一類行列式的界的探索

1、一類行列式的界的探索一類行列式的界的探索.doc一類行列式的界的探索.doc一類行列式的界的探索王崇(學(xué)號：B01151309)指導(dǎo)老師:林磊摘要本文確定了階數(shù)值矩陣的行列式的行列式的絕對值:的最小上界.關(guān)鍵詞階數(shù)值矩陣行列式最小上界.一、引子已知:階方陣的行列式.求證:當(dāng)時.證明:對行列式的階用數(shù)學(xué)歸納法:(1)時:記為中1的個數(shù)則.由于本題要求的是矩陣的行列式的絕對值且故只要考慮時的情況.時有2種情形:(i)沒有則行列式的絕對值等價

2、于:(ii)只有一個則此時等價于:.由(i)、(ii)可知:當(dāng)時.而當(dāng)時:.故當(dāng)時命題成立.(2)假設(shè)時命題成立即有:.當(dāng)時:()即當(dāng)時命題成立.綜上由(1)(2)可得:對于任意有:成立.從以上證明可以發(fā)現(xiàn)多次運用了放縮的方法并且放縮的幅度比較大所得的結(jié)論并非是最優(yōu)的!于是本文將就該數(shù)值矩陣的更優(yōu)解進行探索.探索方法用觀察尋找規(guī)律法:先用計算機計算得出34567階時的行列式可能的最大值以及此時對應(yīng)的矩陣，然后觀察尋找出規(guī)律并證明猜想的規(guī)

3、律.二、編寫程序并計算用計算機計算編寫的程序的主要思想是:使用窮舉法找出每一個可能的矩陣并計算出他們的行列式的絕對值同時比較出大小并最終得到最大值.以四階為例:對方陣的每一行進行考慮可能的情形有8種包括:[11111111111111111111111111111111]以及以上的相反.但由于取的是絕對值，故不必考慮相反時的情形.找出方陣每行的所有可能的明:由引理1及引理2知:由于存在從而由是對稱陣.這樣由定理1得:或者:那么由定理2即

4、得:.定理3:設(shè)那么:(2)證明:分兩種情況證明當(dāng)時(2)式自然成立.現(xiàn)在設(shè)再由從而這時且也即從而存在由分塊陣之逆以及上面不等式(1)有:推論1:設(shè)其中均為方陣那么:.推論2:(Hadamard定理)設(shè):那么:.即半正定陣的行列式的值不超過主對角線元之積.推論3:(Hadamard定理)設(shè).那么:.證明:這里是任意階方陣那么:.由上面推論2:.推論4:(Hadamard定理)設(shè)如果那么:.(其中表示行列式的絕對值).猜想證明:.故由推論

5、4可得:.說明:當(dāng)且僅當(dāng)為Hadamard矩陣時等號成立此時.結(jié)論:對于階矩陣有成立.參考文獻[1]程云鵬矩陣論[M]西北工業(yè)大學(xué)出版社2000.[2]錢吉林李照海矩陣及其廣義逆[M]華中師范大學(xué)出版社1988.[3]陳景良陳向暉特殊矩陣[M]清華大學(xué)出版社2001.[4]廉慶榮鄧健新劉秀蘭[譯]矩陣計算[M]大連理工大學(xué)出版社1988.[5]李濤賀勇軍劉志儉Matlab工具箱應(yīng)用指南應(yīng)用數(shù)學(xué)篇[M]電子工業(yè)出版社2000.[6]張宜華

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