微積分(曹定華)(修訂版)課后題答案第二章習(xí)題詳解

1、1第二章二章習(xí)題習(xí)題211.試?yán)帽竟?jié)定義5后面的注（3）證明：若xn=a則對(duì)任何自然數(shù)k，有l(wèi)imn??limn??xnk=a.證：由，知，，當(dāng)時(shí)，有l(wèi)imnnxa???0???1N?1nN?nxa???取，有，，設(shè)時(shí)（此時(shí)）有1NNk??0???N?nN?1nkN??nkxa????由數(shù)列極限的定義得.limnkxxa????2.試?yán)貌坏仁秸f(shuō)明：若xn=a則∣xn∣=|a|.考察數(shù)列xn=(ABAB???limn??limn??1

2、)n，說(shuō)明上述結(jié)論反之不成立.證：證：lim0.使當(dāng)時(shí)，有nxnxaNnNxa?????????????而nnxaxa???于是，0???使當(dāng)時(shí)，有NnN??即nnxaxa?????nxa???由數(shù)列極限的定義得limnnxa???考察數(shù)列，知不存在，而，，(1)nnx??limnnx??1nx?lim1nnx???所以前面所證結(jié)論反之不成立。3.利用夾逼定理證明：(1)=0；(2)=0.limn??222111(1)(2)nnn???

3、????????limn??2!nn證：證：（1）因?yàn)?22222111112(1)(2)nnnnnnnnnn???????????而且，，21lim0nn???2lim0nn???3而或就是，00xx????00xx????00xx????于是，當(dāng)時(shí)，有，00??????00xx????()fxa???所以.0lim()xxfxa??再證必要性：即若，則0lim()xxfxa??00lim()lim()xxxxfxfxa??????由

4、知，，當(dāng)時(shí)，有，0lim()xxfxa??00??????00xx????()fxa???由就是或，于是，當(dāng)00xx????00xx????00xx????00??????或時(shí)，有.00xx????00xx????()fxa???所以00lim()lim()xxxxfxfxa??????綜上所述，f(x)=a的充要條件是f(x)在x0處的左、右極限均存在且都等于a.0limxx?2.(1)利用極限的幾何意義確定(x2a)和；0limx?

5、0limx??1ex(2)設(shè)f(x)=，問(wèn)常數(shù)a為何值時(shí)，f(x)存在.12e00xxxax????????0limx?解：（1）因?yàn)閤無(wú)限接近于0時(shí)，的值無(wú)限接近于a，故.2xa?20lim()xxaa???當(dāng)x從小于0的方向無(wú)限接近于0時(shí)，的值無(wú)限接近于0，故.1ex10lime0xx???（2）若存在，則，0lim()xfx?00lim()lim()xxfxfx?????由（1）知，22000lim()lim()lim()xxxf

6、xxaxaa???????????100lim()lime0xxxfx??????所以，當(dāng)時(shí)，存在。0a?0lim()xfx?3.利用極限的幾何意義說(shuō)明sinx不存在.limx???解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的值在1與1之間來(lái)回振擺動(dòng)，即不無(wú)限接近某x???sinxsinx一定直線(xiàn)，亦即不以直線(xiàn)為漸近線(xiàn)，所以不存在。yA?()yfx?yA?limsinxx???習(xí)題習(xí)題231.舉例說(shuō)明：在某極限過(guò)程中，兩個(gè)無(wú)窮小量之商、兩個(gè)無(wú)窮大量之商、無(wú)窮小量與