醫(yī)用物理學(xué)振動和波

1、1 掌握 諧振動方程（振幅，周期和頻率，相位，初相位）， 同頻率同振動方向簡諧振動的合成, 波動方程 (波長、波速，周期和頻率)，相干波和波的干涉2 熟悉 簡諧振動的能量，波的強(qiáng)度，惠更斯原理， 波的疊加原理 3 了解 阻尼振動，受迫振動和共振，拍，同頻率相互垂直簡 諧振動的合成，頻譜分析,第三章 振動和波(Oscillation

2、 and wave),習(xí)題：6，8，9，10，11，13，14，15，16，18,二）諧振動的振幅、周期、（頻率）和周相 （位相或相位）,三）諧振動的表示（諧振動的矢量圖表示）,一）簡諧振動方程,1、何謂阻尼振動,振幅（或能量）隨時間逐漸減小的振動。,能量減小的原因：,1）磨擦阻力的存在,2）引起鄰近質(zhì)點振動， 以波的形式向周圍傳播能量，這叫作輻射阻尼。,2、阻尼振動的定量分析,以機(jī)械振動為例：,一、阻尼振動,設(shè)一質(zhì)點m

3、，受力：,阻力：,,,根據(jù)牛頓第二定律：,令：,,方程的解有三種情況,由初始條件決定,若t=0時：,….(1),代入(1)式:,兩式聯(lián)立:,B）阻尼振動周期,C）阻尼振動 的對數(shù)減縮（ ）,C）阻尼振動 的對數(shù)減縮（ ）,定義：,對數(shù)減縮---相隔一周期的相鄰兩振幅之比的對數(shù),定義：,注意:,1)可用 求出阻力系數(shù),,對數(shù)減縮---相隔一周期的相鄰兩振幅之比的對數(shù),,減幅為1/e所經(jīng)歷的振動次數(shù),其解：,

4、,,C1、C2為由初始條件決定的常數(shù)。,C1、C2為由初始條件決定的常數(shù)。,,,何謂強(qiáng)迫振蕩,系統(tǒng)在周期性外力（外源）作用下產(chǎn)生的振動。,,,根據(jù)牛頓第二定律：,,二、強(qiáng)迫振蕩,令：,其解：,其解：,結(jié)論：（1）強(qiáng)迫振動是由阻尼振動及由強(qiáng)迫力產(chǎn) 生的振動的合成。,（2）振動開始較復(fù)雜，爾后呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)， 其穩(wěn)定解為：,強(qiáng)迫力提供的能量與克服阻力消耗的能量相等,三、共振,浪橋,共振---最

5、強(qiáng)烈的強(qiáng)迫振動現(xiàn)象,1）位移共振--共振時振幅最大。,A要最大：,解得：,時振幅最大。,,2）共振現(xiàn)象的應(yīng)用,我國古代就有大量的應(yīng)用:,天壇的回音壁,黃鶴樓上磨擦銅盆時水的共振表演,工程上的的應(yīng)用,無線電中利用諧振電路選擇信號,?次聲武器,,3~17HZ,引：,一）同（振動）方向、同頻率的兩個諧振動 的合成,設(shè)一質(zhì)點同時參加如下兩振動：,,,,,,,,,,,,,,設(shè)一質(zhì)點同時參加如下兩振動：,求合振動,1）三角函數(shù)法,,

6、結(jié)論：兩個同方向、同頻率的諧振動合成后 仍為同頻率 的諧振動,2）矢量法,設(shè)有：,,,,,2）矢量法,,,,,,,,? 矢量代表的諧振動的圓頻率與振動 相同；,證明： 所代表的諧振動就是合振動,不變。,? 所代表的諧振動的振幅與初相就是合振動 的振幅與初相。,與合振動的振幅相同。,,,,,與合振動的初相相同。,結(jié)論： 所代表的諧振動就是合振

7、動 。,利用矢量求合振動只要利用平行四邊形法則求出各諧振動的合振動矢量即可。,二）兩個同方向頻率相近的兩個諧振動的合成,一般 言之：不同頻率的諧振動的疊加呈現(xiàn)出較復(fù)雜性的情況,疊加后已非諧振動，下面只研究頻率相差不大的兩個諧振動的疊加,若有：,設(shè),但：,為簡單：,先用函數(shù)曲線疊加：,聲音時大時小---“拍現(xiàn)象”,,,,定量分析：,用和差化積公式：,,,振動的圓頻率,振幅變化的頻率,振幅變化的頻率,若振幅變化的周期為T拍

8、,三）在垂直方向上的兩個諧振動的合成,1）解析法,以上兩式實為質(zhì)點運(yùn)動的運(yùn)動方程，消去t即可得質(zhì)點運(yùn)動的軌跡方程。,?,?,斜率：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A1,A2,,斜率：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?,?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?,,,,2）作圖法,設(shè)有兩同頻率但相位差?/2的兩個垂直振動,求合振動的軌跡。,解1）解析法,（1）、（2）式變?yōu)椋?（3

9、），（4）平方后求和。,軌跡是一橢圓,,,2）作圖法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,作業(yè)：康書:4--24、4--25、4--26、4--27,即周期T=2?/?的周期振動，是由一系列簡諧振動的疊加，即：,四）頻譜分析原理,引:,波動--振動的傳播過程,分類：,1）機(jī)械波---機(jī)械振動在彈性介質(zhì) 中 的傳播,2）電磁波---變化的電磁場在空間的

10、 傳播,3）物質(zhì)波---（略）,(一）波的產(chǎn)生與描述,1、波的產(chǎn)生,a）波的幾何描述,b）波的時空描述,c）波的數(shù)學(xué)描述,2、 波的描述（Description of Wave Motion）,引言：波的傳播是能量的傳播。,一）波的能量,以一個平面簡縱波為例來說明,,體積元的總能量,,,?波動過程中，體元中的動能與勢能“同相”---同 時達(dá)到最大，同時達(dá)到最小。,指出兩點：,?體元中的

11、能量是隨時間變化的（非弧立系統(tǒng)）,波動過程是一個能量傳播的過程。,二）能流和能流密度（波強(qiáng)）,仍以平面簡諧波為例：,1）能量密度---單位體積中的能量,2）平均能量密度---,3）能流---,一周期內(nèi)能量密度的平均值,單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某面積的能量,這個體積 中的能量值就是能流，顯然這個能流是隨時間變化的，常取一周期的平均值。,平均能流---,單位時間內(nèi)通過某面積的平均能量,4）平均能流密度（波強(qiáng)）,通過垂直于波傳播的方向的

12、單位面積的平均能流；,即單位時間內(nèi)通過垂直于波動傳播的方向的單位面積中的平均能量。,,,,單位：,,導(dǎo)致波衰減的主要原因有：,（１）由于波面的擴(kuò)大造成單位截面積通過的波的能量減少，稱為擴(kuò)散衰減。,（２）由于散射使沿原方向傳播的波的強(qiáng)度減弱，稱為散射衰減。,（３）由于介質(zhì)粘滯性（內(nèi)摩擦）等原因，波的能量隨傳播距離的增加逐漸轉(zhuǎn)化為其他形式的能量，這種現(xiàn)象稱為介質(zhì)對波的吸收。,三、波的衰減,1)平面波,A不變!,吸收衰減的規(guī)律:

13、 設(shè)平面波在均勻介質(zhì)中沿X軸正方向傳播，在X=0處入射波 的強(qiáng)度為I 0，在X處強(qiáng)度為I，通過厚度為dx的一層介質(zhì)時，由于介質(zhì)的吸收，波的強(qiáng)度減弱了-dI, 實驗表明,比例系數(shù)?與介質(zhì)的性質(zhì)和波的頻率有關(guān)，稱為介質(zhì)的吸收系數(shù)。解方程，并由：X=0，I=I0，得,,平面波強(qiáng)度在傳播過程中按指數(shù)規(guī)律衰減。,2)球面波,,若離波源r1處的波振幅為A1,則離波源r處的振動方程為:,,,球面波的波動方程,,,,,,一、惠更斯原理（Hu

14、ygen’s Principle）,1）惠更斯原理的表述,2）對現(xiàn)象的解釋,a）從某時刻的波陣面得到下一時刻的波陣面,球面波,,,平面波,t時刻的波陣面,,,,,b）解釋反射定律、折射定律,反射定律：波在媒質(zhì)介面上傳播時，入射角等于反射角，入射線反射線及介面的法線均在同一平面內(nèi)。,,,,介面,折射定律：波經(jīng)過兩種媒質(zhì)介面進(jìn)行折射（媒質(zhì)“1”進(jìn)入媒質(zhì)“2”）時，入射角的正弦與折射角的正弦之比等到于波在第一種媒質(zhì)中的波速

15、與在第二種媒質(zhì)中的波速之比,,,,解釋反射定律,,,,A,B,C,D,E,F,,,,c)解釋衍射現(xiàn)象,衍射（繞射）--波動在傳播過程中遇到障礙物時 能繞過障礙物的邊緣前進(jìn)的現(xiàn)象,“室外講話，墻外有耳”,水波的衍射,解釋：,不足：不能解釋波的強(qiáng)度 及為什么只考慮向 前傳播的波。,聲波的疊加,一般而言，波的疊加較復(fù)雜,二）波的干涉,例1）兩

16、相干點波源，周相相同，在各向同性的無 吸收的介質(zhì)中傳播，在離波源2cm處質(zhì)點振動的 振幅均為3cm，波長?=2cm。求與波源分別相距 50cm和60cm處P點的振幅。,已知：,求：,解?：,解?：,,,解?：,例2）如圖：A、B兩點是處于同一介質(zhì)中相距為20m的兩個波源，它們作同方向、同頻率的振動（?=100HZ）設(shè)它們激起的是相向前進(jìn)的兩平面波，振幅均為5cm。波速為200 m/s，且A為波峰時，B為波谷。求A、B

17、線上因干涉而靜止的各質(zhì)點位置。,已知：AB=20m,?=100HZ,A=5cm,u=200m/s,求：振幅=0的點的位置,解：1）建立坐標(biāo)AXY，選取A點位移最大時為計 時起點，則：,2）波動方程：,3）分析周相差,2）波動方程：,當(dāng)：,振幅為零。,即：,時，,時，,處振幅為零。,振幅為零。,三、駐波（Standing Wave）,一）何謂駐波,兩列振幅相同的相干波在同一直線上沿相反方向傳播彼此相遇疊加而

18、形成的波。,二）駐波分析,1）波形曲線分析,,由此可見，駐波特點是：,2）相鄰兩節(jié)點間的質(zhì)點具有相同的位相，節(jié)點 兩側(cè)具有相反的位相。,,,,,2）數(shù)學(xué)分析：,,由：,得：,駐波方程,,駐波方程,分析：,1）駐波波形,t1時刻波形：,t2時刻波形：,,駐波方程,分析：,2質(zhì)點振動方程,X1處質(zhì)點B振動方程：,X2處質(zhì)點C振動 方程：,各處質(zhì)點振幅不同：,,分析：,3腹點與節(jié)點 位置：,?腹點,取極大值處,相鄰兩腹點間距離

19、為：,?節(jié)點,,取極小值處,,,相鄰兩節(jié)點間距離為：,?相鄰的節(jié)點與腹點間的距離,,,,?質(zhì)點的相位關(guān)系,X,Y,?質(zhì)點的 相位關(guān) 系,,分析：,先看a、b兩節(jié)點間的質(zhì)點,ab兩節(jié)點間質(zhì)點同相,開始計時：,X,Y,?質(zhì)點的 相位關(guān) 系,開始計時：,,再看節(jié)點b的兩側(cè)質(zhì)點：,節(jié)點兩側(cè)質(zhì)點反相,,而：,,,總之：相鄰兩節(jié)點間的質(zhì)點同相，節(jié)點兩側(cè)質(zhì) 點反相。,縱駐波：,3）駐波的能量,

20、駐波中的能流密度為零，實際上是系統(tǒng)的一種穩(wěn)定的振動狀態(tài)。,當(dāng)波節(jié)點間質(zhì)點振幅最大時：,勢能曲線,動能曲線,當(dāng)質(zhì)點到達(dá)平衡位置 時：,能量在節(jié)點附近的質(zhì)點與腹點附近的質(zhì)點間交換與轉(zhuǎn)移,,,,,第三章 振動和波動(vibration and wave),本章習(xí)題 6，8，9，10，11，13，14，15，16，18,討論振動和波動的基本規(guī)律，,第一節(jié) 簡 諧 振 動,振動：物體在一定位置附近作周期性的往復(fù)運(yùn)動

21、 稱為機(jī)械振動。,廣義上：凡是描述物體性質(zhì)或物體運(yùn)動狀態(tài)的物理量 在某一數(shù)值附近作周期性的變化都是振動。,簡 諧 振 動：振 動中最簡單、最基本的振動。,,一、簡 諧 振 動方程,彈簧振子：,上兩式為簡 諧 振 動方程,解方程得：,令,由胡克定律：,振動物體的速度和加速度,1、振幅：振動物體離開平衡位置的最大位移A稱為 振幅。,,2、周期和頻率：

22、振動物體完成一次振動所需要的時 間T，稱為振動周期。在單位時間內(nèi)所完 成的振動次數(shù)?，稱為頻率。振動物體在 2?秒內(nèi)所完成的振動次數(shù)?，稱為系統(tǒng)的 角頻率。,無阻尼自由振動的? 、? 、 T 完全取決與振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)，稱為固有角頻率、固有頻率和固有周期。,,

23、?=1/T ?= 2? ?= 2? /T單位 T s ? Hz ? rad .s-1,3、相位和初位相,?t??為相位和?為初位相，在A和?已知的情況下，初始狀態(tài)由?決定。,二、簡 諧振動的矢量圖示法,,,,,,,三、 簡諧振動的能量,系統(tǒng)的動能和勢能：,總的機(jī)械能：（k=m?2）,振幅隨時間減小的振動，稱為阻尼振動。?為阻尼因子。,a.阻尼振動 阻尼較小時,b.過阻尼狀態(tài) 阻尼較大時

24、 >,c.臨界阻尼狀態(tài) =,第二節(jié) 阻尼振動、受迫振動和共振,一、阻尼振動,,在驅(qū)動力作用下發(fā)生的振動，稱為受迫振動。 F=Fmcos??t, Fm為力幅， ??為驅(qū)動力的角頻率。受 迫振動穩(wěn)定方程為：,二、受迫振動,當(dāng)驅(qū)動力角頻里率接近系統(tǒng)的固有角頻率時，受迫振動振幅急劇增大的現(xiàn)象，稱為共振。令??=?r ，可得：,三、共振,第三節(jié) 振動的合成與分解 一、

25、兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成,s1=A1cos(?t+ ?1)s2=A2cos(?t+ ?2),A=(A12+A22+2A1A2cos(?2-?1))1/2,?=arctg(A1sin?1 + A2sin?2 )/(A1cos?1 + A2cos?2 ),合振動的方程為：,（1）若相位差?2-?1=?2k?時，A=A1+A2，合振幅最大。（2）若相位差?2-?1=?（2k+1）?時，A=|A1-A2 | ，合

26、 振幅最小。（3）當(dāng)相位差取其他值時， |A1-A2 | <A< A1+A2。,二、同方向、不同頻率的簡諧振動的合成,合振動不是簡諧振動基頻、倍頻,矢量圖中兩個旋轉(zhuǎn)矢量,與振動的合成相反，任一角頻率為?的復(fù)雜周期性振動S（t）都能分解為不同頻率及不同振幅的一系列簡諧振動。付里葉級數(shù)表示：S(t)=A0+A1cos?t+A2cos2?t+ ……+B1sin?t+B2

27、sin2?t+…….式中系數(shù)A1、A2、 …及B1\B2 …,是各簡諧振動的振幅，A0為S（t）在一周期內(nèi)的平均值。一個復(fù)雜的周期性振動分解為一系列簡諧振動的方法，稱為頻譜分析。例如：某電壓u(t)，T, U的矩形振動（方波）圖3-6 u(t)=4U/?(sin?t +1/3sin3?t+1/5sin5?t+…),三、振動譜,,頻譜圖：以角頻率?為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的振幅為縱坐標(biāo)。,四、兩個同頻率、相互垂的簡諧振動的合成,X=A1co

28、s(?t+ ?1)y=A2cos(?t+ ?2),合并兩式，消去T有 x2/A12+y2/A2-2xy /A1A2cos(?2 - ?1)= sin 2 (?2 - ?1),機(jī)械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播過程，稱為機(jī)械波。 簡諧振動在彈性媒質(zhì)中的傳播過程，稱為簡諧波。 機(jī)械波產(chǎn)生的條件：振動源，彈性媒質(zhì)。 波分為橫波、縱波。 質(zhì)點振動方向與波的傳播方向垂直的波稱為橫波。 質(zhì)點振動

29、方向與波的傳播方向平行的波稱為縱波。,第四節(jié)、波動的基本規(guī)律,一、波的產(chǎn)生與描述,波動過程中，傳播的只是振動的狀態(tài)，介質(zhì)中各質(zhì)點僅在各自的平衡位置附近振動，并不隨波前進(jìn)。,振動位相相同的點連成的面稱為波面。最前面的波 面稱為波前。,波速是單位時間內(nèi)振動傳播的距離。取決于介質(zhì)的彈性模 連量和密度等。固體中能傳播橫波和縱波，

30、波速為（G和E分別為介質(zhì)的 切變模量和楊模量）,液體和氣體中只能傳播與體變模量有關(guān)的縱波。液體和氣體中，縱波的波速為（K為體積模量）,二、波的 周期和頻率 波速,波長: 同一波線上兩個相位差為2?的點之間的距離稱 為波長，用?表示。周期：一個完整的波通過波線上某點所需的時間稱

31、為 波的周期，用?表示。頻率：單位時間內(nèi)通過波線上某點的完整波的數(shù)目， 用?表示。 ?=u T (同一波在不同介質(zhì)中T、 ?相同， 不同介質(zhì)u 不同。),簡諧波是最簡單最基本的波。一切復(fù)雜的波都可看成是由多個簡諧振動傳播所構(gòu)成的波合成的。如圖 3-10,三、平面簡諧波的波動方程,其它形式,k=2?/?

32、 稱為波數(shù)，表示2?（m）內(nèi)包含完整波的數(shù)目。,對波動方程求導(dǎo)有：,比較兩式：,上式為波動方程的微分形式。,為X1處的振動方程,為t1時的波形方程 s=s(x),（3）x .t.都在變 波動方程表示波線上各點在不同時 刻的位移，即反映了波形的傳播。,（4） 沿X軸負(fù)方向傳播 P點要比O點早開始振動，波動方程為,例題3-1,第五節(jié) 波的能量,一 波

33、的能量,可以證明，在任一坐標(biāo)Ｘ處取體積元,在時刻ｔ的動能Ｅｋ和勢能Ｅｐ為,體積元Ｖ中的總能量為:,介質(zhì)中單位體積的波動能量，稱為波的能量密度，即,能量密度在一個周期內(nèi)的平均值，稱為平均能量密度。因為,所以平均能量密度為,二 波的強(qiáng)度,波的能量是隨波傳播的。,三　波的衰減,導(dǎo)致波衰減的主要原因有：,（１）由于波面的擴(kuò)大造成單位截面積通過的波的能量減少，稱為擴(kuò)散衰減。,（２）由于散射使沿原方向傳播的波的強(qiáng)度減弱，稱為散射衰減。,（３）由于

34、介質(zhì)粘滯性（內(nèi)摩擦）等原因，波的能量隨傳播距離的增加逐漸轉(zhuǎn)化為其他形式的能量，這種現(xiàn)象稱為介質(zhì)對波的吸收。,吸收衰減的規(guī)律: 設(shè)平面波在均勻介質(zhì)中沿X軸正方向傳播，在X=0處入射波 的強(qiáng)度為I 0，在X處強(qiáng)度為I，通過厚度為dx的一層介質(zhì)時，由于介質(zhì)的吸收，波的強(qiáng)度減弱了-dI, 實驗表明,比例系數(shù)?與介質(zhì)的性質(zhì)和波的頻率有關(guān)，稱為介質(zhì)的吸收系數(shù)。解方程，并由：X=0，I=I0，得,,平面波強(qiáng)度在傳播過程中按指數(shù)規(guī)律

35、衰減。,第七節(jié)　惠更斯原理,,一　　惠更斯原理,惠更斯原理表述為：介質(zhì)中波前上的每一點都可以看作新波源，向各個方向發(fā)射子波；在其后的任一 時刻，這些子波的包跡就是該時刻的新波前。,二　解釋波的衍射,,,衍射：波動能繞過障礙而改變其傳播方向的現(xiàn)象。,幾列波可以互不影響的同時通過某一區(qū)域；在相遇處，任一質(zhì)點的位移是各列波在該點所引起的振動位移的矢量和。這種波動傳播的獨(dú)立性及在相遇處的振動合成，稱為波的疊加原理。,第八節(jié)　波的干涉,

36、一　波的疊加原理,滿足頻率相同、振動方向相同、初相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時，在疊加區(qū)域的某些位置上，振動始終加強(qiáng)，而在另一些位置上振動始終減弱或完全抵消，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。滿足以上三個條件，能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波，稱為相干波，相應(yīng)的波源成為相干波源。,二　波的干涉,,設(shè)有兩個相干波源O1和O2，其振動方程分別為,so1=Ao1cos(?t+ ?1)so2=Ao2cos(?t+ ?2),Ｐ的兩個分振動分別為,Ｐ點的合振

37、動方程為,,兩個相干波在P點所引起的兩個分振動的相位差： ? ?=?2-?1-2?（r2-r1）/ ? 是一個常量，合振幅A也是一個常量。,,即波程差等于半波長的奇數(shù)倍是，Ｐ點為干涉減弱。,如果?1=?2，即對于初相相同的相干波源，??只決定于兩個波源到Ｐ點的路程差或稱為波程差 ?=r2-r1，,當(dāng) ?=r2-r1 = ±2k , k=0, 1, 2, …,即波程差等

38、于半波長的偶數(shù)倍是，Ｐ點為干涉加強(qiáng)；,當(dāng) ?=r2-r1 = ±(2k+1) , k=0, 1, 2, …,設(shè)兩個振幅相等、初相位均為零的波以接近的頻率和波長在同一空間區(qū)域、沿同一方向傳播,,合成波振幅本身（合成波的包絡(luò)）形成一個波，這個波相對合成波而言是緩慢變化的，成為調(diào)幅波。,s1=Acos[（k+?k)x-(?+ ? ?)t] s2=Acos[（k-?k)x-(?- ? ?)t]

39、,合成波為,s=s1+ s2 =2Acos（?kx- ? ?t)cos(kx- ?t),三　調(diào)幅波,兩個特征速度：,在非色散介質(zhì)中，相速度和群速度之間沒有差別，但在色散介質(zhì)中，相速度和群速度之間是不同的。,一個是具有一定相位的點的傳播速度u=??k，這種振動狀態(tài)的傳播(相位的傳播)稱為相速度。,若相速度u與頻率無關(guān)，則du/ dk=0， ug=u 。,四　駐波,當(dāng)兩列振幅相同的相干波沿同一直線相向傳播時，合成波是一種波形不隨時間變化的