2018北京大學“中學生數(shù)學獎”夏令營初賽試題 含答案

1、北京大學北京大學“中學生數(shù)學獎中學生數(shù)學獎”夏令營初賽夏令營初賽試題試題20182018年6月2323日本試卷共本試卷共4題，每題題，每題3030分，滿分分，滿分120120分.考試時間考試時間180180分鐘分鐘.1.已知、、為整數(shù)，且對任意正整數(shù)、，存在整數(shù)滿足如下關系：abcmnx??2mod.axbxcmn???求所有滿足要求的三元整數(shù)組.??abc2.已知實數(shù)兩兩不同，存在滿足（，并規(guī)定122018aaa?t11iiata??

2、?122018i??）.求實數(shù)的可能取值的個數(shù).20191aa?t3.給定正整數(shù)、.有一個密碼鎖，它有個按鈕，編號分別為.打開該鎖的密碼是長nkn1n:度為的按鈕序列.當且僅當連續(xù)正確的按動這個按鈕時，密碼鎖會被打開.（例如，kk3n?，密碼為時，依次按動后可以打開該鎖，按動后也可以打開2k?13123211322313該鎖.）要保證把這個密碼鎖打開，至少需要按動多少次按鈕？4.如圖，中.點所對應的旁切圓圓分別與直線、、相切于ABC?A

3、BAC?AJBCCAAB點、、.點是線段的中點.點在線段上，且滿足.求證：DEFMBCSJMASDSAE??.MSBDCDSJJD??兩式相除得，有，11iiiiaaaa?????????????2111111iiiiaaaaaa??????????????????????????從而，，40362019120191aaaa???????????40361??由對稱性，不妨設，，其中.2018kie?????40362018kie???

4、?12018k??另一方面，當時，由知，，12018ij???ijaa?jijiaaaa?????????而.所以當時，，??21jjtjtaaaa????????????12018t??21t??即，即對任意，都不是的倍數(shù)，2220181tkite????12018t??tk2018即，又因為，??20181k?201821009??所以這樣的有個，所以有k11201811100821009?????????????????2cos2

5、018kt??????個取值.10083.最少需要按次.1knk??不同的密碼共有個，要保證打開密碼鎖，必須全部試過一遍.從第次按鍵開始，每次按knk動按鈕都可以視為一個長為的序列末位，故至少需要次.k1knk??下面給出按動次可以滿足要求的存在性證明.1knk??當時結論顯然成立，故下設.1k?2k?構造圖，共有個頂點，每個頂點對應為一個長為的序列.G1kn?1k?對頂點，，若點所對應序列的后位與點所對應序列的前位相同，則在ABA2k