插板法專題講義

1、“插板法”專題“插板法”專題第1頁對應計數(shù)對應計數(shù)基礎知識：基礎知識：1.人類最早使用的計數(shù)方法，不是枚舉，不是排列組合，也不是遞推，而是對應。2.對應的目的：化繁為簡，通過簡單的計數(shù)問題解決復雜的計數(shù)問題。3.對應的常用思路：從整體觀察問題，發(fā)現(xiàn)問題所對應的本質，不拘泥于其中細微的步驟。4.常見對應方法：插板對應、方向對應、幾何對應。5.插板法：把m個相同的球放入n個不同的籃子里不得為空：：每個間隔至多插一個板子；板子不得相鄰，不得插

2、在兩端。允許為空：：n個籃子就要補n個球，然后轉變?yōu)槊總€籃子不得為空。例1.小高媽媽每天讓小高吃1個雞蛋或者1個鴨蛋，那么小高吃完家里的4個雞蛋和4個鴨蛋共有多少種吃法？思考：具體的考慮每天的選擇，發(fā)現(xiàn)后面的種數(shù)會受到前面的影響，那么從整體考慮呢？具體的吃法和什么是對應的？其實，只要小高媽媽列出一個吃蛋的安排，事情就變得很簡單了。[答疑編號5721120101]【答案】70【解答】列出這8天的安排，4個“雞”和4個“鴨”排成一列，這樣的

3、排法就對應著這8天的吃法。所以，共有（種）例2.5枚相同樣式的華杯賽獎章頒發(fā)給3名學生，每個學生至少一枚，則有多少種頒獎方式？思考：在低年級，這類問題枚舉就可以解決。但是如果數(shù)字更大，枚舉就很麻煩了。所以，我們可以從本題中尋找更一般的方法。想象這樣一種場景，老師把這5枚獎章排成一列，然后在間隔中劃上兩道豎線分割成三部分，于是獎章就分好了。[答疑編號5721120102]【答案】6【解答】實際上，根據前面的思考，我們發(fā)現(xiàn)，把5枚獎章排成一

4、列后，從它們的4個間隔中選2個，插入兩塊板，獎章就被分為了3個部分，我們可以規(guī)定最左邊的就給學生A，中間的給學生B，最右邊的給學生C，于是這兩塊板的插法就對應著獎章的分法：（種）什么是插板法什么是插板法把m個相同的球放入n個不同的籃子里不得為空：：每個間隔至多插一個板子；板子不得相鄰，不得插在兩端?！安灏宸ā睂ｎ}“插板法”專題第3頁【答案】（2）220【解答】（2）本題和上題的區(qū)別在于，盒子可以為空，補上4個球變?yōu)椋?），利用插板法，共

5、（種）例5.（1）數(shù)字和為9，且不含數(shù)字0的四位數(shù)共有多少個？（2）數(shù)字和為9，且小于10000的數(shù)有多少個？（3）數(shù)字和為9的四位數(shù)有多少個？[答疑編號5721120107]【答案】165【解答】（3）本題和（2）的區(qū)別在于，第一個盒子不能為空，所以只需要補上3個球變?yōu)椋?），共有（種）例6.海淀大街上一共有18盞路燈，區(qū)政府為了節(jié)約用電，打算熄滅其中的7盞，但為了行路安全，任意相鄰的兩盞燈不能同時被熄滅，請問：一共有多少種熄燈方案？

6、思考：看到不能相鄰，你想到了什么方法？很好，看上去插空法是可以和本題對應起來的，但是要注意，我們排的是什么，插的又是什么，如果排的是路燈，那么這些路燈一樣嗎？看上去是個麻煩的事情。[答疑編號5721120108]【答案】792【解答】實際上，路燈早就在那站著了，我們并沒有排路燈，也不用考慮路燈到底一不一樣，我們實際上安排的是“亮”和“熄”這兩種狀態(tài)，所以本題相當于把11個“亮”和7個“熄”排成一列，每一種排法對應著一種方案，利用插空法，

7、有（種）例7.（1）有10個小朋友排成一列，要從中選出3個互不相鄰的小朋友，有多少種不同的選法？（2）有10個小朋友排成一個圈，要從中選出3個互不相鄰的小朋友，有多少種不同的選法？思考：（1）和上題類似，對于（2），和（1）有什么區(qū)別？我們發(fā)現(xiàn)，排成一個圈，會有很多旋轉重合的情況出現(xiàn)，在對應時就會出問題，怎么處理這個問題呢？[答疑編號5721120109]【答案】（1）56；（2）50；【解答】（1）插空法即可，7個“不選”排成一列，從