信號(hào)處理中的數(shù)學(xué)方法期末試題答案

1、1、敘述卡享南—洛厄維變換，為什么該變換被稱為最佳變換，何為其實(shí)用時(shí)的困難所在，舉例說(shuō)明其應(yīng)用。它經(jīng)常用來(lái)處理隨機(jī)變量信號(hào)，能使變換后的分量不相關(guān)，且使均方誤差最小，所以常稱作最佳變換?？ㄏ砟下宥蚓S變換沒有固定的變換矩陣，它依賴于給定的隨機(jī)向量的協(xié)方差陣。正是這種變換的特點(diǎn)，也是它在實(shí)際使用時(shí)的困難所在，因?yàn)樗枰勒詹还潭ǖ木仃嚽筇卣髦岛吞卣飨蛄?。xC卡享南洛厄維變換應(yīng)用在數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)中。特別是隨著信息時(shí)代的發(fā)展到第三個(gè)階段大數(shù)據(jù)時(shí)代

2、，海量的數(shù)據(jù)每時(shí)每刻撲面而來(lái)，按照最優(yōu)化原則的數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)可以解決通訊和數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)的信道容量不足問題。通過對(duì)信號(hào)作正交變換，根據(jù)失真最小的原則在變換域進(jìn)行壓縮?？ㄏ砟下宥蚓S變換使這種變換消除了原始信號(hào)諸分量間的相關(guān)性，從而使數(shù)據(jù)壓縮能遵循均方誤差最小的準(zhǔn)則實(shí)施。2、最小二乘法的三種表現(xiàn)形式是什么？以傅里葉級(jí)數(shù)展開為例說(shuō)明其各自的優(yōu)缺點(diǎn)。希爾伯特空間中線性逼近問題的求解方法稱為最小二乘法。它有三種不同的表現(xiàn)形式：投影法、求導(dǎo)法和配方法。

3、下面以傅里葉級(jí)數(shù)展開為例來(lái)說(shuō)明。投影法：設(shè)為希爾伯特空間，為中的一組歸一化正交元素，為中X??12ee?XxX的某一元素。在子空間中求一元素，使得??12Mspanee??0m(21)0minmMxmxm????由于中的元素可表示為的線性組合，那么問題就轉(zhuǎn)化為求系數(shù)M12ee?，使得12???(22)1minkkkxe??????高深，求導(dǎo)法次之，配方法則屬初等；從方法難度上講，求導(dǎo)法最容易，投影法和配方法各有千秋；從結(jié)果看，配方法最好

4、，因?yàn)樗粌H求出了最優(yōu)系數(shù)k?，而且由配方結(jié)果立即可知目標(biāo)函數(shù)的極值。此外，配方法和投影??12f???法都給出了達(dá)到極小的充分和必要條件，但求導(dǎo)法給出的僅僅是極值的必要f條件，如果是極值，還不知道是極大還是極小，故是不完整的。但我們不能簡(jiǎn)單的說(shuō)這三種方法誰(shuí)更好。因?yàn)樗鼈儗?shí)際應(yīng)用時(shí)都有自己的局限性。例如投影法必須把所討論的最優(yōu)化問題放到某個(gè)希爾伯特空間的框架中去；求導(dǎo)法必須有可行的求導(dǎo)法則，如果未知的變?cè)窍蛄?，矩陣或函?shù)，求導(dǎo)法就不那

5、么直捷了；而配方法則是一種技巧性很強(qiáng)的方法，如果目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜，那么用配方法很相當(dāng)困難。3、二階矩有限的隨機(jī)變量希爾伯特空間中平穩(wěn)序列的預(yù)測(cè)問題的法方程稱為關(guān)于平穩(wěn)序列預(yù)測(cè)問題的yulewalker方程，試用投影法和求導(dǎo)法推導(dǎo)該方程。該方程的求解算法稱為最小二乘算法，請(qǐng)對(duì)這些算法的原理予以描述。下面先介紹什么是隨機(jī)序列的預(yù)測(cè)問題：若二階矩有限的隨機(jī)變量希爾伯特空間中的序列，記子空間??12xx?(31)??11kNkNkNkMspan