三角函數(shù)性和e指數(shù)形式的傅里葉變換

1、三角級數(shù)、傅里葉級數(shù)三角級數(shù)、傅里葉級數(shù)對于所有在以2pi為周期的函數(shù)f(x)，可以用一組如下的三角函數(shù)系將其展開：1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……顯然，這組基在[pipi]上是正交的，因此可以在周期區(qū)間求積分獲得函數(shù)f(x)在以三角函數(shù)系為基的展開系數(shù)，或者說以三角函數(shù)系為坐標的投影值a0anbn……一個一般的函數(shù)f(x)可以表示為奇函數(shù)和偶函數(shù)的疊加，因此它的展開既含有正弦項又含有余

2、弦項，但偶函數(shù)的展開僅含有常數(shù)項a0和正弦項，相似的，奇函數(shù)展開僅含有余弦項。傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式根據(jù)歐拉公式e^jx=cosxjsinx，任意正弦、余弦項可以用復(fù)指表示，即cosx=(e^jxe^jx)2，sinx=(e^jxe^jx)2j。所以，任何一個周期函數(shù)f(x)既可以在三角函數(shù)系上表出也可以在復(fù)指數(shù)系1，e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐標系之間，存在映射關(guān)系。但重要的是，由于積分變換的核函數(shù)形

3、式發(fā)生改變，其物理意義也將有所變化。由于復(fù)數(shù)的引入，每一個復(fù)指數(shù)e^jnx相對于三角函數(shù)系都變?yōu)橐粋€二維量，其物理含義是一條三維螺旋線。其道理非常簡單，一個實參a表示數(shù)軸上的一點，而一個復(fù)數(shù)abj表示二維坐標上的一點，所以cosx，sinx分別表示困難的問題是對連續(xù)譜的理解.以下為標準的傅里葉變換對:由于存在關(guān)系式:e^jwt=coswtjsinwt再聯(lián)想一個信號在三角函數(shù)系上的展開可以認為上述傅里葉變換的意義是得到信號x(t)實部的c

4、oswt系數(shù)以及x(t)虛部的sinwt系數(shù).又由于cos的偶函數(shù)性質(zhì)sin的奇函數(shù)性質(zhì)以及jj=1這一定義對于某一個特定的w出現(xiàn)在變換式左邊的將是x(t)實部的coswt系數(shù)以及x(t)虛部的sinwt系數(shù)兩者的加和顯然可以用e^jwt的系數(shù)表示.假如直接以幾何意義來思考為什么傅里葉變換式兩端正負號不一致也很有趣.回到三角函數(shù)展開在周期[pipi]上只有coswx與coswx的乘積不為零這也是正交性.而在三維空間中一條螺旋線與它自身的