靜定平面桁架

1、一、結(jié)點(diǎn)法,,結(jié)點(diǎn)法：隔離體只包含一個結(jié)點(diǎn)截面法：隔離體包含兩個或兩個以上結(jié)點(diǎn),,,,幾種特殊情況,,圖示為一施工托架，試計算各桿軸力。,,,,,例 用結(jié)點(diǎn)法計算圖示桁架各桿軸力。,指出圖示桁架中軸力為零的桿。,二、截面法,截面法：用截面切斷擬求桿件，截取出一部分作為隔離體，利用平面力系的三個平衡方程來計算桿的未知軸力。,例 用截面法計算圖示桁架中桿a、b、c的軸力。,,,,桁架是由桿件相互連接組成的格構(gòu)狀體系，它的結(jié)點(diǎn)均為完全鉸

2、結(jié)的結(jié)點(diǎn)，它受力合理用料省，在建筑工程中得到廣泛的應(yīng)用。,1、桁架的計算簡圖,武漢長江大橋所采用的桁架型式,屋架,計算簡圖,平面桁架的計算簡圖,,經(jīng)抽象簡化后，桿軸交于一點(diǎn)，且“只受結(jié)點(diǎn)荷載作用的直桿、鉸結(jié)體系”的工程結(jié)構(gòu)—桁架,桁架各部分名稱：,,桁架計算簡圖假定：,(1) 各桿在兩端用絕對光滑而無摩擦的鉸（理想鉸）相互聯(lián)結(jié)。,(2) 各桿的軸線都是直線,而且處在同一平面內(nèi)，并且通過鉸的幾何中心。,(3) 荷載和支座反力都作用在結(jié)點(diǎn)

3、上,其作用線都在桁架平面內(nèi)。,思考: 實(shí)際桁架是否完全符合上述假定?,主內(nèi)力: 按理想桁架算出的內(nèi)力，各桿只有軸力。,實(shí)際桁架不完全符合上述假定, 但次內(nèi)力的影響是次要的。,次內(nèi)力：實(shí)際桁架與理想桁架之間的差異引起的桿件彎曲，由此引起的內(nèi)力。,,2、桁架的分類,一、根據(jù)維數(shù)分類 1）. 平面（二維）桁架 ——所有組成桁架的桿件以及荷載的作用線都在同一平面內(nèi),,,,2）. 空間（三維）桁架——組成桁架的桿件不都

4、在同一平面內(nèi),,,,二、按外型分類,1. 平行弦桁架,2. 三角形桁架,3. 拋物線桁架,,,二元體是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的一個模型。它是不在一直線上的兩鏈桿連接一個新結(jié)點(diǎn)的裝置。,三、按幾何組成分類,2. 聯(lián)合桁架,3. 復(fù)雜桁架,,,,,,,四、按受力特點(diǎn)分類,2. 拱式桁架,1. 梁式桁架,,,二、桁架的內(nèi)力計算,1. 結(jié)點(diǎn)法和截面法,結(jié)點(diǎn)法—最適用于計算簡單桁架。,取結(jié)點(diǎn)為隔離體，建立（匯交力系）平衡方程求解。原則上應(yīng)使每一結(jié)點(diǎn)只有兩根

5、未知內(nèi)力的桿件。,通常假定未知的軸力為拉力，計算結(jié)果得負(fù)值表示軸力為壓力。,例 試用結(jié)點(diǎn)法求三角形桁架各桿軸力。,解: (1) 求支座反力。,(↑),(↑),(2) 依次截取結(jié)點(diǎn)A，G，E，C，畫出受力圖，由平衡條件求其未知軸力。,,,,,,,可以看出，桁架在對稱軸右邊各桿的內(nèi)力與左邊是對稱相等的。,結(jié)論：對稱結(jié)構(gòu)，荷載也對稱，則內(nèi)力也是對稱的。,,以結(jié)點(diǎn)作為平衡對象，結(jié)點(diǎn)承受匯交力系作用。按與“組裝順序相反”的原則，逐次建立各結(jié)點(diǎn)的

6、平衡方程，桁架各結(jié)點(diǎn)未知內(nèi)力數(shù)目一定不超過獨(dú)立平衡方程數(shù)。由結(jié)點(diǎn)平衡方程可求得桁架各桿內(nèi)力。,小結(jié):,,1. 對于一些特殊的結(jié)點(diǎn)，可以應(yīng)用平衡條件直接判斷該結(jié)點(diǎn)的某些桿件的內(nèi)力為零。 零桿,(1) 兩桿交于一點(diǎn)，若結(jié)點(diǎn)無荷載，則兩桿的內(nèi)力都為零。,,結(jié)點(diǎn)法計算簡化的途徑：,,(2) 三桿交于一點(diǎn)，其中兩桿共線，若結(jié)點(diǎn)無荷載，則第三桿是零桿，而在直線上的兩桿內(nèi)力大小相等，且性質(zhì)相同（同為拉力或壓力）。,,,(3) 四桿交于一點(diǎn)

7、，其中兩兩共線，若結(jié)點(diǎn)無荷載，則在同一直線上的兩桿內(nèi)力大小相等，且性質(zhì)相同。,推論，若將其中一桿換成外力F，則與F 在同一直線上的桿的內(nèi)力大小為F ，性質(zhì)與F 相同。,,,,,幾種特殊情況,,,,值得注意：若事先把零桿剔出后再進(jìn)行計算，可使計算大為簡化。,,,,,,,,,,,,,,,,零桿: 軸力為零的桿,練習(xí): 試指出零桿,受力分析時可以去掉零桿,是否說該桿在結(jié)構(gòu)中是可有可無的?,,,練習(xí): 試指出零桿,練習(xí): 試指出零桿,

8、,,,結(jié)點(diǎn)法計算簡化的途徑：,2.對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載作用, 內(nèi)力和反力均為對稱:受反對稱荷載作用, 內(nèi)力和反力均為反對稱。,E 點(diǎn)無荷載,紅色桿不受力,,垂直對稱軸的桿不受力,對稱軸處的桿不受力,,,,應(yīng)用范圍 1、求指定桿件的內(nèi)力； 2、計算聯(lián)合桁架。,截面法定義: 作一截面將桁架分成兩部分，然后任取一部分為隔離體(隔離體包含一個以上的結(jié)點(diǎn))，根據(jù)平衡條件來計算所截桿件的內(nèi)力。,聯(lián)合桁架(聯(lián)

9、合桿件),指定桿件(如斜桿),,截面法計算步驟,2. 作截面(用平截面，也可用曲截面)截斷桁架，取隔離體；,3. (1)選取矩心，列力矩平衡方程(力矩法)(2)列投影方程(投影法)；,4. 解方程。,1. 求反力(同靜定梁)；,注意事項,1、盡量使所截斷的桿件不超過三根(隔離體上未知力不超過三個)， 可一次性求出全部內(nèi)力；,2、選擇適宜的平衡方程，最好使每個方程中只包含一個未知力，避免求解聯(lián)立方程。,3、若所

10、作截面截斷了三根以上的桿件，但只要在被截各桿中，除一桿外，其余均匯交于一點(diǎn)(力矩法)或均平行(投影法)，則該桿內(nèi)力仍可首先求得。,分類 力矩法和投影法,,,示例1：試求圖示桁架中桿EF、ED，CD，DG的內(nèi)力。,截面如何選擇？,,,解: (1) 求出支座反力FA和FB。,(2) 求下弦桿CD內(nèi)力，利用I-I截面 ，力矩法,FAd-F1d-F2×0-FNCDh=0,FNCD=(FAd-F1d-F2×0)/h,

11、當(dāng)荷載向下時，F(xiàn)NCD為拉力，即簡支桁架下弦桿受拉。,取EF和ED桿的交點(diǎn)E為矩心， CD桿內(nèi)力臂為豎桿高h(yuǎn)，由力矩平衡方程∑ME=0，可求CD桿內(nèi)力。,,(3) 求上弦桿EF內(nèi)力,FA×2d-F1×2d-F2d+FxEFH=0,FxEF=-(FA×2d-F1×2d-F2d)/H,當(dāng)荷載向下時，F(xiàn)NEF為壓力，即簡支桁架上弦桿受壓。,取ED和CD桿的交點(diǎn)D為矩心，由力矩平衡方程∑MD=0，先求

12、EF桿的水平分力FxEF，此時力臂即為桁高H。,,FA×2d-F1×2d-F2d+FxEFH=0,FxEF=-(FA×2d-F1×2d-F2d)/H,,(4) 斜桿ED,-FAa+F1a+F2(a+d)+FyED (a+2d) =0,FyED=(FAa-F1a-F2(a+d))/ (a+2d),再由比例關(guān)系求FNED，其拉或壓需視上式右端分子為正或為負(fù)而定。,取EF和CD桿的延長線交點(diǎn)O為矩心，

13、并將FNED在D點(diǎn)分解為水平和豎向分力FxED和 FyED，由力矩平衡方程∑MO=0，先求ED桿的豎向分力FyED，此時力臂即為a+2d。,(5) DG桿如何求？,利用II-II截面 ，投影法,,示例2：試求圖示桁架a 桿的內(nèi)力。,解 (1) 求支座反力。,(2)直接求出a 桿的位置困難。首先作截面Ⅰ-Ⅰ，求出FNEC ，然后取結(jié)點(diǎn)E 就可求出a 桿的軸力。,作截面Ⅰ-Ⅰ，取截面左側(cè)部份為隔離體，由,故,,,,(3) 取結(jié)點(diǎn)E 為隔

14、離體，由,思考：是否還有不同的途徑可以求出FNα？,,截面單桿: 用截面切開后，通過一個方程可求出內(nèi)力的桿.,截面上被切斷的未知軸力的桿件只有三個,三桿均為單桿.,截面上被切斷的未知軸力的桿件除一個外交于一點(diǎn),該桿為單桿.,截面上被切斷的未知軸力的桿件除一個均平行, 該桿為單桿.,截面法技巧：,,,,,,,,a為截面單桿,,,,,,b為截面單桿,,,,練習(xí):求圖示桁架指定桿件內(nèi)力(只需指出所選截面即可),,,,,,,,,

15、,,,,,,,,,,,,,,在桁架的計算中，結(jié)點(diǎn)法和截面法一般結(jié)合起來使用。尤其當(dāng)（１）只求某幾個桿力時； （２）聯(lián)合桁架或復(fù)雜桁架的計算。,例5-1 試求圖示 K 式桁架中a 桿和b桿的內(nèi)力。,如何合理選擇截面？,桿件數(shù)大于3,,,,截取結(jié)點(diǎn)K為隔離體，由K形結(jié)點(diǎn)的特性可知(結(jié)點(diǎn)法),FNa=-FNc 或 Fya=-Fyc,由截面I-I(截面法)根據(jù)∑Fy=0有 3F-F/2-F-F+Fya-Fyc=0,

16、即 F/2+2Fya=0 得Fya=-F/4,由比例關(guān)系得 FNa=-F/4×5/3=-F/12,截面法不能直接求解,,,,由截面I-I(截面法)根據(jù)∑MC=0即可求得FNb，,FNb=-(3F×8-F/2×8-F×4)/6=-8F/3,也可作截面II-II(曲截面)并取左半邊為隔離體，(更簡捷),由∑MD=0,FNb×6+3F×8-F/2×8-F×

17、;4=0,,,,例5-2 試求圖示桁架HC 桿的內(nèi)力。,支座反力如圖。,取截面I-I以左為隔離體，由∑MF=0可得FNDE=90×5/4=112.5kN(拉)(截面法-力矩法),由結(jié)點(diǎn)E的平衡得 FNEC=FNED=112.5kN (拉),,,,再取截面II-II以右為隔離體，由∑MG=0并將FNHC在C點(diǎn)分解為水平和豎向分力，可得FxHC=(30×15-112.5×6)/6=-37.5kN(拉),F

18、yHC過鉸G，不產(chǎn)生力矩，先求FxHC(截面法-力矩法),由幾何關(guān)系 FNHC=-40.4kN,,,,對稱結(jié)構(gòu):幾何形狀和支座對某軸對稱的結(jié)構(gòu).,,,對稱荷載:作用在對稱結(jié)構(gòu)對稱軸兩側(cè),大小相等,方向和作 用點(diǎn)對稱的荷載,反對稱荷載:作用在對稱結(jié)構(gòu)對稱軸兩側(cè),大小相等,作用點(diǎn) 對稱,方向反對稱的荷載,對稱性的利用,對稱結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn):在對稱荷載作用下內(nèi)力是對稱的,

19、 在反對稱荷載作用下內(nèi)力是反對稱的.,,對稱性的利用,,,例:試求圖示桁架A支座反力.,,,,C,,0,,對稱性的利用,,,例:試求圖示桁架各桿內(nèi)力.,,對稱性的利用,(a),例 3 : 試對圖(a)所示桁架，1)分析并確定求解整個桁架內(nèi)力的路徑；2)尋找只計算桿a軸力時的簡捷方法，并求出桿a軸力,,(b),解：先求出支座反力，見圖(b),(c),由圖(c)所示截面左側(cè)隔離體求出截面截斷的三根桿的軸力后，即可依次按結(jié)點(diǎn)法求出所有桿

20、的軸力。,利用截面I—I截開兩簡單桁架的連接處，取截面任一側(cè)為隔離體，見圖(c),,見圖(d) ，由結(jié)點(diǎn)H的結(jié)點(diǎn)單桿EH上的軸力，再由結(jié)點(diǎn)E（當(dāng)桿EH軸力已知時，桿a既是結(jié)點(diǎn)E上的結(jié)點(diǎn)單桿）可求出桿a的軸力。,方法1：,,(d),取截面II—II下為隔離體，見圖(e),(e),方法2：,,該隔離體上有5根被截斷的桿件，但有4根是交于一點(diǎn)A的，因此利用以鉸A為矩心的力矩方程，可直接求出桿a的軸力。,將桿a軸力在B點(diǎn)分解，由,,(a),例4

21、,,解：由上部結(jié)構(gòu)的整體平衡條件，求的支座反力如圖(b)所示。,(b),取截面I—I右，可求該截面上的單桿AK的軸力（當(dāng)不利用結(jié)構(gòu)的對稱性時，這一步是解題的關(guān)鍵）。計算如下：,,,,一、桁架的外形對內(nèi)力的影響,桁架的外形對桁架內(nèi)力的分布有比較大的影響，在設(shè)計時應(yīng)根據(jù)這些影響來選擇合適的桁架外型。,平行弦桁架,三角形桁架,梯形桁架,拋物線形桁架,,,,1. 桁架的外形對弦桿內(nèi)力的影響,等代梁,平行弦桁架，由截面Ⅰ-Ⅰ截斷桁架，取左側(cè)部份為

22、隔離體, 對結(jié)點(diǎn)7 取力矩求得,,,FN68的分子相當(dāng)于此桁架的等代梁上與結(jié)點(diǎn)7對應(yīng)處截面的彎矩M70，分母h則為FN68對矩心的力臂。上式可寫為:,M 0為等代梁上對應(yīng)截面的彎矩。下弦桿受拉，取正號；上弦受壓，取負(fù)號。,同理，其他弦桿的力可以表示成類似的公式,,,等代梁,平行弦桁架,h 為常數(shù)，弦桿的內(nèi)力與M 0成比例變化。弦桿內(nèi)力分的規(guī)律是：中間弦桿的內(nèi)力較大而靠近支座處的弦桿內(nèi)力較小。,結(jié)論：,,,三角形桁架，力臂h 值由兩端向中

23、間按直線規(guī)律遞增，而各結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的M 0值按拋物線規(guī)律變化。力臂的增長比彎矩的增大來得快。弦桿內(nèi)力變化的是：靠近支座處弦桿的內(nèi)力較大而逐漸向跨中遞減。,梯形桁架，其形狀介于平行弦桁架和三角形桁架之間，其內(nèi)力相對比較均勻。,拋物線桁架，當(dāng)計算下弦桿的內(nèi)力時，M 0和h 均按拋物線變化。下弦桿的內(nèi)力為一常數(shù)。上弦桿內(nèi)力的水平分力也相等。整個桁架的上下弦桿的內(nèi)力分布比較均勻。,,,2.桁架的外形對腹桿（豎桿或斜桿）內(nèi)力的影響,豎桿6-5(或斜桿

24、6-7)的內(nèi)力可由截面Ⅱ-Ⅱ(或Ⅰ-Ⅰ)以左部份平衡條件∑Y=0 求得。,豎桿的內(nèi)力和斜桿內(nèi)力的豎向分力,分別等于代梁對應(yīng)結(jié)間處的剪力FS0 ，即,,,由 可見：,腹桿的內(nèi)力可正可負(fù)，其數(shù)值與代梁的剪力有關(guān)。,靠近支座外腹桿的內(nèi)力較大，跨中的腹桿內(nèi)力較小。,桁架的弦桿主要是承擔(dān)彎矩而腹桿則主要承擔(dān)剪力。,問：拋物線形桁架其腹桿的內(nèi)力為零嗎？,對于拋物線形桁架由于各結(jié)間的下弦桿內(nèi)力均相等，故可判斷

25、其腹桿的內(nèi)力均為零。,上述幾種類型的桁架中，拋物線形桁架的內(nèi)力最為均勻，但構(gòu)造復(fù)雜。在大跨度的結(jié)構(gòu)中采用拋物線型桁架是一種比較合理的選擇。,,,,二、桁架的應(yīng)用,（1）平行弦桁架有利于標(biāo)準(zhǔn)化，便于制作和施工拼裝；適用于輕型桁架，采用一致截面的弦桿而不至于有很大的浪費(fèi)。,（2）三角形桁架符合屋頂構(gòu)造需要，常在屋架中采用，其端結(jié)點(diǎn)構(gòu)造布置較為困難。,（3）拋物線形桁架內(nèi)力分布均勻，材料使用較為經(jīng)濟(jì)，但結(jié)點(diǎn)構(gòu)造復(fù)雜，適合于跨度較大的橋梁和屋架

26、。,,,,如何 計算？,,,,比較內(nèi)力,,,組合結(jié)構(gòu)定義：,鏈桿只受軸力，受彎桿件同時受有彎矩和剪力。,受力特點(diǎn)：,組合結(jié)構(gòu)是指由鏈桿和受彎桿件混合組成的結(jié)構(gòu)。,§5.6 組合結(jié)構(gòu)的計算,,,分析步驟：,先求反力，然后計算各鏈桿軸力，最后分析受彎桿件。,選擇恰當(dāng)方法解決關(guān)鍵桿內(nèi)力計算選擇截面時，必須注意區(qū)分兩類桿,求解的關(guān)鍵點(diǎn):,求解此類結(jié)構(gòu)的方法應(yīng)與求解梁的方法和求解桁架的方法結(jié)合應(yīng)用。,§5.6 組合結(jié)構(gòu)

27、的計算,,,例5-3 試分析圖示組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。,1）首先求出反力,2）一般情況下應(yīng)先計算鏈桿的軸力,取隔離體時宜盡量避免截斷受彎桿件,-6,12,-6,,,,,,,,M圖(kN.m),FN圖(kN),§5.6 組合結(jié)構(gòu)的計算,,,作截面I-I拆開鉸C并截斷拉桿DE，取右邊為隔離體，由∑MC=0 有,3kN×8m-FNDE×2=0 得FNDE=12kN(拉力),分別取結(jié)點(diǎn)D、E => FNFD

28、、 FNAD 、FNEG 、 FNEB,3）分析受彎桿件,取AC桿為隔離體，考慮其平衡可得,FCH=12kN(←)， FCV=3kN(↑),繪制內(nèi)力圖,§5.6 組合結(jié)構(gòu)的計算,,例5-4 組合結(jié)構(gòu)如圖示，試求AC 桿的內(nèi)力圖。,解: AC桿、CB桿是承受彎曲的桿件。,(1) 求支座反力,, ,,§5.6 組合結(jié)構(gòu)的計算,,(2) 作截面Ⅰ-Ⅰ，考慮左

29、半部分平衡。,由 ， ， 得,由,得,由 ， ，得,§5.6 組合結(jié)構(gòu)的計算,,由 ， ，得,(3) 取鉸E為隔離體,由 ，

30、 ， 得,§5.6 組合結(jié)構(gòu)的計算,,,(4) 作AC 桿的內(nèi)力圖。,考慮截面Ⅰ-Ⅰ右側(cè)部分平衡，可以作用類似方法和步驟求得CB 桿的內(nèi)力圖。,§5.6 組合結(jié)構(gòu)的計算,,思考：取隔離體時,可否用截面Ⅱ-Ⅱ?qū)⒔Y(jié)構(gòu)截斷？,注意：準(zhǔn)確判斷哪些桿件是梁式桿，哪些桿件是鏈桿，是計算的關(guān)鍵。,§5.6 組合結(jié)構(gòu)的計算,,,例,可不求出反力，直接作出受彎桿M圖，再由此M圖及對稱性、結(jié)點(diǎn)法求出所有二力桿