數(shù)論研究的三個(gè)階段

1、數(shù)論研究的三個(gè)階段 數(shù)論研究的三個(gè)階段[摘要 摘要]十八世紀(jì)前數(shù)論還沒有形成完整體系，十八世紀(jì)后由于代數(shù)方法和解析方法的引入，數(shù)論出現(xiàn)了兩大分支，即代數(shù)數(shù)論和解析數(shù)論。高斯對二次互反律的研究催生了代數(shù)數(shù)論，之后經(jīng)庫默爾、狄利克雷、戴德金等數(shù)學(xué)家的工作而得到了進(jìn)一步的發(fā)展與完善。歐拉的研究引出了解析數(shù)論，黎曼、阿達(dá)馬等數(shù)學(xué)家的研究直接推動(dòng)了解析數(shù)論的發(fā)展。關(guān)鍵詞： 關(guān)鍵詞：數(shù)論；代數(shù)數(shù)論；解析數(shù)論數(shù)論是對整數(shù)性質(zhì)的研究，所以又叫算術(shù)或整數(shù)

2、論。數(shù)論問題看起來簡單明了容易理解，但卻與現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多理論有著深刻的關(guān)聯(lián)，因此成為數(shù)學(xué)中最古老、研究熱度恒久不衰的數(shù)學(xué)分支之一。但直到十八世紀(jì)，這些研究成果還只是一些孤立、零散的結(jié)論，沒有形成一個(gè)統(tǒng)一完整的獨(dú)立分支。數(shù)學(xué)家高斯在總結(jié)和整理已有研究的基礎(chǔ)上，寫成《算術(shù)研究》一書，標(biāo)志著數(shù)論形成一門獨(dú)立的學(xué)科。整數(shù)的最簡單而又最基本的元素是素?cái)?shù)，所以數(shù)論研究的主要內(nèi)容是素?cái)?shù)問題，而素?cái)?shù)問題的核心是尋找素?cái)?shù)通項(xiàng)公式。以此為主要線索，以研究方法

3、為分類標(biāo)準(zhǔn)，可以將數(shù)論的發(fā)展可劃分為初等數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和解析數(shù)論三個(gè)階段，或者也可看作三種主要的理論形態(tài)。本文對數(shù)論發(fā)展的這三個(gè)階段做歷史考察，在梳理數(shù)論思想發(fā)展歷史的同時(shí)，反映數(shù)學(xué)發(fā)展中不同分支間相互滲透、相互融合的整體化、統(tǒng)一化趨勢，從而提供一個(gè)理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的不同視角。1 初等數(shù)論初等數(shù)論研究正整數(shù)，更具體點(diǎn)是研究正整數(shù)的結(jié)構(gòu)，比如一個(gè)正整數(shù)和其它正整數(shù)的有什么關(guān)系，它可用性質(zhì)較簡單的其它數(shù)——比如素?cái)?shù)如何來表達(dá)等等問題，當(dāng)然這樣說

4、也不能概括初等數(shù)論的全部。它區(qū)別于其它數(shù)論分支的最大特點(diǎn)是在研究方法上應(yīng)用整數(shù)四則運(yùn)算而幾乎不借助于其它方法，研究內(nèi)容主要包括整除問題、同余問題和不定方程問題。[1]按時(shí)間先后和地域來看，主要有古希臘、中世紀(jì)亞洲和近代歐洲三個(gè)不同的研究熱點(diǎn)或高潮時(shí)期。1.1 古希臘數(shù)論古希臘的數(shù)論研究主要聚焦于整除問題和方程問題，這是符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律的。畢達(dá)哥拉斯是數(shù)論研究的先驅(qū)，他和他的學(xué)派秉持“萬物皆數(shù)”的哲學(xué)思想，認(rèn)為所有物理現(xiàn)象的基礎(chǔ)是數(shù)，因此

5、他們致力于對整數(shù)的研究，提出了數(shù)論整除性研究的許多最初的問題。他們首次將整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)，研究了奇、偶數(shù)間的四則運(yùn)算性質(zhì)，還提出了親和數(shù)、完全數(shù)、等概念，并給出 220和 284 這一對親和數(shù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對數(shù)的研究多半是出于占卜等宗教活動(dòng)的需要，因此具有濃厚的宗教和神秘色彩，沒有嚴(yán)格的概念定義和數(shù)學(xué)論證。歐幾里得在《幾何原本》中首次給出因數(shù)、倍數(shù)、素?cái)?shù)、互素等基本概念的精確定義，并對所得結(jié)論詳細(xì)證明，從而使數(shù)論研究嚴(yán)密化。[2]p