第二章 b&amp#233;zier曲線

1、第二章 Bézier曲線,§1.一般介紹,§2.Bézier曲線的定義及性質(zhì),§3.de Casteljau算法,§4.Bézier曲線的其它表示形式及導(dǎo)數(shù),§5.組合Bézier曲線和幾何連續(xù)性,§6.Bézier曲線修形及升階,?,?,?,?,?,?,§1.一般介紹,Bézier曲線是分別由法國(guó) Citr

2、oën 汽車公司的de Casteljau大約于1959年和法國(guó)Renault汽車公司的Bézier大約于 1962 年獨(dú)立研制的.由于以Bézier 方法為基礎(chǔ)的 UNISURF 系統(tǒng)首先公開發(fā)表,所以現(xiàn)在這一方法冠以Bézier的名字.,,Bézier,Bézier(1910,9,1-1999,11,25)法國(guó)Renault汽車公司的工程師.,,§2.Bé

3、;zier曲線的定義及性質(zhì),Bézier曲線的定義,?,Bernstein多項(xiàng)式的性質(zhì),?,Bézier曲線的性質(zhì),?,二次Bézier曲線,三次Bézier曲線,?,?,,Bézier所給出的定義,圖例：三次Bézier曲線,,Bézier曲線的定義(現(xiàn)在),,,Bernstein多項(xiàng)式的性質(zhì)(1),1.單位分解性,2.非負(fù)性,3.端點(diǎn)性質(zhì),,,,Bernstein

4、多項(xiàng)式的性質(zhì)(2),5.遞推公式,6.導(dǎo)函數(shù),7.最大值,4.對(duì)稱性,,,,Bernstein多項(xiàng)式的性質(zhì)(3),9.分割公式,8.升階公式,11.與冪基的轉(zhuǎn)換公式,10.積分公式,,,Bézier曲線的性質(zhì),遞推公式,端點(diǎn)性質(zhì),對(duì)稱性,凸包性,幾何不變性,,二次Bézier曲線,等分作圖,,包絡(luò)形成的二次Bézier曲線,二次Bézier曲線的拼接,二次Bézier曲線插值,?,?,?

5、,?,三次Bézier曲線,,三次Bézier曲線等分作圖,三次Bézier曲線插值,三次Bézier曲線的幾何特征,?,?,?,二次Bézier曲線等分作圖,,,包絡(luò)形成的二次Bézier曲線,,二次Bézier曲線的拼接,,,二次Bézier曲線插值,,,二次Bézier曲線插值圖例1,,,二次Bézier曲線插值圖例2,,,二次B&

6、#233;zier曲線插值圖例3,,,二次Bézier曲線插值圖例4,,,二次Bézier曲線拼接圖例1,,二次Bézier曲線拼接圖例2,,二次Bézier曲線等分作圖,,三次Bernstein基函數(shù),,四次Bernstein基函數(shù),,遞推公式的證明,,求導(dǎo)運(yùn)算,,升階公式的證明一,升階公式的證明二,,分割公式的證明,,積分公式的證明,,基轉(zhuǎn)化公式的證明,,Bézier曲線遞推公式的證

7、明,,,Bézier曲線遞推公式圖例1,,,Bézier曲線遞推公式圖例2,,,凸包性,凸包的定義,,幾何不變性例1,,幾何不變性例2,,三次Bézier曲線等分作圖,,,三次Bézier 曲線插值,,,,,三次Bézier曲線的幾何特征1,,三次Bézier曲線的幾何特征2,,,三次Bézier曲線的幾何特征3,,,三次Bézier曲線的幾何特征4,,,,

8、三次Bézier曲線等分作圖,,三次Bézier曲線插值圖例1,三次Bézier曲線插值圖例2,三次Bézier曲線插值圖例3,,,空間三次Bézier曲線圖例,,平面三次Bézier曲線圖例,,§3.de Casteljau算法,,,de Casteljau算法圖例1,de Casteljau算法圖例2,de Casteljau算法圖例3,de Casteljau算

9、法圖例4,§4.Bézier曲線的其它 表示形式及其導(dǎo)數(shù),用邊向量表示的Bézier曲線,,Bézier曲線的導(dǎo)數(shù),Bézier曲線的差分表示形式,?,?,?,用邊向量表示的Bézier曲線(證明),,Bézier曲線的導(dǎo)數(shù)1,Bézier曲線的導(dǎo)數(shù)2,Bézier曲線的差分表示形式,,邊向量表示形式的證明1,邊向量表示形式的證明2,邊向量

10、表示形式的證明3,,注：這里 又稱為Bézier函數(shù),Bézier函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3,,§5.組合Bézier曲線和幾何連續(xù)性,組合Bézier 曲線,連接點(diǎn)處的參數(shù)連續(xù)性(1),,,,連接點(diǎn)處的參數(shù)連續(xù)性(2),,,,連接點(diǎn)處參數(shù)連續(xù)性圖例,,Bézier曲線的幾何連續(xù)性,,,,組合Bézier 曲線圖例,,Bézier