，當(dāng)λ→0時，和S總趨于確定的極限總趨于確定的極限I，這時我們稱這個極限這時我們稱這個極限I為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)在區(qū)間［ab］上的定積分上的定積分(簡稱積分簡稱積分)，記作記作即()dbafxx?，(6?1?2)0()dlim()biiafxxfxI???????其中其中

7、f(x)叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達式叫做被積表達式，x叫做積分變量叫做積分變量，a叫做積分下限叫做積分下限，b叫做叫做積分上限積分上限，［ab］叫做積分區(qū)間叫做積分區(qū)間注當(dāng)和式的極限存在時，其極限值僅與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間1()niiifx????［ab］有關(guān)，而與積分變量所用字母無關(guān)，即()d()d()dbbbaaafxxfttfuu?????讀者容易由定積分的定義或下面介紹的定積分的幾何意義得到這一結(jié)論

8、如果f(x)在［ab］上的定積分存在，我們就說f(x)在［ab］上可積由于這個定義是由黎曼(Riemann)首先給出的，所以這里的可積也稱為黎曼可積，相應(yīng)的積分和式也稱為黎曼和1()niiifx????對于定積分，有這樣一個重要問題：函數(shù)f(x)在［ab］上滿足怎樣的條件，f(x)在［ab］上一定可積這個問題我們不作深入討論，而只給出以下兩個充分條件定理定理1設(shè)f(x)在區(qū)間在區(qū)間［ab］上連續(xù)上連續(xù)，則f(x)在［ab］上可積上可積定