自動控制演示文稿4第四章線性系統(tǒng)的時域分析

1、,自動控制原理,主講：吳仲陽,第四章 線性系統(tǒng)的時域分析,1 繪制根軌跡的兩個條件,2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,3 參數(shù)根軌跡,退出,,,退出,,,根軌跡法概述研究自動控制系統(tǒng)的主要問題之一，是確定閉環(huán)系統(tǒng)的零點、極點的分布與開環(huán)傳遞函數(shù)零點、極點的關(guān)系，其次是研究分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)特征根的影響。根軌跡是一種圖解法，它是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點分布情況，用作圖法簡便的求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與系統(tǒng)參數(shù)值（如開環(huán)增益）間的關(guān)系。

2、,,,,退出,,,,,,,,,,退出,,,根軌跡法概述研究自動控制系統(tǒng)的主要問題之一，是確定閉環(huán)系統(tǒng)的零點、極點的分布與開環(huán)傳遞函數(shù)零點、極點的關(guān)系，其次是研究分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)特征根的影響。根軌跡是一種圖解法，它是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點分布情況，用作圖法簡便的求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與系統(tǒng)參數(shù)值（如開環(huán)增益）間的關(guān)系。,,,,退出,,,繪制根軌跡的兩個條件當(dāng)系統(tǒng)的特征方程式為：其中：“+”號對應(yīng)負(fù)反饋，“-”號對應(yīng)

3、正反饋。將式①改寫成 式②和式③便是用來繪制反饋系統(tǒng)的根軌跡方程。其中式②為繪制負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡方程，式③為繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡方程。,,,,,,…… ①,…… ②,…… ③,退出,,,另外，應(yīng)用根軌跡方程式②和

4、式③繪制根軌跡之前，需將開環(huán)傳遞函數(shù) G(s) 化成通過極點與零點表達(dá)的標(biāo)準(zhǔn)形式，即,,,式中：k——繪制根軌跡的可變參數(shù)，稱為參變量； pj——(j=1,2,…,n) 為系統(tǒng)的開環(huán)極點； zi——(i=1,2,…,m) 為系統(tǒng)的開環(huán)零點；,退出,,,繪制根軌跡的兩個條件（續(xù)）由式②得：

5、 式⑤和式⑥是負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡上每個點都應(yīng)同時滿足的兩個公式。由式③得：,,,…… ⑤,…… ⑥,…… ⑦,…… ⑧,退出,,,繪制根軌跡的兩個條件（續(xù)）式⑦和式⑧是正反饋系統(tǒng)根軌跡上每個點都應(yīng)同時滿足的兩個關(guān)系式。式⑤ 、式⑦稱為幅值條件，式⑥ 、式⑧稱為相角條件。,,,退出,,,繪制根軌跡的兩個條件（續(xù)）幅值條件和相角條件是用圖解法求系統(tǒng)特征根的基本關(guān)系式，它表明當(dāng) s 平面的點在同時滿足這兩個條件時，就

6、是所研究系統(tǒng)在給定參數(shù)值（例如開環(huán)增益）下對應(yīng)的特征根，所以，在 s 平面上系統(tǒng)的參數(shù)k從零到無窮大變化時，凡是滿足相角條件的點所構(gòu)成的圖形就是根軌跡圖。然后，根據(jù)幅值條件定出這些點所對應(yīng)的參數(shù)值。參數(shù)k可以是系統(tǒng)的開環(huán)增益，也可以是系統(tǒng)的其它參量。,,,退出,,,繪制根軌跡的基本規(guī)則反饋系統(tǒng)的根軌跡是根據(jù)根軌跡方程的相角條件繪制的，但相角條件因為正反饋和負(fù)反饋而有兩個，于是對應(yīng)的根軌跡也有兩種形式。按相角條件式⑥

7、繪制的根軌跡稱為180°根軌跡，而按照相角條件式⑧繪制的根軌跡稱為0°根軌跡。,,,,退出,,,繪制180°根軌跡的基本規(guī)則（1）根軌跡的分支數(shù)根軌跡在s平面上的分支數(shù)等于控制系統(tǒng)特征方程的階數(shù)n，換句話說，根軌跡的分支數(shù)與閉環(huán)極點的數(shù)目相同。,,,,,,,,退出,,,（2）根軌跡的起點與終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。如果開環(huán)極點數(shù)目n 大于開環(huán)零點數(shù)目m 時，則有 n-m 條

8、根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。,,,,,,,,,退出,,,（3）根軌跡的連續(xù)性與對稱性根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線。,,,,退出,,,（4）實軸上的根軌跡實軸上根軌跡是那些在其右側(cè)的開環(huán)實極點數(shù)與開環(huán)實零點數(shù)的總數(shù)為奇數(shù)的線段。簡記為“奇是偶不是”。,,,,,退出,,,（5）根軌跡的漸近線如果控制系統(tǒng)的開環(huán)零點書m 少于開環(huán)極點數(shù)n 時，漸近線有n-m 條，這些漸近線在實軸上交于一點。漸近線與實軸交點坐標(biāo)為

9、漸近線與實軸正方向的夾角為,,,,退出,,,,,,,,退出,,,,,,,,,做長除法并取高次項，得,,,,,退出,,,,,,,,,,,,,,,,退出,,,（6）根軌跡與實軸的交點（分離點與會合點）根軌跡與實軸的交點（分離點與會合點）是當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,,,,退出,,,根軌跡與實軸的交點是下述方程的根

10、 （11） 或分離點d為下述方程的解 （12）說明：①若在實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點或兩個相鄰的開環(huán)零點之間的區(qū)域為根軌跡區(qū)間，則在這區(qū)間內(nèi)至少有一個分離點。②分離點方程的解并不都是分離點的坐標(biāo)，若為實分離點，則應(yīng)位于實軸上的根軌跡區(qū)間內(nèi)，若為復(fù)分離點，則應(yīng)滿足2k

11、π的相角條件。,,,,退出,,,,,,退出,,,,,,退出,,,,,,退出,,,,,,,退出,,,（7）根軌跡復(fù)數(shù)極點（或零點）的出射角（或入射角）根軌跡離開復(fù)數(shù)極點處的切線方向與實軸正方向的夾角稱為出射角，而其進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角稱為入射角。,,,,退出,,,,,,退出,,,出射角為 （簡記“加零去余極”）入射角為 （簡記為“加極去余零”）式中：

12、 ——所考慮的極點的出射； ——所考慮的零點的入射角。,,,,退出,,,（8）根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸交點說明該系統(tǒng)有部分根是純虛根 ，因此，將 代入 特征方程式就可得出實部和虛部方程組：

13、 （15） 從方程組中解出 就是根軌跡與虛軸交點坐標(biāo)，同時還可以求出與此交點相應(yīng)參數(shù) k 的臨界值kc 。說明：如果根軌跡與虛軸有交點，則勞斯計算表中必出現(xiàn)全為零行，由輔助方程確定交點，進(jìn)而求得kc 。,,,,,,,,退出,,,（9）閉環(huán)極點的和與積設(shè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程式為 假設(shè)它的根為 則 根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)間的

14、關(guān)系，可得,,,,,,,,退出,,,（10）開環(huán)增益K 的求取對應(yīng)根軌跡上每一點系統(tǒng)參數(shù)，可按下式計算： 開環(huán)傳遞函數(shù)在繪制根軌跡中的標(biāo)準(zhǔn)式為,,,,,,,退出,,,開環(huán)增益的定義為 ,得開環(huán)效益可按式（18）到式（21）按需求求取,,,,,,,退出,,,例題：1.(教材例4-4)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

15、 試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。,,,退出,,,,,退出,,,解：1.按規(guī)則1，由于上述系統(tǒng)的特征方程的最高階次為四，因此其根軌跡有四個分支。2.按規(guī)則2，根軌跡的四個分支起始于四個開環(huán)極點，即當(dāng)k→∞時，它們均伸向無窮遠(yuǎn)。因為,開環(huán)零點數(shù)m＝0，n－m＝4。3.按規(guī)則3，根軌跡的四個分支連續(xù)且對稱于實軸。,,,退出,,,4.作出開環(huán)零，極點分布圖如圖所示。按規(guī)則

16、4，對該系統(tǒng)來說，實軸上屬于根軌跡的線段，只能是0 ～ －2.73。5.按規(guī)則5，可由式①，即 來求根軌跡與實軸的交點，本題只有分離點，用湊試法求得分離點-2.05。,,,退出,,,退出,,,6.按規(guī)則6，該系統(tǒng)當(dāng)k→∞時，由于n－m＝4，則漸近線共有四條。這些漸近線與實軸正方向的夾角由公式求得為 這些漸近線與實軸的交點坐標(biāo)，可由公式：

17、 求得，代入已知數(shù)據(jù)，求得 ，漸近線與實軸的交點坐標(biāo)為(－1.18，j 0)。,,,,,,,,,,,,,,,,退出,,,7.按規(guī)則7，根軌跡離開開環(huán)復(fù)極點的出射角按式(4－21)求，代入已知數(shù)據(jù)，得由根軌跡的對稱性可直接得出 。8.按規(guī)則8，將s＝j(luò)ω代進(jìn)系統(tǒng)的特征方程得從而得實部方程，虛部方程分別為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,退出,,,,,,,,,,9.按規(guī)則9

18、，由式(4－24)，得由式(4－25)，得10.按規(guī)則10，由于給定系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，故應(yīng)用式(4－18)，得代入數(shù)據(jù)得至此，即可繪出大致根軌跡。,,,,,,,,,退出,,,繪制0°根軌跡的基本規(guī)則繪制0°根軌跡需按相角條件式（8）繪制，因此，它與繪制180°根軌跡不同之處表現(xiàn)在和相角條件有關(guān)的一些基本規(guī)則上。具體來說，在繪制180°根軌跡的基本規(guī)則（4）、（5）、（7

19、）、（8）上二者將有所不同，需作如下修正：繪制0度根軌跡的基本規(guī)則為：（4）實軸上的根軌實軸上的根軌跡是那些在其右側(cè)的開環(huán)實極點與開環(huán)實零點的總數(shù)為偶數(shù)的線段，注意零屬于偶數(shù)。（簡稱為偶是奇不是）,,,,,退出,,,（5）根軌跡的漸近線如果控制系統(tǒng)得開環(huán)零點數(shù)m少于開環(huán)極點數(shù)n時，漸近線共有n-m條，這些漸近線在實軸上交于一點。漸近線與實軸的交點坐標(biāo)為漸近線與實軸正方向的夾角為,,,,,退出,,,（7）根軌跡的入射

20、角與出射角始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點的0°根軌跡的出射角 和止于開環(huán)復(fù)數(shù)零點的0°根軌跡的入射角 分別按下式計算，即,,,,,退出,,,（8）根軌跡與虛軸的交點繪制180°根軌跡的10條規(guī)則，除上述四條作相應(yīng)的修改外，其余六條對繪制0°根軌跡完全適用。,,退出,,,例題2.(教材例4-5) 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試

21、繪制系統(tǒng)根軌跡。,,,,,解：1.按規(guī)則1，由于該系統(tǒng)的特征方程為代入已知數(shù)據(jù)，整理得特征方程的最高階次是4，因此根軌跡有四條分支。2.按規(guī)則2，由于根軌跡的四個分支起始于四個開環(huán)極點，即 當(dāng)k→∞時，它們均伸向無窮遠(yuǎn)，這是因為n－m＝4的緣故。,退出,,,,,,,3.按規(guī)則3，根軌跡四個分支連續(xù)且對稱于實軸。4.作出開環(huán)零，極點分布圖如圖所示。按規(guī)則4，對該系統(tǒng)來說，實軸

22、上屬于根軌跡的線段只能是，[＋1，∞]、[－1，－4]、[－4，－∞]三個線段，注意，零被認(rèn)為是偶數(shù)。,退出,,,,,,,退出,,,退出,,,5.按規(guī)則5，根軌跡分離點的坐標(biāo)可按下式計算，即代入數(shù)據(jù)整理得應(yīng)用湊試法最后得分離點坐標(biāo)為(－2.225，j0)。,,,,,,,,,,,,,退出,,,6.按規(guī)則6，該系統(tǒng)當(dāng)k→∞時，根軌跡的漸近線共有4條。這是因為n－m＝4。上述四條漸近線與實軸的交點坐標(biāo)為它們與實軸正方

23、向的夾角為,,,,,,,,,,,,,退出,,,,,,,7.沒有復(fù)極點、零點，故不用求入射角與出射角。8.按規(guī)則8，求根軌跡與虛軸的交點。控制系統(tǒng)的特征方程是令 得實部方程，虛部方程分別為解虛部方程得 (不符合題意)；將 代入實部方程得k＝－16不符合題意，因此，根軌跡與虛軸無交點。,,,,,,,,,退出,,,,,,,9.按規(guī)則9，閉環(huán)極點之和為之積

24、為10.按規(guī)則10，由于無，其相應(yīng)的無。至此，即可繪出大致根軌跡圖。,,,,,,,,,退出,,,例題3.(教材習(xí)題4-12)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。,,退出,,,,解：將上式所示開環(huán)傳遞函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得將上式代入 （負(fù)反饋），得根軌跡方程為上式說明本系統(tǒng)的根軌跡方程為正反饋的根軌跡方程，該系統(tǒng)的根軌跡必須按0°根軌跡的繪制規(guī)則繪制。注意：這種現(xiàn)象只有非最小相

25、位系統(tǒng)中才可能出現(xiàn)，故在繪制非最小相位系統(tǒng)的根軌跡圖時，需特別小心。,退出,,,,1.按規(guī)則1，由于本系統(tǒng)得特征方程為知本系統(tǒng)根軌跡有兩個分支。2.按規(guī)則2，根軌跡起始于 ，終止于 及無窮遠(yuǎn)點。3.按規(guī)則3，根軌跡連續(xù)且對稱實軸。4.按規(guī)則4，做出開環(huán)零、極點分布圖如圖所示。按規(guī)則4（偶是奇不是）知，根軌跡在實軸上的線段為（2～∞）及（0～-4）。,退出,,,5.按規(guī)則5，漸近線與實軸交

26、點的坐標(biāo)為漸近線與實軸正方向的夾角為即漸近線與實軸正方向重合。6.按規(guī)則6，由 得 其中，a1為會合點坐標(biāo)，a2為分離點坐標(biāo)。,,退出,,,7.按規(guī)則7，因無復(fù)數(shù)極點與零點，故不需求出出射角與入射角8.按照規(guī)則8，求與虛軸交點及臨界參變量。令 代入特征方程，得解得：9.按規(guī)則9，有閉環(huán)極點之和閉環(huán)極點之積10.按規(guī)則10，由于給定系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，故根據(jù)上

27、面求得的各項數(shù)據(jù)，繪制的給定系統(tǒng)的根軌跡如上圖所示。從上圖可見，當(dāng)00.5時，系統(tǒng)不穩(wěn)定工作。,退出,,,退出,,,參數(shù)根軌跡在繪制系統(tǒng)的根軌跡時，并非只能以開環(huán)增益為可變參量，實際上對繪制根軌跡所選的參數(shù)可按需要加以選擇，并稱以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡成為反饋系數(shù)的參數(shù)根軌跡。反饋系統(tǒng)參數(shù)根軌跡的繪制步驟是，首先將系統(tǒng)的特征方程 整理成如下形式的根軌跡方程，即,,,,,,退出,,,

28、式中 ——以s 和參數(shù)X 為自變量的開環(huán) 傳遞函數(shù)； X ——非開環(huán)增益的參變量； ——不含參變量X 的復(fù)變量s 的多 項式，其中s 最高次冪項的系數(shù)需 化成+1，即需將化成開環(huán) 傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，即,,,,退出,,,其次，根

29、據(jù)式（27）右側(cè)是-1，按繪制180°根軌跡規(guī)則繪制，式（27）右側(cè)是+1按照0°根軌跡規(guī)則繪制。同繪制以開環(huán)增益為參變量的普通根軌跡一樣，來繪制參變量是x=0～∞的參數(shù)根軌跡。下面舉例消化如下：例題4.(教材例4-9)已知系統(tǒng)的特征方程為 ，試畫出以a為參變量的根軌跡圖，并求出使阻尼比為0.5時a 的值。,,,退出,,,解：1.恰當(dāng)處理用

30、 去除特征方程的兩邊得即其中2.按繪制180°根軌跡規(guī)則，繪制參量根軌跡(1)按規(guī)則1，由于特征方程最高階次為3，因此其根軌跡有三個分支。,,,,,,,,,退出,,,(2)按規(guī)則2，根軌跡的三個分支連續(xù)且對稱于實軸。(3)按規(guī)則3，根軌跡的三個分支起始于三個開環(huán)極點，即 。由于m＝0，當(dāng)a →∞時，三條根軌跡分別趨向無窮遠(yuǎn)。(4)作出開環(huán)零，極點分布圖

31、如圖所示，按規(guī)則4，整個負(fù)實軸都是根軌跡上的點。　(5)按規(guī)則5，求根軌跡的會合點。由,,,,,,,,,退出,,,退出,,,(6)按規(guī)則6，根軌跡的漸近線有n－m＝3條。其與實軸的交點是( ，0)，其中與實軸正方向的夾角是(7)沒有復(fù)極點，復(fù)零點，故不用求入射角與出射角。,,,,,,,退出,,,(7)沒有復(fù)極點，復(fù)零點，故不用求入射角與出射角。(8)按規(guī)則8，求根軌跡與虛軸的交點，將s ＝j(luò)ω代入特征