《勾股圓方圖》與中考試題

1、1[初中數(shù)學(xué)論文]《勾股圓方圖勾股圓方圖》與中考試題與中考試題什么是“勾股圓方圖”呢？這還得從勾股定理的證明談起。勾股定理的證明，自古以來引起人們的極大興趣，其證法至今已約有四百種之多，是幾何定理中證法最多的一個。證法種種，風(fēng)格各異。我國古代數(shù)學(xué)家證明勾股定理的獨特風(fēng)格，在數(shù)學(xué)大苑中開出了一朵芳香的鮮花。三國時期數(shù)學(xué)家趙爽（公元三世紀初）的證法十分巧妙！趙爽證法用了“弦圖”。所謂“弦圖”，就是以弦為邊的正方形。他在《勾股圓方圖注》中寫道

2、：“案弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自乘為中黃實，加差實，亦成弦實?！边@意思是：在“弦圖”內(nèi)，以正方形的邊為弦，作四個全等的直角三角形，得到圖1（此圖稱為勾股圓方圖）。趙爽稱直角三角形的面積為“朱實”，中間小正方形的面積為“黃實”。設(shè)直角三角形的勾、股、弦分別為a、b、c，則ab為二個朱實，2ab為四個朱實，為黃實。四個朱實加上一個黃實就等于弦實。所以2ab(ba)2=c2。趙爽先巧妙地構(gòu)造“弦圖”，再經(jīng)過簡單的

3、代數(shù)運算，獲得幾何問題的證明。真是構(gòu)思精巧，證法直觀、簡捷、嚴謹，并融代數(shù)幾何于一體，鮮明地體現(xiàn)了我國古代證題術(shù)的獨特風(fēng)格。以《勾股圓方圖注》為原型或?qū)ι蠄D進行拓展及其思想在近年中考中以上圖的考題屢屢出現(xiàn)。一、圖形原型應(yīng)用試題展示一、圖形原型應(yīng)用試題展示（圖1）（圖2）1、2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1）。如果大正

4、方形的面積為13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊為a，較長的直角邊為b，那么（ab）2的值為（）。A.13B.19C.25D.169分析：由勾股定理得a2b2=13，由面積關(guān)系得(ab)2=1，建立a，b的方程組。整理后可得（ab）2=25。顧得C2、如圖2，E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點，要使中間陰影部分小正方形的面積為5，則大正方形的邊長應(yīng)該是（）A.2√5B.3√5C.5D.√5分析：此題對勾股圓方圖稍加

5、變化，可用面積割補進行解答，也可借助勾股圓方圖的特征加以解決。選C。二、圖形拓展后的試題展示二、圖形拓展后的試題展示參考勾股圓方圖的證明方法，還可以對四個直角三角形和正方形進行調(diào)整（如下圖）。先巧妙地構(gòu)造“勾股圖”，再經(jīng)過簡單的代數(shù)運算，獲得幾何問題的證明。3類似。解答時可以延長內(nèi)部小正方形的邊長，構(gòu)造出等腰直角三角形可以求出；也可以先求出AB=2√2，再利用圖形的特征可得到CD=2√2，所以陰影部分的面積為8cm2。由此可以得到規(guī)律：

6、陰影部分的面積始終為8cm2。8、如圖9用四個相同的小矩形和一個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案。已知該圖案的面積為49，小正方形的面積為4，若用表示小矩形的兩邊長（），請觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（）Axy=7Bxy=2C4xy4=49Dx2y2=25分析：利用四個小矩形全等，可以得出A正確；利用矩形的邊長和小正方形的周長可判斷B是正確的；利用大正方形的面積可以得出C正確；利用選項A、B可以得出4（x2y2）=53，所以D是錯誤

7、的。此題把勾股圖的內(nèi)涵在幾個選項中得到了充分體現(xiàn)。(圖9)（圖10）9、如圖10，△ABC為正三角形，且∠1=∠2=∠3，試說明畫有陰影的三角形為正三角形。分析：易證得外邊的三個三角形全等，通過線段的加減得出陰影三角形的三邊相等，從而得出該三角形為正三角形。對日常教學(xué)的啟示：對日常教學(xué)的啟示：1、通過歷史問題的引入，有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；2、鼓勵學(xué)生自主探究，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和內(nèi)涵。數(shù)學(xué)教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，探索、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)