數(shù)論研究的三個階段

1、數(shù)論研究的三個階段 數(shù)論研究的三個階段[摘要 摘要]十八世紀前數(shù)論還沒有形成完整體系，十八世紀后由于代數(shù)方法和解析方法的引入，數(shù)論出現(xiàn)了兩大分支，即代數(shù)數(shù)論和解析數(shù)論。高斯對二次互反律的研究催生了代數(shù)數(shù)論，之后經(jīng)庫默爾、狄利克雷、戴德金等數(shù)學家的工作而得到了進一步的發(fā)展與完善。歐拉的研究引出了解析數(shù)論，黎曼、阿達馬等數(shù)學家的研究直接推動了解析數(shù)論的發(fā)展。關鍵詞： 關鍵詞：數(shù)論；代數(shù)數(shù)論；解析數(shù)論數(shù)論是對整數(shù)性質的研究，所以又叫算術或整數(shù)

2、論。數(shù)論問題看起來簡單明了容易理解，但卻與現(xiàn)代數(shù)學許多理論有著深刻的關聯(lián)，因此成為數(shù)學中最古老、研究熱度恒久不衰的數(shù)學分支之一。但直到十八世紀，這些研究成果還只是一些孤立、零散的結論，沒有形成一個統(tǒng)一完整的獨立分支。數(shù)學家高斯在總結和整理已有研究的基礎上，寫成《算術研究》一書，標志著數(shù)論形成一門獨立的學科。整數(shù)的最簡單而又最基本的元素是素數(shù)，所以數(shù)論研究的主要內容是素數(shù)問題，而素數(shù)問題的核心是尋找素數(shù)通項公式。以此為主要線索，以研究方法

3、為分類標準，可以將數(shù)論的發(fā)展可劃分為初等數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和解析數(shù)論三個階段，或者也可看作三種主要的理論形態(tài)。本文對數(shù)論發(fā)展的這三個階段做歷史考察，在梳理數(shù)論思想發(fā)展歷史的同時，反映數(shù)學發(fā)展中不同分支間相互滲透、相互融合的整體化、統(tǒng)一化趨勢，從而提供一個理解現(xiàn)代數(shù)學的不同視角。1 初等數(shù)論初等數(shù)論研究正整數(shù)，更具體點是研究正整數(shù)的結構，比如一個正整數(shù)和其它正整數(shù)的有什么關系，它可用性質較簡單的其它數(shù)——比如素數(shù)如何來表達等等問題，當然這樣說

4、也不能概括初等數(shù)論的全部。它區(qū)別于其它數(shù)論分支的最大特點是在研究方法上應用整數(shù)四則運算而幾乎不借助于其它方法，研究內容主要包括整除問題、同余問題和不定方程問題。[1]按時間先后和地域來看，主要有古希臘、中世紀亞洲和近代歐洲三個不同的研究熱點或高潮時期。1.1 古希臘數(shù)論古希臘的數(shù)論研究主要聚焦于整除問題和方程問題，這是符合人的認識規(guī)律的。畢達哥拉斯是數(shù)論研究的先驅，他和他的學派秉持“萬物皆數(shù)”的哲學思想，認為所有物理現(xiàn)象的基礎是數(shù)，因此

5、他們致力于對整數(shù)的研究，提出了數(shù)論整除性研究的許多最初的問題。他們首次將整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)，研究了奇、偶數(shù)間的四則運算性質，還提出了親和數(shù)、完全數(shù)、等概念，并給出 220和 284 這一對親和數(shù)。畢達哥拉斯學派對數(shù)的研究多半是出于占卜等宗教活動的需要，因此具有濃厚的宗教和神秘色彩，沒有嚴格的概念定義和數(shù)學論證。歐幾里得在《幾何原本》中首次給出因數(shù)、倍數(shù)、素數(shù)、互素等基本概念的精確定義，并對所得結論詳細證明，從而使數(shù)論研究嚴密化。[2]p