信號分析與處理

1、12.8 信號分析與處理Signal analysis and processing in measurement,,測試信號分析與處理,12.8.1 信號與測試系統(tǒng)分析 12.8.2 信號描述 12.8.3 數(shù)字信號處理,12.8.1 信號與測試系統(tǒng),圖2.1 簡諧振動(dòng)信號測試系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖,對于不同的被測參量，測試系統(tǒng)的構(gòu)成及作用原理可以不同；根據(jù)測試任務(wù)的復(fù)雜程度，一個(gè)測試系統(tǒng)也可以有簡單和復(fù)雜之分；根據(jù)不同的作用原理，測試

2、系統(tǒng)可以是機(jī)械的、電的、液壓的等等。在對待屬性各異的各類測試系統(tǒng)中，常常略去系統(tǒng)具體的物理上的含義，而將其抽象為一個(gè)理想化的模型，目的是為了得到一類系統(tǒng)共性的規(guī)律。將系統(tǒng)中變化著的各種物理量，如力、位移、加速度、電壓、電流、光強(qiáng)等稱為信號。因此，信號與系統(tǒng)是緊密相關(guān)的。信號按一定的規(guī)律作用于系統(tǒng)，而系統(tǒng)在輸入信號的作用下，對它進(jìn)行“加工”，并將該“加工”后的信號進(jìn)行輸出。通常將輸入信號稱為系統(tǒng)的激勵(lì)，而將輸出信號稱為系統(tǒng)的響

3、應(yīng)。,12.8.2 信號描述,一、信號的定義 二、信號的分類 三、信號時(shí)域和頻域描述方法 四、周期信號的頻域描述 五、周期信號的功率 六、非周期信號的頻域描述 七、隨機(jī)信號描述,一、信號的定義,“信號”(signal)一詞最初起源于“符號”、“記號”(sign)，它表示用來作為信息向量的一個(gè)物體、一個(gè)標(biāo)記、一種語言的元素、或一個(gè)約定的符號等等。 信號是信號本身在其傳輸?shù)钠瘘c(diǎn)到終點(diǎn)的過程中所攜帶的信息的物理表現(xiàn)。 例如：質(zhì)

4、量——彈簧系統(tǒng)在受到一個(gè)激勵(lì)后的運(yùn)動(dòng)狀況，可以通過系統(tǒng)質(zhì)量塊的位移——時(shí)間關(guān)系來描述。反映質(zhì)量塊位移的時(shí)間變化過程的信號則包含了該系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比的信息。,噪聲的概念：噪聲(noise)也是一種信號 ；任何干擾對信號的感知和解釋的現(xiàn)象稱為噪聲。 信號與噪聲的區(qū)別純粹是人為的，且取決于使用者對兩者的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。 例：齒輪噪聲信號理論必須包括噪聲理論。,二、信號的分類,信號的分類方法(signal classification

5、s)：基于信號的演變類型、信號的預(yù)定特點(diǎn)、或者信號的隨機(jī)特性的表象(phenomenological)分類法。 規(guī)定兩類信號的能量(energy)分類法，兩類信號中一類為具有有限能量的信號，另一類為具有有限平均功率但具有無限能量的信號。 基于信號的幅值或者獨(dú)立變量是連續(xù)還是離散的這一特點(diǎn)的形態(tài)(morphological)分類法。 基于信號模型中獨(dú)立變量個(gè)數(shù)的維數(shù)(dimensional)分類法?；谛盘栴l譜的頻率分布形狀的頻

6、譜(spectral)分類法。,1、確定性信號和隨機(jī)信號,分類方法1是考慮信號沿時(shí)間軸演變的特性所作的一種分類。根據(jù)這種時(shí)域分類法可定義兩大類信號：確定性信號和隨機(jī)信號。確定性（deterministic）信號：可以用合適的數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)關(guān)系式來完整地描述或預(yù)測(predicable)其隨時(shí)間演變情形的信號。隨機(jī)（random）信號：具有不能被預(yù)測(unpredicable)的特性且只能通過統(tǒng)計(jì)觀察來加以描述的信號。,確定性信號分為

7、周期信號和非周期信號。周期(periodic)信號：定義：滿足下面關(guān)系式的信號： x(t)=x(t+kT)(2.3)式中，T——周期。周期信號一般又分為正余弦信號、多諧復(fù)合信號、和偽隨機(jī)信號。 非周期(nonperiondic)信號：定義：不具有上述性質(zhì)的確定性信號。非周期信號又可分成準(zhǔn)周期(quasi-periodic)信號和瞬態(tài)(transient)信號兩類。,正余弦(harmonic)信號具有如下的一般表達(dá)式

8、 ：,偽隨機(jī)(pseudo-random)信號組成周期信號的一個(gè)特殊范疇，它們具有準(zhǔn)隨機(jī)的特性。,圖2.2 正、余弦信號,圖2.3 偽隨機(jī)信號,非周期信號又可分成準(zhǔn)周期信號和瞬態(tài)信號兩類。準(zhǔn)周期信號：由多個(gè)具有不成比例周期的正弦波之和形成，或者稱組成信號的正（余）弦信號的頻率比不是有理數(shù) 。瞬態(tài)信號：時(shí)間歷程短的信號 。,圖2.5 瞬態(tài)信號：x(t)—矩形脈沖信號；y(t)－衰減指數(shù)脈沖信號；z(t)－正弦脈沖；,隨機(jī)信號又可

9、分成兩大類：平穩(wěn)(stationary)隨機(jī)和非平穩(wěn)(nonstationary)隨機(jī)信號。,平穩(wěn)隨機(jī)信號：信號的統(tǒng)計(jì)特征是時(shí)不變的。,圖2.6 平穩(wěn)隨機(jī)信號x(t)－寬帶信號（白噪聲）y(t)－經(jīng)低通濾波后的信號,非平穩(wěn)隨機(jī)信號：不具有上述特點(diǎn)的隨機(jī)信號。,圖2.7 非平穩(wěn)隨機(jī)信號,按信號時(shí)域特性的表象分類法分類圖,2、能量信號和功率信號,能量(energy)信號：例如：在右圖所示的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)中：由彈簧所積蓄的彈性勢

10、能為 x2(t);若x(t)表達(dá)為運(yùn)動(dòng)速度，則x2(t)反映的是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)能。定義：當(dāng)x（t）滿足關(guān)系式 則稱信號x（t）為有限能量信號 ，簡稱能量信號。矩形脈沖、衰減指數(shù)信號等均屬這類信號。,圖2.8 單自由度振動(dòng)系統(tǒng),2、能量信號和功率信號（續(xù)）,功率(power)信號：當(dāng)信號滿足條件 亦即信號具有有限的（非零）平均功率，則稱信號為有限平均功率信號，簡稱功率信號。,3、連續(xù)信號和離散信號,分類依據(jù)：

11、信號的幅值是連續(xù)的還是離散的 ；自變量（即時(shí)間t）是連續(xù)的還是離散的 。對于連續(xù)信號(continuous signal )：自變量和幅值均為連續(xù)的信號稱模擬(analog)信號 ；自變量是連續(xù)、但幅值為離散的信號，則稱為量化(quantized)信號。 對于離散信號(discrete signal)：信號的自變量及幅值均為離散的，則稱為數(shù)字(digital)信號 ；信號的自變量為離散值、但其幅值為連續(xù)值時(shí)，則稱該信號為

12、被采樣(sampled)信號。,信號按形態(tài)分類法加以區(qū)分的四種形式,三、信號時(shí)域和頻域描述方法,時(shí)域描述法(time-domain description) ：主要反映信號的幅值隨時(shí)間變化的特征。 分析系統(tǒng)時(shí)，除采用經(jīng)典的微分或差分方程外，還引入單位脈沖響應(yīng)和單位序列響應(yīng)的概念，借助于卷積積分的方法。 頻域分析法(frequency-domain description)：將信號和系統(tǒng)的時(shí)間變量函數(shù)或序列變換成對應(yīng)頻率域中的某個(gè)

13、變量的函數(shù)，來研究信號和系統(tǒng)的頻域特性 。對于連續(xù)系統(tǒng)和信號來說，常采用傅里葉變換和拉普拉斯變換；對于離散系統(tǒng)和信號則采用Z變換。頻域分析法將時(shí)域分析法中的微分或差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，給問題的分析帶來了方便。,實(shí)際信號的形式常常是比較復(fù)雜的。因此常常將復(fù)雜的信號分解成某些特定類型（易于實(shí)現(xiàn)和分析 ）的基本信號之和 ，如正弦信號、復(fù)指數(shù)型信號、階躍信號、沖激信號等等 。信號的頻域描述即是將一個(gè)時(shí)域信號變換為一個(gè)頻域信號，將該信號

14、分解成一系列基本信號的頻域表達(dá)形式之和，從頻率分布的角度出發(fā)研究信號的結(jié)構(gòu)及各種頻率成分的幅值和相位關(guān)系。,四、周期信號的頻域描述,在有限區(qū)間上，一個(gè)周期信號x（t）當(dāng)滿足狄里赫利條件時(shí)可展開成傅里葉級數(shù)(Fourier series)： 式中，注意：an是n或nω0的偶函數(shù)，a-n=an；而bn則是n或nω0的奇函數(shù)，有b-n=-bn 。,(2.12),(2.13),(2.14),信號x（t）的另一種形式的傅里葉級數(shù)表達(dá)

15、式： 式中， An稱信號頻率成分的幅值(amplitude)，φn稱初相角(phase)。注意：An是n或nω0的偶函數(shù)，A-n=An；而bn則是n或nω0的奇函數(shù)，有φ-n=-φn 。 比較式（2.12）和式（2.15），可見 ：,（2.15）,n＝1,2, ……（2.16）,n＝1,2,……（2.17）,小結(jié)與討論,式中第一項(xiàng)a0/2為周期信號中的常值或直流分量 ；從第二項(xiàng)依次向下分別稱信號的基波或一次諧波、

16、二次諧波、三次諧波、……、n次諧波 ；將信號的角頻率ω0作為橫坐標(biāo)，可分別畫出信號幅值A(chǔ)n和相角φn隨頻率ω0變化的圖形，分別稱之為信號的幅頻譜和相頻譜圖。 由于n為整數(shù)，各頻率分量僅在nω0的頻率處取值，因而得到的是關(guān)于幅值A(chǔ)n和相角φn的離散譜線。 周期信號的頻譜是離散的!,例1 求圖2.11所示的周期方波信號x（t）的傅里葉級數(shù)。解：信號x（t）在它的一個(gè)周期中的表達(dá)式為： 根據(jù)式（2.13）和（2.1

17、4）有：,圖2.11 周期方波信號,注意：本例中x(t)為一奇函數(shù)，而cosnω0t為偶函數(shù)，兩者的積x(t)cosnω0t也為奇函數(shù)，而一個(gè)奇函數(shù)在上、下限對稱區(qū)間上的積分值等于零。,根據(jù)式（2.12），便可得圖2.11所示周期方波信號的傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：,圖2.12 周期方波信號的頻譜圖,奇、偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)計(jì)算特點(diǎn),x(t)為奇函數(shù) 由于x(-t)=-x(t)，因此，由式（2.16）進(jìn)而有,（2.18）,（2.1

18、9）,x(t)為偶函數(shù)由于x(-t)=x(t)，因而有進(jìn)而有,圖2.14 偶函數(shù)例，圖中函數(shù)為對稱于縱軸的三角波,（2.20）,（2.21）,傅里葉級數(shù)表達(dá)成指數(shù)函數(shù)的形式,由歐拉公式可知 ：代入式（2.12）有：令則或,（2.22）,（2.23）,（2.24）,（2.25）,求傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù) CnCn是離散頻率nω0的函數(shù)，稱為周期函數(shù)x(t)的離散頻譜。 Cn一般為復(fù)數(shù)，故可寫

19、為且有,（2.26）,（2.27）,（2.28）,（2.29）,離散頻譜的兩個(gè)重要性質(zhì),每個(gè)實(shí)周期函數(shù)的幅值譜是n（或nω0）的偶函數(shù) 。當(dāng)周期信號有時(shí)間移位τ時(shí)，其振幅譜不變，相位譜發(fā)生±nω0τ弧度的變化。,周期信號的頻譜的特點(diǎn),周期信號的頻譜是離散譜； 周期信號的譜線僅出現(xiàn)在基波及各次諧波頻率處； 周期信號的幅值譜中各頻率分量的幅值隨著頻率的升高而減小，頻率越高，幅值越小。,解：根據(jù)式（2.26）有,例2

20、求周期矩形脈沖的頻譜，設(shè)周期矩形脈沖的周期為T，脈沖寬度為τ，如圖2.16所示。,圖2.16 周期矩形脈沖,由于ω0=2π/T，代入上式得定義則式（2.36）變?yōu)楦鶕?jù)式（2.25）可得到周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式為,（2.36）,（2.37）,（2.38）,（2.39）,圖2.17 周期矩形脈沖的頻譜（T=4τ）,通常將0≤ω ≤2π/T這段頻率范圍稱周期矩形脈沖信號的帶寬，用符號ΔC表示：我

21、們來考慮當(dāng)周期矩形脈沖信號的周期和脈寬改變時(shí)它們的頻譜變化的情形。,(2.40),圖2.18 信號脈沖寬度與頻譜的關(guān)系,信號的脈沖寬度相同而周期不同時(shí)，其頻譜變化情形 ：,圖2.19 信號周期與頻譜的關(guān)系,五、周期信號的功率,一個(gè)周期信號x（t）的功率為 ：將式（2.15）代入式（2.41），有 根據(jù)正交函數(shù)的性質(zhì) ，式（2.41）展開后的結(jié)果為：上式等號右端的第一項(xiàng)表示信號x（t）的直流功率，而第二項(xiàng)則為信號

22、的各次諧波的功率之和。,（2.41）,（2.42）,（2.43）,又因?yàn)?，故式（2.43）又可寫為式(2.43)和式(2.44)稱巴塞伐爾（Parseval）定理。它表明：周期信號在時(shí)域中的信號功率等于信號在頻域中的功率。定義周期信號x（t）的功率譜為其中Pn表示信號第n個(gè)功率譜點(diǎn)。功率譜的性質(zhì) : Pn是非負(fù)的；Pn是n的偶函數(shù)；Pn不隨時(shí)移τ而改變。,（2.44）,（2.45）,六

23、、非周期信號的頻域描述,（一）傅里葉變換與連續(xù)頻譜 （二）能量譜 （三）傅里葉變換的性質(zhì) （四）功率信號的傅里葉變換,（一）傅里葉變換與連續(xù)頻譜,設(shè)x（t）為(-T/2,T/2)區(qū)間上的一個(gè)周期函數(shù)。它可表達(dá)為傅里葉級數(shù)的形式：式中 將式（2.50）代入式（2.49）得當(dāng)T→∞時(shí)，區(qū)間(-T/2,T/2)變成(-∞, ∞)，另外，頻率間隔Δω=ω0=2π/T變?yōu)闊o窮小量，離散頻率nω0變成連續(xù)頻率ω 。,(2

24、.49),(2.50),(2.51),由式（2.51）得到 將式（2.52）中括號中的積分記為： 它是變量ω的函數(shù)。則（2.52）式可寫為：將X(ω)稱為x（t）的傅里葉變換(Fourier transform,FT)，而將x(t)稱為X(ω)的逆傅里葉變換，記為：,(2.52),(2.53),(2.54),(2.55),非周期函數(shù)x（t）存在有傅里葉變換的充分條件是x（t）在區(qū)間(-∞, ∞)上絕對可積，即

25、但上述條件并非必要條件。因?yàn)楫?dāng)引入廣義函數(shù)概念之后，許多原本不滿足絕對可積條件的函數(shù)也能進(jìn)行傅里葉變換。 若將上述變換公式中的角頻率ω用頻率f來替代，則由于ω=2πf，式（2.53）和（2.54）分別變?yōu)?(2.56),(2.57),小結(jié)：從式（2.57）可知，一個(gè)非周期函數(shù)可分解成頻率f連續(xù)變化的諧波的疊加。式中X(f)df的是諧波ej2πf的系數(shù)，決定著信號的振幅和相位。 X(f)或X(ω)為x(t)的連續(xù)頻譜。由于X(

26、f)一般為實(shí)變量f的復(fù)函數(shù)，故可將其寫為 將上式中的 (或 ，當(dāng)變量為ω時(shí)）稱非周期信號x(t)的幅值譜， φ(f)（或φ(ω)）稱x(t)的相位譜。,(2.59),例4 求圖示單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜。解：由式（2.56）有 于是,圖2.21 單邊指數(shù)函數(shù) e-atξ(t) (a>0),圖2.22 單邊指數(shù)函數(shù)e-atξ(t) (a>0)的頻譜,例5 圖2.23所示為一矩

27、形脈沖（又稱窗函數(shù)或門函數(shù)），用符號gT(t)表示：求該函數(shù)的頻譜。解：,圖2.23 矩形脈沖函數(shù),(2.59),其幅頻譜和相頻譜分別為 ：可以看到，窗函數(shù)gT(t)的頻譜GT(ω)是一個(gè)正或負(fù)的實(shí)數(shù)，正、負(fù)符號的變化相當(dāng)于在相位上改變一個(gè)π弧度。,(2.60),(2.61),(2.62),圖2.24 矩形脈沖函數(shù)的頻譜GT(ω),矩形脈沖函數(shù)與sinc函數(shù)之間是一對傅里葉變換對，若用rect（t）表示矩形脈沖

28、函數(shù)則有：,（二）能量譜,一個(gè)非周期函數(shù)x（t）的能量定義為 將式（2.54）代入上式可得對于實(shí)信號x(t)，有 ,式(2.64)變?yōu)?(2.63),(2.64),由此最后得 式（2.64）亦稱巴塞伐爾方程或能量等式。它表示，一個(gè)非周期信號x(t)在時(shí)域中的能量可由它在頻域中連續(xù)頻譜的能量來表示。式（2.64）亦可寫成 其中， ,

29、稱S(ω)為x(t)的能量譜密度函數(shù)，簡稱能量譜函數(shù)。,(2.65),(2.66),圖2.27 矩形脈沖函數(shù)的能量譜曲線及能量表示,(三)傅里葉變換的性質(zhì),對稱性（亦稱對偶性） 線性尺度變換性 奇偶性時(shí)移性頻移性（亦稱調(diào)制性）卷積 時(shí)域微分和積分 頻域微分和積分,對稱性（亦稱對偶性） 若有則有 線性 如果有 則,,(2.67),,,,(2.68),尺度變換性(scaling)如果有則對于實(shí)常數(shù)a，

30、有 若信號x（t）在時(shí)間軸上被壓縮至原信號的1/a，則其頻譜函數(shù)在頻率軸上將展寬a倍，而其幅值相應(yīng)地減至原信號幅值的1/|a|。信號的持續(xù)時(shí)間與信號占有的頻帶寬成反比。,,,(2.69),圖2.29 窗函數(shù)的尺度變換（a=3）,奇偶性x(t)為時(shí)間t的實(shí)函數(shù) x(t)為偶函數(shù)（x(t)=x(-t)），X(ω)為ω的實(shí)、偶函數(shù)；x(t)為奇函數(shù)（x(t)=-x(-t)），X(ω)為ω的虛、奇函數(shù)；x(t)為時(shí)間t的實(shí)函

31、數(shù),,,(2.73),(2.74),5. 時(shí)移性(time shifting)如果有 則例8 求圖2.30所示矩形脈沖函數(shù)的頻譜 。解：該函數(shù)的表達(dá)式可寫為可視為一個(gè)中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的矩形脈沖時(shí)移至t0點(diǎn)位置所形成。則幅頻譜和相頻譜分別為,,,(2.75),圖2.30 具有時(shí)移t0的矩形脈沖,,,,圖2.31 具有時(shí)移的矩形脈沖函數(shù)的幅頻和相頻譜圖形,6. 頻移性(frequency shifti

32、ng)（亦稱調(diào)制性） 如果有則ω0——常數(shù)。,,,(2.76),圖2.32 x(t)cosω0t的頻譜,7. 卷積(convolution)時(shí)域卷積如果有則式中x(t)*h(t)表示x(t)與h(t)的卷積。頻域卷積 如果有則,,,,(2.79),,(2.81),證明：（時(shí)域卷積）根據(jù)卷積積分的定義有其傅里葉變換為由時(shí)移性知，代入上式得,,(2.80),,,圖2.34 卷積的

33、圖解,時(shí)域微分和積分 如果有則以及條件是X(0)=0。證明：(1)n階微分的傅里葉變換公式：,,,(2.87),,(2.88),,,,,(2.89),(2) 設(shè)函數(shù)g(t)為其傅里葉變換為G(ω)。由于利用(2.87)得或亦即,,,,,,9. 頻域微分和積分 如果有則進(jìn)而可擴(kuò)展為和式中若x(0)=0，則有,,,(2.91),,(

34、2.92),,(2.93),,,(2.94),（四）功率信號的傅里葉變換,只有滿足狄里赫利條件的信號才具有傅里葉變換，即 。有限平均功率信號，它們在(-∞, ∞)區(qū)域上的能量可能趨近于無窮，但它們的功率是有限的，即滿足利用δ函數(shù)和某些高階奇異函數(shù)的傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)這些函數(shù)的傅立葉變換。,,,(2.95),1.單位脈沖函數(shù),在Δ時(shí)間內(nèi)激發(fā)有一矩形脈沖p Δ (t)，的幅值為，面積為1。當(dāng)Δ→0

35、時(shí)，該矩形脈沖p Δ (t)的極限便稱為單位脈沖(impulse)函數(shù)或δ函數(shù)。性質(zhì)：（1）（2）,,,(2.96),(2.97),圖2.36 矩形脈沖函數(shù)與δ函數(shù),由δ函數(shù)的兩條性質(zhì)式(2.96)和(2.97) ，可得其中x(t)在t=t0時(shí)是連續(xù)的。 單位脈沖函數(shù)δ(t)的傅里葉變換 ：即,,,(2.99),,(2.100),,(2.101),圖2.37 δ(t)及其傅里葉變換,時(shí)移單位脈沖函數(shù)δ(t-t0)的

36、傅里葉變換對：,,常數(shù)1的傅里葉變換對：,,圖2.38 δ(t-t0)及其傅里葉變換,,,圖2.39 常數(shù)1及其傅立葉變換,(2.102),(2.103),(2.104),單位脈沖函數(shù)δ(t)與任一函數(shù)x(t)的卷積 證明：推廣可得,,,,(2.105),(2.106),圖2.41 x(t-t1)與δ(t-t0)的卷積,2.余弦函數(shù),歐拉公式：余弦函數(shù)的頻譜：正弦函數(shù)的頻譜：,,,,圖2.42 正、余弦函數(shù)及其頻譜,

37、(2.111),(2.110),(2.109),3.周期函數(shù),周期函數(shù)x(t) 的傅里葉級數(shù)形式：式中x(t)的傅立葉變換為：一個(gè)周期函數(shù)的傅里葉變換由無窮多個(gè)位于的各諧波頻率上的單位脈沖函數(shù)組成。,,,,(2.117),例12 單位脈沖序列求它的傅里葉變換。解：將x(t)表達(dá)為傅里葉級數(shù)的形式 于是有對式（2.119）兩邊作傅里葉變換得 根據(jù)式（2.117）可得 亦即,,,,,,,,(2.

38、118),(2.119),(2.120),一個(gè)周期脈沖序列的傅里葉變換仍為（在頻域中的）一個(gè)周期脈沖序列。單個(gè)脈沖的強(qiáng)度為ω0=2π/T，且各脈沖分別位于各諧波頻率nω0=n2π/T上，n=0, ±1, ±2, …。,圖2.47 周期脈沖序列函數(shù)及其頻譜,七、隨機(jī)信號描述,（一）概述（二）隨機(jī)過程的主要特征參數(shù) 均值、均方值和方差 概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù),（一）概述,隨機(jī)信號(random signal)特

39、點(diǎn)：具有不能被預(yù)測的瞬時(shí)值；不能用解析的時(shí)域模型來加以描述；能由它們的統(tǒng)計(jì)的和頻譜的特性來加以表征。描述隨機(jī)信號必須采用概率統(tǒng)計(jì)的方法。樣本(samle)函數(shù) ：隨機(jī)信號按時(shí)間歷程所作的各次長時(shí)間的觀察 ，記作xi(t)。 樣本記錄 ：在有限時(shí)間區(qū)間上的樣本函數(shù)。隨機(jī)過程 ：同一試驗(yàn)條件下的全部樣本函數(shù)的集（總體）(ensemble)，記為{x(t)}。,,(2.121),對隨機(jī)過程常用的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)：均值、均方值、

40、方差、概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)和功率譜密度函數(shù)等。均值(mean value)：均方值(mean square value)：這些特征參數(shù)均是按照集平均(set average)來計(jì)算的，即在集中的某個(gè)時(shí)刻對所有的樣本函數(shù)的觀測值取平均。分類：平穩(wěn)隨機(jī)過程 ；非平穩(wěn)過程。,平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationary random process) ：過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的平移而變化、或者說不隨時(shí)間原點(diǎn)的選取而變化的過程。嚴(yán)格地

41、說便是：如果對于時(shí)間t的任意n個(gè)數(shù)值t1,t2, …,tn和任意實(shí)數(shù)ε，隨機(jī)過程{x(t)}的n維分布函數(shù)滿足關(guān)系式對于一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，若它的任一單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)特征等于該過程的集平均統(tǒng)計(jì)特征，則該過程稱為各態(tài)歷經(jīng)(ergodic)過程。工程中遇到的許多過程都可認(rèn)為是平穩(wěn)的；其中的許多都具有各態(tài)歷經(jīng)性。,,(2.124),（二）隨機(jī)過程的主要特征參數(shù),均值、均方值和方差 對于一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)過程x(t)，其均值μx定義

42、為E[x]——變量x的數(shù)學(xué)期望值； x(t) ——樣本函數(shù) ；T——觀測的時(shí)間。均值μx表示信號的常值分量。 隨機(jī)信號的均方值ψx2定義為 E[x2]——變量x2的數(shù)學(xué)期望值。均方值描述信號的能量或強(qiáng)度 。Ψx2的平方根稱均方根值xrms 。,,(2.125),,隨機(jī)信號的方差(variance)σx2定義為方差σx2表示隨機(jī)信號的波動(dòng)分量，方差的平方根σx稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差(standard deviation

43、)。 μx、σx2、ψx2之間的關(guān)系為隨機(jī)過程的均值、方差和均方值的估計(jì)(estimate)公式為：,,(2.127),,(2.128),,,,(2.129),(2.130),(2.131),概率密度函數(shù)(probability density function)概率密度函數(shù)是指一個(gè)隨機(jī)信號的瞬時(shí)值落在指定區(qū)間（x,x+Δx）內(nèi)的概率對Δx比值的極限值。概率密度函數(shù)p(x)則定義為：,,,2.概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù),(

44、2.134),(2.135),概率分布函數(shù)(probability distribution function)概率分布函數(shù)P(x)表示隨機(jī)信號的瞬時(shí)值低于某一給定值x的概率，即 式中Tx’為x(t)值小于或等于x的總時(shí)間。概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)間的關(guān)系,,,,(2.137),(2.138),(2.139),利用概率密度函數(shù)還可來識別不同的隨機(jī)過程。,圖2.51 典型隨機(jī)信號的概率密度函數(shù)圖（a）正弦信號（初始相角為隨機(jī)