第十六章虛位移原理

1、第十六章 虛位移原理,系統(tǒng)的約束及其分類 虛位移及其計(jì)算,,,引 言,虛位移原理，是用分析的方法來研究任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題。這部分內(nèi)容稱為分析靜力學(xué)。虛位移原理給出的平衡條件，對于任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡都是必要與充分的，因此它是解決質(zhì)點(diǎn)系平衡問題的普遍原理。同時(shí)，將虛位移原理和達(dá)朗伯原理相結(jié)合，可以導(dǎo)出動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程，從而得到求解質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)問題的又一個(gè)普遍的方法。,限制質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的位置和運(yùn)動的條

2、件稱為約束。表示這些限制條件的表達(dá)式稱為約束方程。根據(jù)約束形式及其性質(zhì)，約束可分以下類型：,一、幾何約束與運(yùn)動約束,限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的約束稱為幾何約束。如：,約束類型及分類,,,幾何約束方程的一般形式為,不僅能限制質(zhì)點(diǎn)系的位置，而且能限制質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的速度的約束稱為運(yùn)動約束。,為幾何約束方程。,為運(yùn)動約束方程。,運(yùn)動約束方程的一般形式為,二、定常約束與非定常約束,約束條件不隨時(shí)間變化的約束稱為定常約束。,約束條件隨時(shí)間

3、變化的約束稱為非定常約束。,其約束方程為,非定常約束方程的一般形式為,三、雙面約束與單面約束,同時(shí)限制質(zhì)點(diǎn)某方向及相反方向運(yùn)動的約束稱為雙面約束。,只能限制質(zhì)點(diǎn)某方向的運(yùn)動，而不能限制相反方向運(yùn)動的約束稱為單面約束。其約束方程的一般形式為,四、完整約束與非完整約束,幾何約束或其約束方程能夠積分的運(yùn)動約束稱為完整約束。,如果在約束方程中顯含坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，并且不可以積分，這種約束稱為非完整約束。,本章只研究定常的雙面的完整的幾何約束問題

4、。,一、虛位移的概念,在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下，可能實(shí)現(xiàn)的任何微小的位移，稱為該質(zhì)點(diǎn)系的虛位移。如,虛位移原理,必須指出，虛位移和實(shí)位移都受約束的限制，是約束所允許的位移，但二者是有區(qū)別的。實(shí)位移是在一定的力作用下和給定的運(yùn)動初始條件下，在一定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移，具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。而虛位移純粹是一個(gè)幾何概念，它既不牽涉到系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動，也不涉及到力的作用，與時(shí)間過程和運(yùn)動的初始條件無關(guān)，它一定是微小

5、值，在約束允許的條件下具有任意性。一個(gè)靜止的質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系不會發(fā)生實(shí)位移，但可以有虛位移。在定常約束的情況下，微小實(shí)位移必定是虛位移中的一個(gè)。在非定常約束的情況下，實(shí)位移與虛位移沒有關(guān)系。,二、虛位移的計(jì)算,1、幾何法,這里僅討論定常約束的情形。在此條件下，真實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)。因此可以用求實(shí)位移的方法來求各質(zhì)點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。這種方法又稱虛速度法。例如：,由于AB作平面運(yùn)動，由速度投影定理,或者，由于 為AB的瞬心，故,由正弦定

6、理,同樣可得,2、解析法,解析法是利用對約束方程或坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行變分以求出虛位移之間的關(guān)系。例如,對上式進(jìn)行變分運(yùn)算得,或者把 表示成 的函數(shù)，也可求出虛位移間的關(guān)系。,因?yàn)?作變分運(yùn)算,所以,比較以上兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)，幾何法直觀，且較為簡便，而解析法比較規(guī)范。,,如圖所示，設(shè)某質(zhì)點(diǎn)受力 作用，并給該質(zhì)點(diǎn)一個(gè)虛位移 ，則力 在虛位移 上所作的功稱為虛功，即,或,顯然，虛功也是假想的，它與虛位移是同階無窮小量。,如果在

7、質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中，所有的約束反力所作虛功的和等于零，則這種約束稱為理想約束。其條件為,三、 虛位移原理,常見的理想約束有：,支承質(zhì)點(diǎn)或剛體的光滑固定面、連接物體的光滑鉸鏈、連接兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的無重剛桿、連接兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)不可伸縮的繩索、無滑動的滾動。,具有雙面、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的、必要與充分條件是：所有作用于質(zhì)點(diǎn)系上的主動力，在該位置的任何虛位移中所作的虛功之和等于零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為,或,或用解析式表示為,以上三式稱為

8、虛功方程。虛位移原理也稱虛功原理。,一、求主動力之間的關(guān)系,例1 、 圖示機(jī)構(gòu)中，已知OA=AB=l，， 如不計(jì)各構(gòu)件的重量和摩擦，求在圖示位置平衡時(shí)主動力 與 的大小之間的關(guān)系。,解1：以系統(tǒng)為研究對象，受的主動力有 、 。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。,四、例題講解,將以上關(guān)系代入前式得,由于 ，于是得,AB作平面運(yùn)動，瞬心在 點(diǎn)，則,亦可由速度投影定理求虛位移之間的關(guān)系：,由速度

9、投影定理,解2：解析法。建立如圖坐標(biāo)。,由于,且,對上兩式作變分，得,即,由于 ，于是得,例2 圖示機(jī)構(gòu)中，當(dāng)曲柄OC繞軸擺動時(shí)，滑塊A沿曲柄自由滑動，從而帶動桿AB在鉛垂導(dǎo)槽K內(nèi)移動。已知OC=a，OK=l，在C點(diǎn)垂直于曲柄作用一力Q，而在B點(diǎn)沿BA作用一力P。求機(jī)構(gòu)平衡時(shí)，力P與Q的關(guān)系。,解1：（幾何法）以系統(tǒng)為研究對象，受的主動力有P、Q 。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。,其中,式中,故有,由于

10、，于是得,主動力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分為,主動力在坐標(biāo)方向上的投影為,解2 解析法:建立如圖坐標(biāo)。,即,亦即,由于 ，于是得,解3：綜合法。,本題用解析法計(jì)算 力的虛功，用幾何法計(jì)算 力的虛功，此時(shí)虛功方程可以寫為,即,可得同樣的結(jié)果。,二、求系統(tǒng)的平衡位置,例3 圖示平面機(jī)構(gòu)，兩桿長度相等。在B點(diǎn)掛有重W的重物。D、E兩點(diǎn)用彈簧連接。已知彈簧原長為l，彈性系數(shù)為k，其它尺寸如圖。不計(jì)各桿自重。求機(jī)構(gòu)的平

11、衡位置。,解：以系統(tǒng)為研究對象，建立如圖的坐標(biāo)。,系統(tǒng)受力有主動力 ，以及非理想約束的彈性力 和 ，將其視為主動力。其彈性力的大小為,主動力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分為,主動力在坐標(biāo)方向上的投影為,即,亦即,因 ，故,將F代入，化簡得,三、求約束反力,例4 試求圖示多跨靜定梁鉸B處的約束反力。,解：以梁為研究對象，解除B處約束，代之以相應(yīng)的約束反力 ，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。,

12、由虛位移原理有,由圖知,于是得,從而有,例題5. 多跨梁由AC和CE用鉸C連接而成。荷載分布如圖示.P=50KN，均布荷載q=4KN/m，力偶矩m=36KN.m ；求支座A、B和E的約束反力。,解: 解除支座A的約束,代之約束反力RA,畫虛位移圖如下. 其中Q1=24KN, Q2=24KN.,,??1,??2,?rA,?rC,,B是AC桿的瞬心.,E是CE桿的瞬心.,利用虛位移圖得:,?rC = (BC)??1 = (CE)??2,

13、??1 = 2??2,,,,,B,,E,,?W(RA) =6 RA??1,?W(P) = -150??1,6RA??1-150??1+72??1+216??2 - 36??2 = 0,RA = -2KN,?W(Q1) =72??1,?W(Q2) = 216??2,?W(m) = - 36??2,由虛位移原理得:,利用虛位移圖計(jì)算虛功,解除支座B的約束,代之約束反力RB ,畫虛位移圖.,,E是CE桿的瞬心.,利用虛位移圖得:,?rC =

14、 (AC)??1 = (CE)??2,??1 = ??2 = ??,,,?rC,??1,??2,,RB,,,,E,?W(P) =150??1,由虛位移原理得:,RB = 91 KN,?W(RB) = - 6RB??1,?W(Q1) = 216??1,?W(Q2) = 216??2,?W(m) = - 36??2,-6RB??1+150??1+216??1+216??2 -36??2 = 0,利用虛位移圖計(jì)算虛功,,,,?rC,??1,

15、??2,,RB,,,,E,解除支座E的約束,代之約束反力RE畫虛位移圖.,,?rE,利用虛位移圖計(jì)算虛功,?W(RE) = 12RE??,?W(m) = -36??,?W(Q2) = -72??,由虛位移原理得:,12RE ?? - 72?? - 36?? = 0,RE = 9 KN,,RE,,??,例6 圖示多跨靜定梁，試求A端處約束反力偶矩及鉛垂反力。已知： , ,

16、 , 長度單位為m。,解：（1）求A端約束反力偶矩。,以梁為研究對象，解除A處限制轉(zhuǎn)動的約束，代之以相應(yīng)的約束反力偶矩 ，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。,由虛位移原理有,由幾何關(guān)系得,于是得,故有,（2）求A處鉛垂反力,解除A處鉛垂的約束，代之以相應(yīng)的約束反力Y，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。,由虛位移原理有,于是有,由幾何關(guān)系得,故有,例7 ： 求圖示靜定剛架支座D處的水平反力。,解：以剛架為研究對象

17、，解除D處的水平約束，代之以相應(yīng)的約束反力 ，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。,由虛位移原理有,于是支座D的水平反力為,故,于是有,由運(yùn)動學(xué)關(guān)系,四、求桁架桿件及組合結(jié)構(gòu)的軸力,例8：求圖示桁架桿1和桿2的軸力。,解：以桁架為研究對象，解除1桿的約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有:,由幾何關(guān)系得,于是得,,解除2桿的約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛

18、位移，如圖所示。,由虛位移原理有,由幾何關(guān)系得,于是得,例9. 組合構(gòu)架如圖所示。已知P=10KN，不計(jì)構(gòu)件自重,求1桿的內(nèi)力。,解:截?cái)?桿代之內(nèi)力S1和S‘1且S1= S’1 =S，畫虛位移圖。,,?rC,,,??1,??2,,,B為BC的瞬心.,利用虛位移圖得:,?rC = (AC)??1 = (BC)??2,??1 = ??2 = ??,B,,,S1,S´1,,利用虛位移圖求虛功,?W(S'1) = -